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Arithmetik / Zahlen

Rechnen mit rationalen Zahlen

Vorzeichenregeln für alle vier Rechenarten, mit Kontomodell und Merksätzen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

−3+5-3 + 5?   7−(−2)\;7 - (-2)?   (−3)⋅(−4)\;(-3) \cdot (-4)? Sobald Minuszeichen ins Spiel kommen, wird aus einfachem Rechnen ein Vorzeichen-Puzzle. Mit dem Kontomodell und zwei Merkregeln löst es sich in Luft auf, und am Ende rechnest du mit negativen Zahlen so selbstverständlich wie mit positiven.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • addieren und subtrahieren, auch mit dem Kontomodell als Anschauung.

  • Klammern mit Vorzeichen auflösen: a−(−b)=a+ba - (-b) = a + b.

  • rationale Zahlen multiplizieren und dividieren (Vorzeichenregeln).

  • gemischte mit Punkt-vor-Strich und Klammern sicher berechnen.

Addieren und Subtrahieren: das Kontomodell

Denke an ein Konto: Plus = Einzahlung, Minus = Abbuchung.

  • −3+5-3 + 5: Bei 33 € Schulden 55 € einzahlen → +2+2.
  • −3−5-3 - 5: Zu 33 € Schulden weitere 55 € Schulden → −8-8.
  • 4−94 - 9: 99 € von 44 € abbuchen → −5-5.

Auf der Zahlengeraden unten wird −3+5-3 + 5 zur Bewegung: erst nach links, dann nach rechts.

Woher das Rechenschema kommt

Aus diesen Bildern kannst du die Regeln selbst ableiten, du musst sie nicht auswendig lernen.

Fall 1: gleiche Vorzeichen. Zwei Abbuchungen zeigen in dieselbe Richtung. Die Schulden häufen sich, der Abstand zur Null wächst:

−3−5=−8-3 - 5 = -8

Du addierst also die Beträge (3+5=83 + 5 = 8) und behältst das Vorzeichen.

Fall 2: verschiedene Vorzeichen. Einzahlung und Abbuchung ziehen in entgegengesetzte Richtungen, sie heben sich teilweise auf. Übrig bleibt die Differenz:

−3+5=+2-3 + 5 = +2

Von den 55 € Einzahlung gleichen 33 € die Schulden aus, 22 € bleiben übrig. Deshalb subtrahierst du hier die Beträge (5−3=25 - 3 = 2).

Und welches Vorzeichen? Das der betragsgrößeren Zahl, denn die gewinnt das Tauziehen. Bei −8+5-8 + 5 sind die Schulden größer, also bleibt am Ende ein Minus: −3-3.

Zusammengefasst

  • Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren, Vorzeichen behalten (−3−5=−8-3 - 5 = -8).
  • Verschiedene Vorzeichen: Beträge subtrahieren, Vorzeichen der betragsgrößeren Zahl (−3+5=+2-3 + 5 = +2).
-606-3+5+2

Addieren und Subtrahieren als Bewegung: −3+5-3 + 5 heißt „gehe 33 nach links, dann 55 nach rechts". Du landest bei +2+2, also −3+5=+2-3 + 5 = +2. Ein Plus geht nach rechts, ein Minus nach links.

Klammern auflösen

Ein Minus vor der Klammer dreht das Vorzeichen in der Klammer um:

7−(+2)=7−2=57−(−2)=7+2=97 - (+2) = 7 - 2 = 5 \qquad\qquad 7 - (-2) = 7 + 2 = 9

Warum das zweite Beispiel stimmt

Der zweite Fall sieht zuerst falsch aus: Da steht ein Minus, und trotzdem wird das Ergebnis größer. Schau dir an, warum das sein muss.

7−(−2)7 - (-2) heißt: „Nimm von 77 die Zahl −2-2 weg."

Denk ans Konto. Du hast 77 € und dazu einen Schuldschein über 22 €. Jemand nimmt dir den Schuldschein weg: dann hast du hinterher mehr als vorher, nämlich 99 €.

Etwas Negatives wegzunehmen wirkt also wie etwas Positives hinzuzufügen. Deshalb:

7−(−2)=7+2=97 - (-2) = 7 + 2 = 9

Die Regel in einem Satz

Vor einer Klammer bedeutet ein Minus: alle Vorzeichen darin umdrehen.

