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Arithmetik / Zahlen

Multiplizieren und Dividieren natürlicher Zahlen

Schriftlich multiplizieren und dividieren, Rechenvorteile clever nutzen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Eine Schule bestellt für jede der 26 Klassen 347 Hefte, wie viele sind das insgesamt? Und wenn 8 352 Stifte gerecht auf 24 Klassen verteilt werden: Wie viele bekommt jede? Multiplizieren und Dividieren sind das Werkzeug für solche Fragen. Hier lernst du die schriftlichen Verfahren gründlich, und Tricks, mit denen du oft gar nicht schriftlich rechnen musst.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Fachbegriffe Faktor, Produkt, Dividend, Divisor, Quotient sicher verwenden.

  • schriftlich multiplizieren, auch mit mehrstelligen Faktoren.

  • schriftlich dividieren, auch durch zweistellige Divisoren, mit und ohne Rest.

  • das Distributivgesetz für Rechenvorteile nutzen.

  • Ergebnisse mit Probe und kontrollieren, und erklären, warum man durch 0 nicht teilen darf.

Was Multiplizieren wirklich bedeutet

Multiplizieren ist eine Abkürzung fürs Zusammenzählen gleicher Mengen. Wenn in 44 Reihen jeweils 66 Stühle stehen, musst du nicht 6+6+6+66+6+6+6 rechnen, du schreibst kurz 6⋅46 \cdot 4.

Am Malfeld (Bild unten) siehst du das direkt: 66 Kästchen pro Reihe, 44 Reihen, zusammen 6⋅4=246 \cdot 4 = 24 Kästchen.

Die Fachbegriffe dazu:

347⏟Faktor⋅26⏟Faktor=9 022⏟Produkt8 352⏟Dividend:24⏟Divisor=348⏟Quotient\underbrace{347}_{\text{Faktor}} \cdot \underbrace{26}_{\text{Faktor}} = \underbrace{9\,022}_{\text{Produkt}} \qquad \underbrace{8\,352}_{\text{Dividend}} : \underbrace{24}_{\text{Divisor}} = \underbrace{348}_{\text{Quotient}}

Dividieren ist die Umkehrung: Beim Malfeld mit 2424 Kästchen und 44 Reihen fragst du „wie viele pro Reihe?". Das ist 24:4=624 : 4 = 6.

Teilen bedeutet zweierlei

Wie beim Minus steckt auch hinter dem Geteiltzeichen mehr als eine Situation. Beide führen zur selben Rechnung, aber die Frage dahinter ist verschieden.

1. Verteilen. 2424 Bonbons werden gerecht auf 44 Kinder verteilt. Gesucht ist, wie viele jedes Kind bekommt: 24:4=624 : 4 = 6 Bonbons pro Kind.

2. Aufteilen. 2424 Bonbons werden in Tütchen zu je 44 Stück gepackt. Gesucht ist, wie viele Tütchen es werden: 24:4=624 : 4 = 6 Tütchen.

Beim Verteilen kennst du die Anzahl der Gruppen und suchst die Gruppengröße, beim Aufteilen ist es umgekehrt. Am Malfeld sind das einfach die beiden Fragerichtungen: „wie viele pro Reihe?" und „wie viele Reihen?".

Achte in Sachaufgaben darauf, welche der beiden Fragen gestellt ist, davon hängt ab, welche Einheit im Antwortsatz steht (Bonbons pro Kind oder Tütchen).

6 Kästchen4 Reihen6 · 4 = 24

Das Malfeld zeigt 6⋅46 \cdot 4: eine Reihe hat 66 Kästchen (gelb), und es gibt 44 Reihen, zusammen 2424. Weil du Reihen und Spalten tauschen kannst, ist 6⋅4=4⋅66 \cdot 4 = 4 \cdot 6.

Denk weiter: Erfinde zu der Rechnung 24 geteilt durch 6 zwei verschiedene Sachaufgaben, eine zum Verteilen und eine zum Aufteilen.

Schreib beide erst selbst auf. Danach vergleichst du.

