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Analysis

Ableitung von e-Funktion, Sinus und Kosinus

Die besonderen Ableitungen: die e-Funktion als ihre eigene Ableitung und der sin-cos-Kreislauf.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Gibt es eine Funktion, die sie selbst bleibt? Ja, die ee-Funktion! Sie ist die Königin der Analysis, weil sie ihre eigene Änderungsrate ist: Wachstum, das exakt so schnell wächst, wie es gerade groß ist. Dazu drehen sich und beim Ableiten im . Diese speziellen Ableitungen begleiten dich durch die ganze Oberstufe.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die e-Funktion und ihre besondere Ableitungseigenschaft nutzen (f′=ff' = f).

  • und und den „Ableitungskreislauf" kennen.

  • diese Ableitungen mit Faktor- und Summenregel kombinieren.

  • Ableitungen der e-Funktion in Wachstumsmodellen interpretieren.

Die e-Funktion: die Funktion, die sich selbst ableitet

Bisher konntest du . Wie sieht es mit wie 2x2^x aus, die du aus Klasse 10 kennst? Hier hilft die Potenzregel nicht, bei ihr steht das xx unten, hier steht es oben. Das sind völlig verschiedene Bauarten.

Ein Blick auf das Wachstum

Untersucht man die Ableitung von 2x2^x genauer, zeigt sich etwas Bemerkenswertes: Sie ist wieder dieselbe Funktion, nur mit einem Vorfaktor.

(2x)′≈0,693⋅2x(3x)′≈1,099⋅3x\left(2^x\right)' \approx 0{,}693 \cdot 2^x \qquad\qquad \left(3^x\right)' \approx 1{,}099 \cdot 3^x

Das ist plausibel, wenn man daran denkt, was Exponentialfunktionen auszeichnet: Sie wachsen zu ihrem eigenen Bestand. Je größer der Wert, desto schneller wächst er, genau das sagt eine Ableitung aus, die ein der Funktion selbst ist.

Die naheliegende Frage

Bei der Basis 22 ist der Vorfaktor kleiner als 11, bei der Basis 33 größer. Gibt es dann nicht eine Basis dazwischen, bei der er genau 11 ist?

Ja, und diese Zahl ist so bedeutend, dass sie einen eigenen Namen bekommen hat:

e≈2,71828…e \approx 2{,}71828\ldots

Sie heißt eulersche Zahl und ist wie π\pi : unendlich viele Dezimalstellen ohne Muster. Mit ihr gilt:

f(x)=ex⟹f′(x)=exf(x) = e^x \qquad\Longrightarrow\qquad f'(x) = e^x

Was das bedeutet

Die e-Funktion reproduziert sich beim Ableiten. An jeder Stelle ist ihre genau so groß wie ihr Funktionswert:

  • Bei x=0x = 0 ist e0=1e^0 = 1, also hat die dort die Steigung 11.
  • Wo die Funktion den Wert 55 hat, steigt sie mit der Steigung 55.

Das siehst du im Bild unten: Die eingezeichnete Tangente im Punkt (1∣e)(1 \mid e) steigt pro Schritt nach rechts genau um ee, so hoch, wie der Punkt liegt. Unter allen Exponentialfunktionen bxb^x ist die e-Funktion die einzige mit dieser Eigenschaft.

Und deshalb ist ee überhaupt eingeführt worden: Nicht aus Willkür, sondern weil diese Basis das Rechnen radikal vereinfacht. Alle anderen Exponentialfunktionen schleppen beim Ableiten einen Faktor mit, die e-Funktion nicht. In der gesamten Oberstufe, in der Physik und in jedem Wachstumsmodell rechnet man deshalb mit ihr.

Mit der Faktorregel folgt außerdem sofort: (c⋅ex)′=c⋅ex\left(c \cdot e^x\right)' = c \cdot e^x. Auch ein Vorfaktor bleibt unverändert stehen, die Vielfachen der e-Funktion erben die Eigenschaft f′=ff' = f also mit (für c=0c = 0 ist das die Nullfunktion). Tatsächlich sind sie die einzigen Funktionen überhaupt, für die f′=ff' = f gilt; dass keine weitere hinzukommt, beweisen wir hier nicht.

e-Funktion: f' = f

xy-2-11-1123456e^x = (e^x)'TangenteP(1|e)

Die ee-Funktion f(x)=exf(x)=e^x ist ihre eigene : An jeder Stelle ist die Tangentensteigung genau gleich dem Funktionswert. Die eingezeichnete (blau) im Punkt (1∣e)(1 \mid e) zeigt es: Ihr Anstieg ist e≈2,72e \approx 2{,}72, genau die Höhe des Punktes. Deshalb modelliert exe^x ungebremstes Wachstum.