+(+2)=+2+(−2)=−2−(+2)=−2−(−2)=+2+(+2) = +2 \qquad +(-2) = -2 \qquad -(+2) = -2 \qquad -(-2) = +2

Zwei Minuszeichen hintereinander heben sich also gegenseitig auf, genau wie „nicht unwichtig" schlicht „wichtig" bedeutet.

Warum Minus mal Minus Plus ergibt

Diesen Satz kennst du bestimmt schon: „Minus mal Minus ergibt Plus." Aber warum eigentlich? Das ist keine Vereinbarung und kein Trick. Es muss so sein, sonst würde unser Rechnen zusammenbrechen. Wir bauen die Regel Schritt für Schritt auf.

Schritt 1: Plus mal Minus

Damit fängt alles an, und das kannst du direkt nachrechnen. Multiplizieren heißt ja: mehrfach dasselbe addieren.

3⋅(−2)=(−2)+(−2)+(−2)=−63 \cdot (-2) = (-2) + (-2) + (-2) = -6

Dreimal zwei Euro Schulden sind sechs Euro Schulden. Plus mal Minus ergibt also Minus. Hier ist noch nichts Geheimnisvolles dabei.

Und weil die Faktoren vertauscht werden dürfen (Kommutativgesetz), gilt genauso (−2)⋅3=−6(-2) \cdot 3 = -6.

Schritt 2: Das Muster fortsetzen

Jetzt kommt der entscheidende Gedanke. Schreibe eine Reihe auf, bei der der erste Faktor immer um 11 kleiner wird:

3⋅(−2)=−63 \cdot (-2) = -6 2⋅(−2)=−42 \cdot (-2) = -4 1⋅(−2)=−21 \cdot (-2) = -2 0⋅(−2)=     00 \cdot (-2) = \;\;\,0

Was fällt dir auf? Der erste Faktor sinkt jedes Mal um 11, und das Ergebnis wächst jedes Mal um 22.

Diese Regelmäßigkeit darf nicht plötzlich aufhören, nur weil wir bei der Null vorbeikommen. Also schreiben wir sie weiter:

(−1)⋅(−2)=+2(-1) \cdot (-2) = +2 (−2)⋅(−2)=+4(-2) \cdot (-2) = +4

Minus mal Minus muss Plus ergeben, jedes andere Ergebnis würde das Muster zerreißen.

Schritt 3: Die Gegenprobe mit dem Distributivgesetz

Wer es ganz genau wissen will, prüft es an einer Rechnung, deren Ergebnis von vornherein feststeht.

Nimm (−2)⋅(3+(−3))(-2) \cdot \big(3 + (-3)\big). In der Klammer steht 3+(−3)=03 + (-3) = 0, und alles mal null ist null:

(−2)⋅0=0(-2) \cdot 0 = 0

Jetzt löst du dieselbe Aufgabe mit dem Distributivgesetz auf, der Faktor wird auf beide Summanden verteilt:

(−2)⋅3+(−2)⋅(−3)=0(-2) \cdot 3 + (-2) \cdot (-3) = 0

Den ersten Teil kennst du aus Schritt 1: (−2)⋅3=−6(-2) \cdot 3 = -6. Also:

−6+(−2)⋅(−3)=0-6 + (-2) \cdot (-3) = 0

Damit die Summe null wird, muss (−2)⋅(−3)(-2) \cdot (-3) genau +6+6 sein. Etwas anderes ist gar nicht möglich.

Was du daraus mitnimmst

Die Regel ist keine Willkür: Wenn Muster und Rechengesetze weiter gelten sollen, bleibt nur „Minus mal Minus ergibt Plus".

Als Merkbild taugt das Konto: Nimmt man dir Schulden weg, geht es dir besser. Aber das Bild ist die Eselsbrücke, die Begründung sind die beiden Schritte oben.

Multiplizieren und Dividieren

Aus dem letzten Abschnitt folgt die vollständige Vorzeichenregel:

(+)⋅(+)=+(−)⋅(−)=+(+)⋅(−)=−(−)⋅(+)=−(+) \cdot (+) = + \qquad (-) \cdot (-) = + \qquad (+) \cdot (-) = - \qquad (-) \cdot (+) = -

Gleiche Vorzeichen → Plus, verschiedene → Minus.

⚠️ Nicht mit der Plus-Minus-Regel verwechseln! Beim Addieren und Subtrahieren fangen die beiden Fälle mit denselben Wörtern an, dort entscheiden „gleiche" und „verschiedene" Vorzeichen aber darüber, ob du die Beträge addierst oder subtrahierst, nicht über das Vorzeichen des Ergebnisses. Deshalb ist −3−5=−8-3 - 5 = -8, aber (−3)⋅(−5)=+15(-3) \cdot (-5) = +15.