Verteilen (Anzahl der Gruppen bekannt, Gruppengröße gesucht): „2424 Bonbons werden gerecht an 66 Kinder verteilt. Wie viele bekommt jedes Kind?" → 24:6=424 : 6 = 4 Bonbons pro Kind

Aufteilen (Gruppengröße bekannt, Anzahl der Gruppen gesucht): „2424 Bonbons werden in Tütchen zu je 66 Stück gepackt. Wie viele Tütchen werden es?" → 24:6=424 : 6 = 4 Tütchen

Worauf es ankommt: Die Rechnung ist beide Male dieselbe, aber die Einheit der Antwort ist verschieden. Genau darauf musst du im Antwortsatz achten.

(Deine Beispiele dürfen ganz andere Dinge verwenden. Prüfe nur: Ist bei deiner ersten Aufgabe die Gruppenzahl gegeben und bei der zweiten die Gruppengröße?)

Schriftlich rechnen, und die Probe

Schriftlich multiplizieren

Niemand kann 347⋅26347 \cdot 26 im Kopf. Deshalb zerlegst du die Aufgabe in Häppchen, die du beherrschst, und zwar nach Stellenwerten:

26=20+626 = 20 + 6

Mit dem Distributivgesetz wird daraus:

347⋅26=347⋅20+347⋅6347 \cdot 26 = 347 \cdot 20 + 347 \cdot 6

Diese beiden Stücke heißen Teilprodukte. Und beide kannst du wirklich rechnen: 347⋅6347 \cdot 6 ist das kleine Einmaleins mit Übertrag, und 347⋅20347 \cdot 20 ist auch nicht schwer.

Warum das Teilprodukt „versetzt" geschrieben wird

347⋅20347 \cdot 20 rechnest du nämlich in zwei bequemen Schritten:

347⋅20=347⋅2⋅10=694⋅10=6 940347 \cdot 20 = 347 \cdot 2 \cdot 10 = 694 \cdot 10 = 6\,940

Du multiplizierst also mit der Ziffer 22 und hängst danach die Null an, denn Multiplizieren mit 1010 verschiebt jede Ziffer um eine Stelle nach links.

Genau das ist der Grund, warum beim schriftlichen Verfahren das zweite Teilprodukt um eine Stelle nach links versetzt steht: Die Verschiebung ersetzt das Anhängen der Null.

Zum Schluss addierst du die Teilprodukte:

6 940+2 082=9 0226\,940 + 2\,082 = 9\,022

Schriftlich dividieren

Auch hier zerlegst du, nur beginnst du diesmal links, bei den größten Bündeln.

Die Leitfrage lautet immer: Wie oft passt der Divisor hinein?

Bei 8 352:248\,352 : 24 fragst du zuerst: Wie oft passt 2424 in 8383 (die ersten beiden Ziffern)? Dreimal, denn 3⋅24=723 \cdot 24 = 72. Übrig bleiben 83−72=1183 - 72 = 11.

Warum du die nächste Ziffer „herunterholst"

Die 1111, die übrig blieb, sind keine losen Einer. Es sind 1111 Hunderter. Wenn du nun die nächste Ziffer (55) dazunimmst, entsteht 115115: Die 1111 Hunderter wurden in Zehner umgewandelt und mit den vorhandenen 55 Zehnern zusammengelegt.

Das Herunterholen ist also nichts anderes als Umbündeln in die nächstkleinere Sorte, genau wie beim Borgen in der Subtraktion. Deshalb geht die Rechnung Stelle für Stelle weiter, bis keine Ziffer mehr übrig ist.

Wenn etwas übrig bleibt

Geht die Division nicht auf, bleibt am Ende ein Rest:

50:7=7 Rest 150 : 7 = 7 \text{ Rest } 1

Denn 7⋅7=497 \cdot 7 = 49, und bis 5050 fehlt genau 11. Der Rest ist immer kleiner als der Divisor, wäre er größer, hätte der Divisor ja noch einmal hineingepasst.

Die Probe

Weil Multiplizieren und Dividieren Umkehroperationen sind, kannst du jede Division prüfen:

8 352:24=348weil348⋅24=8 3528\,352 : 24 = 348 \quad \text{weil} \quad 348 \cdot 24 = 8\,352

Mit Rest lautet die Probe: Quotient⋅Divisor+Rest=Dividend\text{Quotient} \cdot \text{Divisor} + \text{Rest} = \text{Dividend}, also 7⋅7+1=507 \cdot 7 + 1 = 50 ✓.

