Besondere Linien im Dreieck: Umkreis, Inkreis, Schwerpunkt

Balanciere ein Dreieck aus Pappe auf der Fingerspitze. Es gibt genau einen Punkt, an dem es schwebt: den Schwerpunkt. Und er ist nicht allein: In jedem Dreieck treffen sich gleich vier Linienfamilien in je einem besonderen Punkt. Zwei davon schenken dir perfekte Kreise: den Umkreis und den Inkreis.

In jedem Dreieck treffen sich vier Familien besonderer Linien in je einem Punkt:

Jeder Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ ist gleich weit von $A$ und $B$ entfernt (Klasse 6!). Der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten ist also gleich weit von $A$, $B$ und $C$. Deshalb läuft auch die dritte Mittelsenkrechte durch ihn, und ein Kreis um $U$ trifft alle drei Ecken: der Umkreis (siehe Bild).

Lage: Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt $U$ außerhalb, beim rechtwinkligen genau auf der Hypotenusenmitte (Thales!).

Jeder Punkt einer Winkelhalbierenden hat gleichen Abstand zu ihren beiden Schenkeln (Klasse 6!). Schneiden sich die Winkelhalbierenden von $\alpha$ und $\beta$ im Punkt $I$, dann gilt:

• weil $I$ auf der Halbierenden von $\alpha$ liegt: gleicher Abstand zu $c$ und $b$;
• weil $I$ auf der Halbierenden von $\beta$ liegt: gleicher Abstand zu $c$ und $a$.

Zusammen hat $I$ also zu allen drei Seiten denselben Abstand. Damit ist $I$ insbesondere von $a$ und $b$ gleich weit entfernt, und genau das kennzeichnet die Winkelhalbierende von $\gamma$: Auch die dritte läuft durch $I$. Der Kreis um $I$ mit diesem Abstand als Radius schmiegt sich von innen an alle Seiten: der Inkreis (siehe Bild).

Lage: Der Inkreis liegt immer im Dreieck, und das aus einem einfachen Grund: Jede Winkelhalbierende verläuft innerhalb ihres Winkels, also im Inneren des Dreiecks. Ihr Schnittpunkt kann deshalb gar nicht draußen liegen. Eine Mittelsenkrechte ist dagegen nicht an die Ecken gebunden, sondern läuft quer durch die Ebene, deshalb kann $U$ hinauswandern, $I$ aber nie.

Die Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der Gegenseite. Alle drei treffen sich im Schwerpunkt $S$, dem Balancierpunkt. $S$ teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2 : 1$ (von der Ecke aus gemessen).

Die Höhe steht senkrecht auf einer Seite und läuft durch die Gegenecke. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegen zwei Höhenfußpunkte außerhalb, die Seiten müssen verlängert werden.

Warum sich die Seitenhalbierenden im Balancepunkt treffen

Der Name „Schwerpunkt" ist wörtlich gemeint: Schneidest du das Dreieck aus Pappe aus, balanciert es genau auf diesem Punkt.

So kannst du dir das vorstellen (ein Beweis ist das nicht. Der braucht Werkzeuge aus Klasse 9): Eine Seitenhalbierende zerlegt das Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleich großer Fläche. Beide haben nämlich gleich lange Grundseiten (die Linie halbiert ja die Gegenseite) und dieselbe Höhe. Gleich viel Pappe links wie rechts: Dass die Kante dann eine Balancelinie ist, ist plausibel.

Vorsicht, hier ist Sorgfalt nötig: „Gleich viel Fläche auf beiden Seiten" bedeutet nicht automatisch „balanciert". Beim Balancieren zählt nicht nur, wie viel Material auf jeder Seite liegt, sondern auch, wie weit weg es von der Kante liegt. Bei einer L-förmigen Pappe kann eine flächenhalbierende Linie deutlich neben der Balancelinie liegen. Beim Dreieck stimmt es, aber weil es hier passt, nicht weil es immer gelten müsste.

Probier es also aus: Schneide ein beliebiges Dreieck aus Pappe aus und balanciere es auf einer Kante entlang jeder Seitenhalbierenden. Es kippt nicht. Und weil derselbe Punkt auf allen drei Linien liegen muss, schneiden sie sich in einem einzigen Punkt.

Warum das Verhältnis 2: 1 gilt

Der Schwerpunkt liegt nicht in der Mitte der Seitenhalbierenden, sondern näher an der Seite. Dass es so ist, kannst du am Balancieren nachvollziehen:

Zur Ecke hin läuft das Dreieck spitz zu. Dort ist wenig Fläche. Zur Gegenseite hin wird es breit, dort sitzt der Großteil des Gewichts. Ein Balancepunkt muss näher am schwereren Teil liegen, also näher an der Gegenseite als an der Ecke.

Wie weit genau, sagt dieses Argument aber nicht. Es begründet nur „näher an der Seite", $3 : 1$ oder $5 : 2$ wären damit genauso gut vereinbar. Dass ausgerechnet $2 : 1$ herauskommt, kannst du in Klasse 7 auf zwei Wegen feststellen:

• Nachmessen. Zeichne drei ganz verschiedene Dreiecke, konstruiere je eine Seitenhalbierende und miss die beiden Abschnitte. Du erhältst jedes Mal dasselbe Verhältnis $2 : 1$. Das ist keine Eigenschaft deines Dreiecks, sondern eine Eigenschaft jedes Dreiecks.
• Später beweisen. Der eigentliche Nachweis läuft über ähnliche Dreiecke und die Strahlensätze. Die lernst du in Klasse 9, dort kannst du das $2 : 1$ dann wirklich herleiten statt nur nachmessen.

Merke dir den Unterschied: Ein Argument, das „näher dran" erklärt, erklärt noch keine Zahl. Wo eine Begründung nur die Richtung liefert, muss die genaue Größe gemessen oder später bewiesen werden.

Warum Höhen etwas anderes sind als Seitenhalbierende

Diese beiden werden oft verwechselt, obwohl sie ganz verschiedene Aufgaben haben:

• Die Seitenhalbierende trifft die Mitte der Gegenseite, der Winkel ist dabei egal.
• Die Höhe trifft die Gegenseite im rechten Winkel, wo genau, ist dabei egal.

Nur im gleichschenkligen Dreieck fallen beide zusammen. Und die Höhe brauchst du für die Flächenformel $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$. Dort ist der senkrechte Abstand gemeint, nicht irgendeine Verbindungslinie.