Warum für die Division dasselbe gilt

Du musst dir nichts Neues merken, die Division erbt die Regel von der Multiplikation.

Jede Division lässt sich nämlich in eine Multiplikation zurückübersetzen. (−6):(−2)(-6) : (-2) fragt: Welche Zahl mal (−2)(-2) ergibt (−6)(-6)?

Probiere +3+3: 3⋅(−2)=−63 \cdot (-2) = -6 ✓ Also ist (−6):(−2)=3(-6) : (-2) = 3, wieder positiv, genau wie bei der Multiplikation.

Mehrere Faktoren: Minuszeichen zählen

Bei einer längeren Kette musst du nicht Schritt für Schritt rechnen. Je zwei Minuszeichen ergeben zusammen ein Plus und heben sich damit auf.

  • gerade Anzahl Minuszeichen → alle paaren sich → Ergebnis positiv
  • ungerade Anzahl → eines bleibt übrig → Ergebnis negativ
(−2)⋅(−3)⋅(−1)=−6(drei Minuszeichen, also ungerade)(-2) \cdot (-3) \cdot (-1) = -6 \quad (\text{drei Minuszeichen, also ungerade})

Rechne den Betrag separat aus (2⋅3⋅1=62 \cdot 3 \cdot 1 = 6) und setze das Vorzeichen erst am Schluss davor. So kann dir unterwegs kein Vorzeichen verrutschen.

Erkläre es selbst: Warum ist minus drei minus fünf gleich minus acht, minus drei mal minus fünf aber plus fünfzehn, obwohl in beiden Aufgaben zweimal dasselbe Vorzeichen steht?

Formuliere es erst selbst, bevor du aufklappst.

Weil die beiden Rechenarten das Minuszeichen völlig verschieden benutzen.

Beim Plus-Minus-Rechnen ist das Vorzeichen eine Richtung. −3−5-3 - 5 heißt: erst drei nach links, dann noch einmal fünf nach links. Beide zeigen in dieselbe Richtung, also häuft sich der Abstand zur Null:

−3−5=−8-3 - 5 = -8

Im Kontomodell: zwei Abbuchungen hintereinander machen die Schulden größer. Dass beide Vorzeichen gleich sind, entscheidet hier darüber, dass du die Beträge addierst (3+5=83 + 5 = 8), nicht über das Vorzeichen des Ergebnisses.

Beim Mal-Rechnen ist das Minuszeichen dagegen ein Umschalter. Ein Minus dreht das Vorzeichen um, ein zweites dreht es wieder zurück:

(−3)⋅(−5)=+15(-3) \cdot (-5) = +15

Hier entscheiden die gleichen Vorzeichen also genau umgekehrt, nämlich darüber, dass das Ergebnis positiv wird.

Die Falle liegt in der Sprache, nicht in der Mathematik. Beide Regeln beginnen mit „gleiche Vorzeichen", meinen aber Verschiedenes:

Rechenart„gleiche Vorzeichen" heißt …
++ und −-Beträge addieren, Vorzeichen behalten
⋅\cdot und ::Ergebnis wird positiv

Was dich sicher durchbringt: Frag immer zuerst nach der Rechenart und erst danach nach den Vorzeichen. Wer umgekehrt vorgeht, wendet leicht die Regel der anderen Rechenart an, und schreibt −3−5=+8-3 - 5 = +8.

Deine Erklärung darf anders klingen. Wichtig ist der Kern: Beim Strichrechnen ist das Minus eine Richtung, beim Punktrechnen ein Umschalter.

Achtung, Potenzfalle

(−2)2=(−2)⋅(−2)=4aber−22=−(2⋅2)=−4(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4 \qquad \text{aber} \qquad -2^2 = -(2 \cdot 2) = -4

Warum die Klammer alles entscheidet

Der Exponent gehört immer nur zu dem, was direkt vor ihm steht.

Bei (−2)2(-2)^2 steht direkt vor der Hochzahl die Klammer, also wird die ganze Zahl −2-2 quadriert. Zwei gleiche Faktoren mit gleichem Vorzeichen ergeben Plus:

(−2)2=(−2)⋅(−2)=+4(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = +4

Bei −22-2^2 steht vor der Hochzahl nur die 22. Also wird allein die 22 quadriert, und das Minus bleibt davor stehen:

−22=−(2⋅2)=−4-2^2 = -(2 \cdot 2) = -4

Man liest den zweiten Ausdruck also als „die Gegenzahl von 222^2".