Rechengesetze als Abkürzung

Mit ein paar Gesetzen wird Multiplizieren im Kopf oft viel leichter.

Kommutativgesetz: a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a, die Faktoren darfst du vertauschen. Das Malfeld oben zeigt, warum: Reihen und Spalten zu tauschen ändert die Anzahl der Kästchen nicht.

Assoziativgesetz: (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), du darfst beliebig gruppieren. Suche dir dabei bequeme Paare:

4⋅17⋅25=(4⋅25)⋅17=100⋅17=1 7004 \cdot 17 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1\,700

Distributivgesetz (es verbindet Mal und Plus): a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c. Der Faktor wird auf jeden Summanden in der Klammer verteilt.

Warum das Distributivgesetz gilt

Auch das zeigt dir das Malfeld. Nimm ein Feld mit 55 Reihen und 2323 Spalten, also 5⋅235 \cdot 23 Kästchen.

Jetzt zerschneidest du es senkrecht: links ein Stück mit 2020 Spalten, rechts eines mit 33 Spalten.

  • Linkes Stück: 5⋅20=1005 \cdot 20 = 100 Kästchen
  • Rechtes Stück: 5⋅3=155 \cdot 3 = 15 Kästchen

Zusammen sind es 115115, und das müssen ja alle Kästchen sein, denn durch das Zerschneiden ist keines verschwunden:

5⋅(20+3)=5⋅20+5⋅3=1155 \cdot (20 + 3) = 5 \cdot 20 + 5 \cdot 3 = 115

Merke dir das Bild: Wer nur den ersten Summanden multipliziert, lässt das zweite Stück des Feldes einfach unter den Tisch fallen.

Auch beim Minus einsetzbar

Dasselbe funktioniert mit einer Differenz, dann schneidest du ein Stück weg:

8⋅199=8⋅(200−1)=1 600−8=1 5928 \cdot 199 = 8 \cdot (200 - 1) = 1\,600 - 8 = 1\,592

Statt mit der unbequemen 199199 rechnest du mit 200200 und ziehst die achtmal zu viel gezählte 11 wieder ab.

Warum man nicht durch null teilen darf

Zum Schluss eine Regel, die du bestimmt schon gehört hast: Durch null darf man nicht teilen. Aber warum eigentlich nicht? Es ist keine Laune der Mathematik. Es geht wirklich nicht.

Erst der harmlose Fall: null geteilt durch etwas

0:50 : 5 ist erlaubt und ergibt 00. Sinn ergibt das sofort: Null Bonbons werden auf fünf Kinder verteilt, jedes bekommt null.

Und jetzt: etwas geteilt durch null

Was müsste 5:05 : 0 bedeuten? Nutze die Probe. Das Ergebnis müsste eine Zahl sein, die mit 00 multipliziert wieder 55 ergibt:

?⋅0=5? \cdot 0 = 5

Und genau hier ist Schluss: Jede Zahl mal null ergibt null. Es gibt keine einzige Zahl, die das erfüllt.

1⋅0=0100⋅0=01 000 000⋅0=01 \cdot 0 = 0 \qquad 100 \cdot 0 = 0 \qquad 1\,000\,000 \cdot 0 = 0

Das Ergebnis gibt es nicht, deshalb ist es verboten

Das Verbot ist also kein „das macht man nicht", sondern eine schlichte Feststellung: Zu 5:05 : 0 existiert keine Lösung. Man sagt: Die Division durch null ist nicht definiert.

Anschaulich: „Wie oft passt nichts in fünf?", du kannst noch so oft nichts wegnehmen, die fünf bleiben liegen. Du wirst nie fertig.

Vorsicht bei der Verwechslung: 0:5=00 : 5 = 0 ist erlaubt, 5:05 : 0 ist verboten. Merke dir: Die Null darf oben stehen, aber nie unten.

Prüfe dich: Warum gibt es für 5 geteilt durch 0 kein Ergebnis?

Weil es keine Zahl gibt, die die Probe erfüllen könnte.

Jede Division lässt sich als Multiplikation zurücklesen: 5:05 : 0 fragt nach der Zahl, die mit 00 multipliziert 55 ergibt.