Erkläre es selbst: Eine Bakterienkultur hat zur Stunde t genau 100 mal e hoch t Bakterien. Die Ableitung ist dieselbe Funktion. Was heißt das anschaulich für das Wachstum?

Formuliere es erst selbst, ein Satz, in dem eine Einheit vorkommt.

N(t)=100⋅etN(t) = 100 \cdot e^t hat die N′(t)=100⋅et=N(t)N'(t) = 100 \cdot e^t = N(t) (Faktorregel + e-Funktion). Und N′N' ist die momentane Änderungsrate des Bestands, ihre Einheit: Bakterien pro Stunde (Änderungsraten-Kapitel).

Die N′=NN' = N heißt also: In jedem Moment kommen pro Stunde gerade so viele Bakterien hinzu, wie aktuell vorhanden sind. Bei 10001000 Bakterien wächst die Kultur momentan mit 10001000 Bakterien pro Stunde, bei 20002000 mit 20002000, je größer der Bestand, desto schneller das Wachstum.

Vorsicht vor der Fehldeutung „wächst immer gleich schnell": Gleich bleibt nicht das Tempo, sondern das Verhältnis von Tempo und Bestand. Genau das macht so explosiv, und ee zur natürlichen Basis der Wachstumsmodelle.

Deine Formulierung darf ganz anders lauten, entscheidend ist der Gedanke „Wachstumstempo = aktueller Bestand".

Der Sinus-Kosinus-Kreislauf

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x \qquad\qquad (\cos x)' = -\sin x

Warum das plausibel ist

Diese Regeln kann man am Graphen nachvollziehen, und das lohnt sich, weil man sie sich dann nicht merken muss.

Schau dir die Sinuskurve an und frage nach ihrer :

  • Bei x=0x = 0 steigt sie am steilsten. Und cos⁡0=1\cos 0 = 1 ist der größte Wert des ✓
  • Bei x=π2x = \frac{\pi}{2} hat sie ihren , die ist waagerecht. Und cos⁡π2=0\cos\frac{\pi}{2} = 0 ✓
  • Danach fällt sie, die Steigung ist negativ. Und der Kosinus ist dort negativ ✓

Die Kosinuskurve beschreibt also genau die Steigungen der Sinuskurve. Das Bild unten zeigt beide übereinander, vergleiche gezielt Hochpunkte mit .

Woher das Minus kommt

Dieselbe Überlegung für den Kosinus: Bei x=0x = 0 hat er seinen Hochpunkt, die Steigung ist null, passt zu −sin⁡0=0-\sin 0 = 0. Kurz danach fällt er, die Steigung ist also negativ. Der ist dort aber positiv. Deshalb braucht es das Minuszeichen.

Dieses Minus wird am häufigsten vergessen. Merke dir: Beim von cos⁡\cos kommt ein Minus dazu, beim Ableiten von sin⁡\sin nicht.

Der Kreislauf

Leitet man immer weiter ab, dreht man sich im :

sin⁡x→  ′  cos⁡x→  ′  −sin⁡x→  ′  −cos⁡x→  ′  sin⁡x\sin x \xrightarrow{\;'\;} \cos x \xrightarrow{\;'\;} -\sin x \xrightarrow{\;'\;} -\cos x \xrightarrow{\;'\;} \sin x

Nach vier Ableitungen bist du wieder am Start. Das ist praktisch bei Aufgaben wie „Bestimme die 100100. Ableitung": Weil 100100 durch 44 ist, ist sie identisch mit der Ausgangsfunktion.

Und inhaltlich? Dieser Kreislauf ist der Grund, warum Sinus und Kosinus Schwingungen beschreiben: Eine Größe, deren zweite Ableitung ihr eigenes Negatives ist, schwingt, genau das passiert bei einer Feder oder einem Pendel.