Merke dir die Leitfrage: Steht das Minus in der Klammer, gehört es zur Basis. Steht es davor, bleibt es außen vor.

Addieren und Subtrahieren mit dem Kontomodell

Berechne: a) −7+12-7 + 12 b) −5−8-5 - 8 c) 6−(−9)6 - (-9)

  1. 1

    Was ist gesucht? Drei Ergebnisse, und bei jedem gehst du gleich vor: erst schauen, welcher Fall vorliegt, dann rechnen.

    Die Leitfrage lautet immer: Zeigen beide Zahlen in dieselbe Richtung oder in entgegengesetzte?

  2. 2

    Teil a) −7+12-7 + 12: Schritt 1: Den Fall bestimmen.

    Die Vorzeichen sind verschieden (−- und ++). Also arbeiten die beiden Zahlen gegeneinander: 77 € Schulden treffen auf 1212 € Einzahlung.

  3. 3

    Teil a): Schritt 2: Beträge subtrahieren und Vorzeichen bestimmen.

    12−7=512 - 7 = 5

    Welches Vorzeichen? Das der betragsgrößeren Zahl, und 12>712 > 7, also positiv:

    −7+12=+5-7 + 12 = +5

    Auf dem Konto: Nach dem Ausgleich der Schulden bleiben 55 € übrig.

  4. 4

    Teil b) −5−8-5 - 8: Schritt 3: Wieder den Fall bestimmen.

    Hier zeigen beide Zahlen in dieselbe Richtung: erst 55 € Schulden, dann 88 € weitere Abbuchung. Nichts gleicht sich aus, alles häuft sich.

    Also Beträge addieren und das Minus behalten:

    −5−8=−13-5 - 8 = -13
  5. 5

    Teil c) 6−(−9)6 - (-9): Schritt 4: Zuerst die Klammer.

    Hier stehen zwei Minuszeichen hintereinander. Das äußere sagt „wegnehmen", das innere gehört zur Zahl −9-9.

    Du nimmst also 99 € Schulden weg, dadurch geht es dir besser:

    6−(−9)=6+96 - (-9) = 6 + 9
  6. 6

    Teil c): Schritt 5: Ausrechnen.

    6+9=156 + 9 = 15
  7. 7

    Schritt 6: Alle Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.

    • a) Aus −7-7 wird durch eine größere Einzahlung etwas Positives ✓
    • b) Zwei Abbuchungen machen es schlimmer, also deutlich negativ ✓
    • c) Ein doppeltes Minus vergrößert den Wert ✓

    Diese Richtungsprobe fängt fast jeden Vorzeichenfehler ab, mache sie bei jeder Aufgabe.

a) −7+12=5-7 + 12 = 5 · b) −5−8=−13-5 - 8 = -13 · c) 6−(−9)=156 - (-9) = 15

Multiplizieren mit Vorzeichen-Zählung

Berechne: a) (−6)⋅7(-6) \cdot 7 b) (−6)⋅(−7)(-6) \cdot (-7) c) (−2)⋅3⋅(−5)⋅(−1)(-2) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-1)

  1. 1

    Was ist gesucht? Drei Produkte. Trenne bei jedem sauber zwei Fragen: Wie groß ist das Ergebnis (der Betrag) und welches Vorzeichen hat es?

    Wer beides gleichzeitig im Kopf macht, verrutscht, deshalb immer erst der Betrag, dann das Vorzeichen.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Betrag und Vorzeichen von (−6)⋅7(-6) \cdot 7.

    Betrag: 6⋅7=426 \cdot 7 = 42.

    Vorzeichen: verschieden (−- und ++) → negativ. Das kennst du vom wiederholten Addieren: siebenmal (−6)(-6) sind −42-42.

    (−6)⋅7=−42(-6) \cdot 7 = -42
  3. 3

    Teil b): Schritt 2: (−6)⋅(−7)(-6) \cdot (-7).

    Betrag wieder 4242.

    Vorzeichen: gleich (beide negativ) → positiv:

    (−6)⋅(−7)=+42(-6) \cdot (-7) = +42

    Falls dich das noch stutzig macht, schau in den Abschnitt „Warum Minus mal Minus Plus ergibt". Dort wird gezeigt, dass jedes andere Ergebnis das Muster der Reihe zerstören würde.

  4. 4

    Teil c): Schritt 3: Bei vier Faktoren zuerst die Minuszeichen zählen.