?⋅0=5? \cdot 0 = 5

Aber jede Zahl mal null ergibt null, niemals 55:

1⋅0=0100⋅0=01 000 000⋅0=01 \cdot 0 = 0 \qquad 100 \cdot 0 = 0 \qquad 1\,000\,000 \cdot 0 = 0

Es gibt also gar keine Lösung. Deshalb sagt man: Die Division durch null ist nicht definiert.

Nicht verwechseln: 0:5=00 : 5 = 0 ist erlaubt (null Bonbons auf fünf Kinder verteilt, jedes bekommt null). Die Null darf oben stehen, aber nie unten.

Schriftliche Multiplikation

Berechne schriftlich: 347⋅26347 \cdot 26

  1. 1

    Was ist gesucht? Das Produkt zweier Faktoren.

    Erwartung vorab (): 350⋅25≈8 750350 \cdot 25 \approx 8\,750. Das Ergebnis muss also knapp neunstellig… nein, in der Größenordnung neuntausend liegen. Diese Erwartung brauchst du am Ende zur Kontrolle.

  2. 2

    Schritt 1: Den zweiten Faktor nach Stellenwerten zerlegen.

    26=20+626 = 20 + 6

    Warum darfst du das? Wegen des Distributivgesetzes:

    347⋅26=347⋅(20+6)=347⋅20+347⋅6347 \cdot 26 = 347 \cdot (20 + 6) = 347 \cdot 20 + 347 \cdot 6

    Aus einer schweren Aufgabe werden so zwei leichte.

  3. 3

    Schritt 2: Erstes Teilprodukt, die Zehner.

    347⋅20=347⋅2⋅10=694⋅10=6 940347 \cdot 20 = 347 \cdot 2 \cdot 10 = 694 \cdot 10 = 6\,940

    Du rechnest also nur 347⋅2347 \cdot 2 und hängst eine Null an. Beim schriftlichen Rechnen schreibt man stattdessen das Teilprodukt um eine Stelle versetzt, das bewirkt genau dasselbe.

  4. 4

    Schritt 3: Zweites Teilprodukt, die Einer.

    347⋅6=2 082347 \cdot 6 = 2\,082

    (Einzeln: 7⋅6=427 \cdot 6 = 42 → 22 hin, 44 Übertrag · 4⋅6=244 \cdot 6 = 24, +4=28+4 = 28 → 88 hin, 22 Übertrag · 3⋅6=183 \cdot 6 = 18, +2=20+2 = 20.)

  5. 5

    Schritt 4: Teilprodukte addieren.

    6 940+  2 0829 022\begin{array}{r} 6\,940 \\ +\;2\,082 \\ \hline 9\,022 \end{array}
  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle mit der Erwartung aus dem Anfang.

    Überschlag war 8 7508\,750, Ergebnis ist 9 0229\,022. Gleiche Größenordnung, kleine Abweichung nach oben. Das passt, denn du hattest beide Faktoren leicht .

    Ein Ergebnis wie 902902 oder 90 22090\,220 hättest du hier sofort als Stellenfehler erkannt.

347⋅26=9 022347 \cdot 26 = 9\,022

Schriftliche Division durch einen zweistelligen Divisor

Berechne schriftlich: 8 352:248\,352 : 24

  1. 1

    Was ist gesucht? Der Quotient, also: Wie oft passt 2424 in 8 3528\,352?

    vorab: 8 000:20=4008\,000 : 20 = 400. Das Ergebnis liegt also grob bei 400400, ist auf jeden Fall dreistellig.

  2. 2

    Schritt 1: Links beginnen und die erste passende Stelle suchen.

    Passt 2424 in 88? Nein, 2424 ist größer. Also nimmst du eine Ziffer mehr dazu: 8383.

    83:24→3(denn 3⋅24=72,  4⋅24=96 wa¨re schon zu viel)83 : 24 \to 3 \quad (\text{denn } 3 \cdot 24 = 72,\; 4 \cdot 24 = 96 \text{ wäre schon zu viel})

    Die 33 ist die erste Ziffer des Ergebnisses.

  3. 3

    Schritt 2: Rest bestimmen.