Ableitung von Sinus

xy123456-2-11sin xcos x = (sin x)'

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x: Wo die Sinuswelle (rot) am steilsten steigt (bei x=0x=0), hat der (blau) seinen Höchstwert 11; wo sin⁡\sin ein Maximum hat, ist cos⁡=0\cos = 0. Weiter gilt (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x, das Minus nicht vergessen!

Kombinieren mit den Grundregeln

Die neuen ersetzen die alten Regeln nicht, sie ergänzen sie. Faktor- und Summenregel gelten unverändert weiter. Du gehst also wie gewohnt für Term vor und wendest bei jedem die passende Regel an.

f(x)=3ex−2sin⁡x+5cos⁡xf(x) = 3e^x - 2\sin x + 5\cos x

Nimm dir die drei Summanden einzeln vor:

  • 3ex3e^x: Die e-Funktion bleibt sich selbst, der Faktor 33 bleibt stehen → 3ex3e^x
  • −2sin⁡x-2\sin x: Aus sin⁡\sin wird cos⁡\cos, der Faktor −2-2 bleibt → −2cos⁡x-2\cos x
  • +5cos⁡x+5\cos x: Aus cos⁡\cos wird −sin⁡-\sin, also 5⋅(−sin⁡x)5 \cdot (-\sin x) → −5sin⁡x-5\sin x
f′(x)=3ex−2cos⁡x−5sin⁡xf'(x) = 3e^x - 2\cos x - 5\sin x

Achte auf den dritten Term: Aus einem Plus wird hier ein Minus, weil die Ableitung des selbst ein Minuszeichen mitbringt. Genau dort passieren die meisten Vorzeichenfehler.

Eine Übersicht aller Grundableitungen, die du jetzt kennst:

f(x)f(x)f′(x)f'(x)
xnx^nn⋅xn−1n \cdot x^{n-1}
cc (konstant)00
exe^xexe^x
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x

Mit Faktor-, Summen- und lässt sich daraus fast alles ableiten, was dir in Klasse 11 begegnet.

Gemischte Ableitung

Leite ab: f(x)=4ex+3sin⁡x−2cos⁡xf(x) = 4e^x + 3\sin x - 2\cos x

  1. 1

    Wie gehst du an so einen heran? Er besteht aus drei Summanden mit verschiedenen Funktionstypen. Dank der Summenregel darfst du jeden einzeln , du brauchst also nur für jeden Summanden die passende Grundableitung.

    Die drei, die hier vorkommen:

    (ex)′=ex(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x\left(e^x\right)' = e^x \qquad (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x
  2. 2

    Erster Summand: 4ex4e^x. Die e-Funktion bleibt beim Ableiten sich selbst, der Faktor 44 bleibt nach der Faktorregel stehen:

    (4ex)′=4ex\left(4e^x\right)' = 4e^x

    Dieser Summand ändert sich also überhaupt nicht, die auffälligste Eigenschaft der e-Funktion.

  3. 3

    Zweiter Summand: 3sin⁡x3\sin x. Aus sin⁡\sin wird cos⁡\cos, die 33 bleibt:

    (3sin⁡x)′=3cos⁡x\left(3\sin x\right)' = 3\cos x
  4. 4

    Dritter Summand: −2cos⁡x-2\cos x. Hier ist Vorsicht geboten. Die Ableitung von cos⁡x\cos x ist −sin⁡x-\sin x, bringt also selbst ein Minus mit. Zusammen mit dem vorhandenen Minus ergibt das ein Plus:

    (−2cos⁡x)′=−2⋅(−sin⁡x)=+2sin⁡x\left(-2\cos x\right)' = -2 \cdot (-\sin x) = +2\sin x

    Das ist die häufigste Fehlerquelle des ganzen Kapitels. Rechne das Vorzeichen bewusst aus, statt es zu übernehmen: minus mal minus ergibt plus.