    (−2)⋅3⋅(−5)⋅(−1)(-2) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-1)

    Negativ sind (−2)(-2), (−5)(-5) und (−1)(-1). Das sind drei Stück.

  5. 5

    Teil c): Schritt 4: Das Vorzeichen bestimmen.

    Je zwei Minuszeichen heben sich auf. Bei drei bleibt eines übrig → das Ergebnis ist negativ.

    (Zur Kontrolle: gerade Anzahl → Plus, ungerade → Minus.)

  6. 6

    Teil c): Schritt 5: Den Betrag ausrechnen.

    2⋅3⋅5⋅1=302 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1 = 30

    Vorzeichen davorsetzen:

    (−2)⋅3⋅(−5)⋅(−1)=−30(-2) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-1) = -30
  7. 7

    Schritt 6: Gegenprobe Schritt für Schritt.

    (−2)⋅3=−6(−6)⋅(−5)=+3030⋅(−1)=−30  ✓(-2) \cdot 3 = -6 \qquad (-6) \cdot (-5) = +30 \qquad 30 \cdot (-1) = -30 \; ✓

    Beide Wege führen zum selben Ergebnis. Das Zählen ist nur schneller.

a) −42-42 · b) +42+42 · c) −30-30

Gemischter Term

Berechne: −4+(−3)⋅(5−9)-4 + (-3) \cdot (5 - 9)

  1. 1

    Was ist gesucht? Der Wert des ganzen .

    Beginne nie einfach von links. Es gilt die Rechenreihenfolge: Klammer vor Punkt vor Strich. Verschaffe dir also zuerst einen Überblick, was hier alles vorkommt.

  2. 2

    Schritt 1: Den Term zerlegen.

    −4  +  (−3)⋅(5−9)⏟Punktrechnung, kommt zuerst-4 \;+\; \underbrace{(-3) \cdot (5 - 9)}_{\text{Punktrechnung, kommt zuerst}}

    Und in der Punktrechnung steckt noch eine Klammer. Die ist also ganz zuerst dran.

  3. 3

    Schritt 2: Die Klammer ausrechnen.

    5−95 - 9

    Verschiedene Richtungen: Von 55 werden 99 abgezogen, das reicht nicht. Beträge subtrahieren (9−5=49 - 5 = 4), Vorzeichen der größeren Zahl (Minus):

    5−9=−45 - 9 = -4
  4. 4

    Schritt 3: Die Multiplikation.

    (−3)⋅(−4)(-3) \cdot (-4)

    Beide Vorzeichen gleich → Ergebnis positiv. Betrag: 3⋅4=123 \cdot 4 = 12.

    (−3)⋅(−4)=+12(-3) \cdot (-4) = +12
  5. 5

    Schritt 4: Jetzt erst die Strichrechnung.

    −4+12=8-4 + 12 = 8

    Verschiedene Vorzeichen, Beträge subtrahieren (12−4=812 - 4 = 8), Vorzeichen der größeren Zahl (++).

  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle, der typische Fehler.

    Wer von links losrechnet, käme auf (−4+(−3))⋅(5−9)=(−7)⋅(−4)=28(-4 + (-3)) \cdot (5-9) = (-7) \cdot (-4) = 28, falsch.

    Prüfe deshalb am Ende noch einmal: Wurde wirklich zuerst die Klammer, dann der Punkt und erst zum Schluss der Strich gerechnet? ✓

−4+(−3)⋅(5−9)=8-4 + (-3) \cdot (5 - 9) = 8

Typischer Fehler

−3+5=−8-3 + 5 = -8: „Minus und dann plus 5, also wird alles zusammengezählt und bleibt negativ."

−3+5-3 + 5 heißt: Start bei −3-3, dann 5 nach rechts → +2+2. Das Ergebnis −8-8 gehört zur Aufgabe −3−5-3 - 5. Bei verschiedenen Vorzeichen werden die Beträge subtrahiert (5 − 3 = 2), und das Vorzeichen kommt von der betragsgrößeren Zahl (+5). Kontomodell rettet immer: 3 € Schulden + 5 € Einzahlung = 2 € Guthaben.

Typischer Fehler

(−5)2=−25(-5)^2 = -25

Die Klammer macht das Minus zur Basis: (−5)2=(−5)⋅(−5)=+25(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = +25 (Minus mal Minus!). Negativ wäre −52=−(52)=−25-5^2 = -(5^2) = -25, dort quadriert man erst und setzt das Minus danach. Ein einziges Klammernpaar entscheidet über das Vorzeichen.