    83−72=1183 - 72 = 11

    Diese 1111 sind keine Einer, sondern 1111 Hunderter. Sie stehen ja an der Hunderterstelle.

  4. 4

    Schritt 3: Nächste Ziffer herunterholen.

    Die nächste Ziffer des Dividenden ist die 55. Damit wird aus dem Rest 115115:

    115:24→4(denn 4⋅24=96)115 : 24 \to 4 \quad (\text{denn } 4 \cdot 24 = 96)

    Neuer Rest: 115−96=19115 - 96 = 19.

  5. 5

    Schritt 4: Letzte Ziffer herunterholen.

    Die letzte Ziffer ist die 22, aus 1919 wird also 192192:

    192:24=8(denn 8⋅24=192)192 : 24 = 8 \quad (\text{denn } 8 \cdot 24 = 192)

    Rest: 00. Die Division geht auf.

  6. 6

    Schritt 5: Ergebnis zusammensetzen.

    Die gefundenen Ziffern in der Reihenfolge ihres Entstehens ergeben:

    8 352:24=3488\,352 : 24 = 348
  7. 7

    Schritt 6: Probe rechnen.

    348⋅24=348⋅20+348⋅4=6 960+1 392=8 352  ✓348 \cdot 24 = 348 \cdot 20 + 348 \cdot 4 = 6\,960 + 1\,392 = 8\,352 \; ✓

    Und die Erwartung von etwa 400400 aus dem Überschlag passt ebenfalls zu 348348.

8 352:24=3488\,352 : 24 = 348

Rechenvorteile nutzen

Berechne geschickt im Kopf: a) 4⋅17⋅254 \cdot 17 \cdot 25 b) 8⋅1998 \cdot 199

  1. 1

    Was ist gesucht? Beide Ergebnisse, aber „geschickt" heißt: erst schauen, dann rechnen.

    Schriftlich ginge beides auch, dauert aber länger und ist fehleranfälliger.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Ein bequemes Paar suchen.

    Die drei Faktoren sind 44, 1717 und 2525. Fällt dir etwas auf?

    4⋅25=1004 \cdot 25 = 100

    Das ist ein Traumpaar, mit 100100 rechnet es sich sofort.

  3. 3

    Teil a): Schritt 2: Umordnen und begründen.

    4⋅17⋅25=(4⋅25)⋅174 \cdot 17 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 17

    Erlaubt durch Kommutativgesetz (Faktoren tauschen) und Assoziativgesetz (frei gruppieren).

    =100⋅17=1 700= 100 \cdot 17 = 1\,700
  4. 4

    Teil b): Schritt 3: Die unbequeme Zahl runder machen.

    199199 liegt dicht an 200200. Schreibe deshalb:

    199=200−1199 = 200 - 1
  5. 5

    Teil b): Schritt 4: Distributivgesetz anwenden.

    8⋅199=8⋅(200−1)=8⋅200−8⋅1=1 600−8=1 5928 \cdot 199 = 8 \cdot (200 - 1) = 8 \cdot 200 - 8 \cdot 1 = 1\,600 - 8 = 1\,592

    Warum wird am Ende 88 abgezogen? Weil du mit 200200 statt 199199 gerechnet hast, also achtmal eine 11 zu viel.

  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle.

    a) : 4⋅20⋅25=2 0004 \cdot 20 \cdot 25 = 2\,000, nah an 1 7001\,700 ✓

    b) 1 5921\,592 liegt knapp unter 1 6001\,600, genau wie erwartet, denn 199199 ist knapp kleiner als 200200 ✓

a) 4⋅17⋅25=1 7004 \cdot 17 \cdot 25 = 1\,700 · b) 8⋅199=1 5928 \cdot 199 = 1\,592

Division mit Rest, und was der Rest bedeutet

Für einen Wandertag müssen 5050 Kinder mit Kleinbussen gefahren werden. In jeden Bus passen 77 Kinder. Wie viele Busse werden gebraucht?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: 5050 Kinder, 77 Plätze pro Bus. Gesucht: die Anzahl der Busse.

    Das ist der Fall Aufteilen: Du kennst die Gruppengröße (77) und suchst die Anzahl der Gruppen.

  2. 2

    Schritt 1: Die passende Rechnung aufstellen.

