Kongruenz und Dreieckskonstruktionen

Ein Zimmermann bestellt telefonisch ein dreieckiges Bauteil. Welche Angaben muss er durchgeben, damit garantiert das richtige Dreieck ankommt? Drei Seitenlängen reichen, drei Winkel dagegen nicht! Warum das so ist, verraten die Kongruenzsätze: die Bauanleitungen für eindeutige Dreiecke.

Zwei Figuren sind kongruent (Zeichen $\cong$), wenn sie deckungsgleich sind: Durch Verschieben, Drehen und Spiegeln lassen sie sich exakt aufeinanderlegen. Kongruente Figuren stimmen in allen Seiten und Winkeln überein.

Ein Dreieck hat sechs Bestimmungsstücke ($3$ Seiten, $3$ Winkel), aber schon drei passende legen es eindeutig fest. In den Skizzen unten sind die jeweils gegebenen Seiten und Winkel farbig markiert:

Warum kein WWW? Drei Winkel legen nur die Form fest, nicht die Größe: Ein kleines und ein großes Dreieck mit gleichen Winkeln sind ähnlich, aber nicht kongruent.

Warum drei Stücke reichen, und warum nicht irgendwelche drei

Ein Dreieck hat sechs Bestimmungsstücke. Dass drei davon genügen, klingt nach einem Zufall, hat aber einen klaren Grund: Die restlichen drei ergeben sich zwangsläufig.

Probiere es beim Konstruieren aus. Sobald du bei SSS die drei Seitenlängen abgetragen hast, kannst du das Dreieck gar nicht mehr verändern. Es ist starr. Genau deshalb sind auch die Winkel dann schon festgelegt, ohne dass sie jemand vorgegeben hätte.

Und warum funktioniert nicht jede Auswahl? Weil manche Angaben mehrere Dreiecke zulassen. Bei drei Winkeln ist die Form zwar bestimmt, die Größe aber nicht, du kannst das Dreieck beliebig vergrößern, ohne dass sich ein Winkel ändert.

Warum bei SWS der Winkel dazwischen liegen muss

Vergleiche zwei Fälle mit denselben Seiten $b$ und $c$:

• Der Winkel liegt zwischen ihnen (SWS): Die beiden Seiten sind wie zwei Zeiger, deren Öffnung festgelegt ist. Ihre Endpunkte liegen damit fest, das Dreieck ist eindeutig.
• Der Winkel liegt woanders: Dann ist die Öffnung zwischen $b$ und $c$ noch frei, und die Endpunkte können unterschiedlich weit auseinanderliegen.

Deshalb steht in den Sätzen so genau, welcher Winkel gemeint ist. „Zwei Seiten und ein Winkel" allein reicht nicht, auf die Lage kommt es an.

Warum bei SsW der Winkel der größeren Seite gegenüberliegen muss

Beim vierten Satz liegt der Winkel nicht zwischen den beiden Seiten, und trotzdem wird das Dreieck eindeutig. Das liegt am kleinen „s", und den Grund dafür siehst du am Zirkel.

Gegeben seien die Seiten $a$ und $b$ sowie der Winkel $\alpha$, der $a$ gegenüberliegt. So entsteht das Dreieck:

1. Winkel $\alpha$ antragen und auf einem Schenkel die Seite $b$ abtragen. Das ergibt den Punkt $C$.
2. Der letzte Eckpunkt $B$ liegt auf dem anderen Schenkel, und zwar $a$ weit von $C$ entfernt. Du schlägst also einen Kreis um $C$ mit Radius $a$; wo er den Schenkel trifft, liegt $B$.

Jetzt entscheidet der Vergleich von $a$ und $b$, denn der Punkt $A$ ist von $C$ genau $b$ weit entfernt:

• $a$ ist größer als $b$: Der Kreis um $C$ reicht über $A$ hinaus. Deshalb trifft er den Schenkel nur einmal, der zweite Schnittpunkt liegt hinter $A$ und damit gar nicht mehr auf dem Schenkel. Ein Dreieck, eindeutig.
• $a$ ist kleiner als $b$: Der Kreis reicht nicht bis $A$. Trifft er den Schenkel überhaupt, dann gleich zweimal, und diese beiden Dreiecke sind wirklich verschieden, nicht bloß gespiegelt.

Deshalb das kleine „s": Nur wenn der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegt, kann der zweite Schnittpunkt nicht dazwischenfunken.

1. Planfigur: kleine Freihandskizze, gegebene Stücke farbig markieren.
2. Konstruktion mit Zirkel, Lineal, Geodreieck.
3. Konstruktionsbeschreibung: jeden Schritt knapp notieren.

Beispiel SSS ($a = 7$, $b = 6$, $c = 5$): Strecke $\overline{AB} = c = 5\,\text{cm}$ zeichnen; Kreis um $A$ mit Radius $b = 6\,\text{cm}$; Kreis um $B$ mit Radius $a = 7\,\text{cm}$; der Schnittpunkt ist $C$. (Die Kreise schneiden sich zweimal, beide Dreiecke sind kongruent, nur gespiegelt.)