Übung 1

leicht

Berechne: a) −9+4-9 + 4 b) −6−7-6 - 7 c) 8−(−3)8 - (-3) d) (−4)⋅6(-4) \cdot 6

Tipp anzeigen

Kontomodell und Vorzeichenregeln.

Lösung anzeigen

a) −5-5 b) −13-13 c) 8+3=118 + 3 = 11 d) −24-24

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) und b): Plus und Minus als Bewegungen

    a) −9+4-9 + 4: von −9-9 vier Schritte nach rechts → −5-5. b) −6−7-6 - 7: von −6-6 sieben Schritte nach links → −13-13.

  2. 2

    c) Minus einer negativen Zahl

    8−(−3)8 - (-3): Das Abziehen einer negativen Zahl wirkt wie Addieren, 8+3=118 + 3 = 11.

  3. 3

    d) Vorzeichenregel beim Multiplizieren

    (−4)⋅6(-4) \cdot 6: Beträge multiplizieren (2424), Vorzeichen nach der Regel „verschiedene Vorzeichen → minus": −24-24.

    (−4)⋅6=−24(-4) \cdot 6 = -24

Übung 2

mittel

Berechne: a) (−3)⋅(−8):6(-3) \cdot (-8) : 6 b) −15:(−3)−7-15 : (-3) - 7 c) (−2)3(-2)^3

Tipp anzeigen

c) Drei Faktoren (−2)(-2), ungerade Anzahl Minus!

Lösung anzeigen

a) 24:6=424 : 6 = 4

b) 5−7=−25 - 7 = -2

c) (−2)⋅(−2)⋅(−2)=4⋅(−2)=−8(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Kette von links nach rechts

    (−3)⋅(−8)=+24(-3) \cdot (-8) = +24 (gleiche Vorzeichen → plus), dann 24:6=424 : 6 = 4.

  2. 2

    b) Punkt vor Strich mit Vorzeichen

    Erst die Division: −15:(−3)=+5-15 : (-3) = +5 (gleiche Vorzeichen). Dann 5−7=−25 - 7 = -2.

  3. 3

    c) Potenz mit negativer Basis

    (−2)3=(−2)⋅(−2)⋅(−2)(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2): erst (−2)(−2)=+4(-2)(-2) = +4, dann 4⋅(−2)=−84 \cdot (-2) = -8.

    (−2)3=−8(-2)^3 = -8

Übung 3

schwer

Berechne:   (−2)2⋅(3−8)−(−10):2\;(-2)^2 \cdot (3 - 8) - (-10) : 2

Tipp anzeigen

Reihenfolge: Klammern → → Punkt → Strich.

Lösung anzeigen

Klammer: 3−8=−53 - 8 = -5 · Potenz: (−2)2=4(-2)^2 = 4

Punktrechnung: 4⋅(−5)=−204 \cdot (-5) = -20 und (−10):2=−5(-10) : 2 = -5

Strichrechnung: −20−(−5)=−20+5=−15-20 - (-5) = -20 + 5 = \mathbf{-15}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Klammer und Potenz zuerst

    Reihenfolge: Klammer → Potenz → Punkt → Strich. Klammer: 3−8=−53 - 8 = -5. Potenz: (−2)2=+4(-2)^2 = +4 (gerader Exponent).

    3−8=−5,(−2)2=43 - 8 = -5, \quad (-2)^2 = 4

  2. 2

    Beide Punktrechnungen ausführen

    4⋅(−5)=−204 \cdot (-5) = -20 (verschiedene Vorzeichen) und (−10):2=−5(-10) : 2 = -5. Der ist jetzt −20−(−5)-20 - (-5).

    Zwischenergebnis

    −20−(−5)-20 - (-5)

  3. 3

    Die Strichrechnung mit Doppel-Minus

    Minus eine negative Zahl heißt: ihre Gegenzahl addieren, aus −20−(−5)-20 - (-5) wird −20+5=−15-20 + 5 = -15.

    −20−(−5)=−15-20 - (-5) = -15

Zusammenfassung

Plus und Minus beherrschst du mit dem Kontomodell, Doppelzeichen räumst du sofort auf (−(−a)=+a-(-a) = +a). Für Mal und Geteilt gilt die Vorzeichenregel: gleich → Plus, verschieden → Minus, bei vielen Faktoren zählt die Minus-Anzahl. Und die Klammerfrage (−2)2(-2)^2 vs. −22-2^2 entscheidet über das Vorzeichen ganzer Aufgaben.