    50:750 : 7
  3. 3

    Schritt 2: Rechnen.

    Wie oft passt 77 in 5050? Aus dem Einmaleins: 7⋅7=497 \cdot 7 = 49, und 7⋅8=567 \cdot 8 = 56 wäre zu viel.

    50:7=7 Rest 150 : 7 = 7 \text{ Rest } 1

    Prüfe kurz den Rest: 50−49=150 - 49 = 1, und 1<71 < 7 ✓, ein Rest muss immer kleiner als der Divisor sein.

  4. 4

    Schritt 3: Den Rest übersetzen. Hier kommt es darauf an.

    77 volle Busse nehmen 4949 Kinder mit. Übrig bleibt 1 Kind.

    Die Rechnung sagt „7 Rest 1", aber ein Kind kann nicht zu Hause bleiben.

  5. 5

    Schritt 4: Entscheiden, wie mit dem Rest umzugehen ist.

    Für das übrige Kind wird ein weiterer Bus gebraucht. Also:

    7+1=8 Busse7 + 1 = 8 \text{ Busse}

    Diese Entscheidung nimmt dir keine Rechnung ab, sie steckt in der Sachsituation. Bei der Frage „Wie viele Busse sind voll besetzt?" wäre 77 die richtige Antwort gewesen.

  6. 6

    Schritt 5: Probe und Antwortsatz.

    Probe: 7⋅7+1=507 \cdot 7 + 1 = 50 ✓ (Quotient mal Divisor plus Rest ergibt den Dividenden).

    Und der letzte Bus fährt mit nur einem Kind, unbequem, aber nötig.

Es werden 8 Busse gebraucht (50:7=750 : 7 = 7 Rest 11; für das übrige Kind fährt ein achter Bus).

Typischer Fehler

5⋅(20+3)=5⋅20+3=1035 \cdot (20 + 3) = 5 \cdot 20 + 3 = 103

Der Faktor muss auf beide Summanden verteilt werden: 5⋅(20+3)=5⋅20+5⋅3=100+15=1155 \cdot (20 + 3) = 5 \cdot 20 + 5 \cdot 3 = 100 + 15 = 115. Kontrolle: 5⋅23=1155 \cdot 23 = 115 ✓. Wer nur den ersten Summanden multipliziert, „verschenkt" den zweiten.

Typischer Fehler

„0:50 : 5 und 5:05 : 0. Beides ist einfach 00."

0:5=00 : 5 = 0 stimmt (0 Dinge auf 5 verteilt: jeder bekommt 0). Aber 5:05 : 0 ist nicht definiert! Die Probe zeigt warum: Das Ergebnis müsste mal 00 wieder 55 ergeben, doch jede Zahl mal 00 ist 00, niemals 55. Division durch null ist deshalb verboten.

Übung 1

leicht

Berechne: a) 234⋅3234 \cdot 3 b) 812:4812 : 4

Tipp anzeigen

b) Von links: erst 8:48:4, dann 1:41:4 (geht nicht → Rest), dann weiter.

Lösung anzeigen

a) 234⋅3=702234 \cdot 3 = 702

b) 812:4=203812 : 4 = 203: Probe: 203⋅4=812203 \cdot 4 = 812 ✓

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Stellenweise multiplizieren

    234⋅3234 \cdot 3 von rechts: 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 (schreibe 22, merke 11), 3⋅3+1=103 \cdot 3 + 1 = 10 (schreibe 00, merke 11), 2⋅3+1=72 \cdot 3 + 1 = 7. Ergebnis: 702702.

    234⋅3=702234 \cdot 3 = 702

  2. 2

    b) Teilen von links

    812:4812 : 4 von links: 8:4=28:4 = 2, 1:41:4 geht nicht (schreibe 00, Rest 11), 12:4=312:4 = 3. Ergebnis: 203203.

  3. 3

    Mit der Umkehraufgabe prüfen

    Division prüft man durch Multiplizieren: 203⋅4=812203 \cdot 4 = 812 ✓.

Übung 2

mittel

Berechne schriftlich: a) 208⋅35208 \cdot 35 b) 9 894:179\,894 : 17

Tipp anzeigen

a) Zerlege 35=30+535 = 30 + 5. b) 17⋅5=8517 \cdot 5 = 85 hilft beim Schätzen.

Lösung anzeigen

a) 208⋅30=6 240208 \cdot 30 = 6\,240 und 208⋅5=1 040208 \cdot 5 = 1\,040 → 6 240+1 040=7 2806\,240 + 1\,040 = 7\,280

b) 98:17=598 : 17 = 5 R 1313; 139:17=8139 : 17 = 8 R 33; 34:17=234 : 17 = 2 R 00 → 582582

Probe: 582⋅17=582⋅10+582⋅7=5 820+4 074=9 894582 \cdot 17 = 582 \cdot 10 + 582 \cdot 7 = 5\,820 + 4\,074 = 9\,894 ✓

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Den zweiten Faktor zerlegen

    3535 zerlegen wir in 30+530 + 5: 208⋅35=208⋅30+208⋅5208 \cdot 35 = 208 \cdot 30 + 208 \cdot 5. Zwei einfache Teilrechnungen statt einer schweren.

  2. 2

    Beide Teilprodukte ausrechnen und addieren

    208⋅30=6 240208 \cdot 30 = 6\,240 (erst 208⋅3=624208 \cdot 3 = 624, dann ⋅10\cdot 10) und 208⋅5=1 040208 \cdot 5 = 1\,040. Zusammen: 6 240+1 040=7 2806\,240 + 1\,040 = 7\,280.

    208⋅35=6 240+1 040=7 280208 \cdot 35 = 6\,240 + 1\,040 = 7\,280

    Zwischenergebnis

    7 2807\,280

  3. 3

    b) Schrittweise durch 17 teilen

    9 894:179\,894 : 17 von links, immer „Wie oft passt die 17?": 98:17=598 : 17 = 5 Rest 1313 → aus Rest und nächster Ziffer wird 139139; 139:17=8139 : 17 = 8 Rest 33 → daraus wird 3434; 34:17=234 : 17 = 2 Rest 00. Ergebnis: 582582.

  4. 4

    Division mit der Probe absichern

    Probe: 582⋅17=582⋅10+582⋅7=5 820+4 074=9 894582 \cdot 17 = 582 \cdot 10 + 582 \cdot 7 = 5\,820 + 4\,074 = 9\,894 ✓.

Übung 3

schwer

Zum Schulfest fahren 1 2761\,276 Kinder mit Bussen. In jeden Bus passen 4848 Kinder. Wie viele Busse werden gebraucht?

Tipp anzeigen

Dividiere mit Rest, und überlege, was der Rest für die Antwort bedeutet.

Lösung anzeigen

1 276:48=261\,276 : 48 = 26 Rest 2828 (denn 26⋅48=1 24826 \cdot 48 = 1\,248 und 1 276−1 248=281\,276 - 1\,248 = 28)

2626 volle Busse reichen nicht, für die restlichen 2828 Kinder braucht es einen weiteren Bus.

Antwort: Es werden 2727 Busse gebraucht.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Angaben herauslesen und Rechenart wählen

    Gegeben: 1 2761\,276 Kinder, 4848 Plätze je Bus. Gesucht: die Anzahl Busse. „Wie oft passt 48 in 1276?" ist eine Divisionsfrage.

  2. 2

    Dividieren, mit Rest

    1 276:48=261\,276 : 48 = 26 Rest 2828, denn 26⋅48=1 24826 \cdot 48 = 1\,248 und 1 276−1 248=281\,276 - 1\,248 = 28.

    1 276:48=26 R 281\,276 : 48 = 26 \text{ R } 28

    Zwischenergebnis

    2626 volle Busse, 2828 Kinder übrig

  3. 3

    Den Rest richtig deuten

    2626 Busse reichen nicht, die 2828 restlichen Kinder brauchen auch einen Bus. Antwort: 2727 Busse.

Zusammenfassung

Schriftliches Multiplizieren läuft über stellengerechte Teilprodukte, schriftliches Dividieren von links mit Rest-Weiterreichen, und die Umkehroperation liefert immer die Probe. Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz sind deine Abkürzungen fürs Kopfrechnen. Nur eine Regel ist unverhandelbar: Durch null wird nie geteilt.