  5. 5

    Zusammensetzen.

    f′(x)=4ex+3cos⁡x+2sin⁡xf'(x) = 4e^x + 3\cos x + 2\sin x

    Vergleiche die Vorzeichen mit dem Ausgangsterm: Aus −2cos⁡x-2\cos x ist +2sin⁡x+2\sin x geworden, das Vorzeichen hat sich umgedreht, weil die Kosinus-Ableitung ein Minus erzeugt. Bei 3sin⁡x→3cos⁡x3\sin x \to 3\cos x passiert das nicht.

f′(x)=4ex+3cos⁡x+2sin⁡xf'(x) = 4e^x + 3\cos x + 2\sin x

Merke: sin⁡\sin wird zu cos⁡\cos (ohne Vorzeichenwechsel), cos⁡\cos wird zu −sin⁡-\sin (mit Vorzeichenwechsel), exe^x bleibt. Bei einem Minus vor dem entsteht deshalb ein Plus.

Mehrfaches Ableiten von cos

Bestimme die ersten vier von f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x.

  1. 1

    Was hier passiert. Wir wenden dieselbe Regel viermal hintereinander an. Jede Ableitung ist die Ausgangsfunktion für die nächste, und dabei zeigt sich ein Muster, das du für Aufgaben wie „bestimme die 5050. Ableitung" brauchst.

    Nötig sind nur die beiden Grundableitungen (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x und (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x.

  2. 2

    Erste Ableitung. Direkt die Kosinus-Regel:

    f′(x)=−sin⁡xf'(x) = -\sin x
  3. 3

    Zweite Ableitung. Jetzt leiten wir −sin⁡x-\sin x ab. Die Ableitung von sin⁡x\sin x ist cos⁡x\cos x; das Minus bleibt als Faktor davor stehen:

    f′′(x)=−cos⁡xf''(x) = -\cos x
  4. 4

    Dritte Ableitung. Wir leiten −cos⁡x-\cos x ab. Die Ableitung von cos⁡x\cos x ist −sin⁡x-\sin x, und mit dem vorhandenen Minus:

    f′′′(x)=−(−sin⁡x)=+sin⁡xf'''(x) = -(-\sin x) = +\sin x

    Wieder das doppelte Minus, genau wie im vorigen Beispiel. Hier entsteht daraus ein positives sin⁡x\sin x.

  5. 5

    Vierte Ableitung. Wir leiten sin⁡x\sin x ab:

    f(4)(x)=cos⁡xf^{(4)}(x) = \cos x

    Das ist die Ausgangsfunktion. Wir sind nach vier Schritten wieder am Start.

  6. 6

    Das Muster nutzen. Der Kreislauf schließt sich nach vier Ableitungen:

    cos⁡x  →  −sin⁡x  →  −cos⁡x  →  sin⁡x  →  cos⁡x\cos x \;\to\; -\sin x \;\to\; -\cos x \;\to\; \sin x \;\to\; \cos x

    Wozu das gut ist: Für höhere Ableitungen musst du nicht durchrechnen, sondern nur durch 44 teilen und den Rest betrachten. Die 5050. Ableitung? 50:4=1250 : 4 = 12 Rest 22, also dasselbe wie die zweite Ableitung, nämlich −cos⁡x-\cos x.

f′=−sin⁡xf' = -\sin x · f′′=−cos⁡xf'' = -\cos x · f′′′=sin⁡xf''' = \sin x · f(4)=cos⁡xf^{(4)} = \cos x

Der Kreislauf schließt sich nach vier Schritten. Bei hohen Ableitungen genügt daher der Rest bei Division durch 44.

Steigung der e-Funktion

Welche hat der Graph von f(x)=exf(x) = e^x an der Stelle x=0x = 0? Und bei x=1x = 1?

  1. 1

    Was ist gesucht? Die Steigung an zwei bestimmten Stellen, also der Wert der dort. Nicht der Funktionswert, sondern die Steilheit der .

  2. 2

    Die Ableitung bestimmen. Bei der e-Funktion ist dieser Schritt besonders kurz:

    f′(x)=exf'(x) = e^x

    Ableitung und Funktion sind identisch. Das ist die definierende Eigenschaft der e-Funktion.

  3. 3

    Steigung bei x=0x = 0. Einsetzen in f′f':

    f′(0)=e0=1f'(0) = e^0 = 1

    Denn jede Zahl hoch 00 ergibt 11 (das hast du in Klasse 10 hergeleitet).

    Was das anschaulich bedeutet: Der Graph von exe^x geht durch den Punkt (0∣1)(0 \mid 1) und steigt dort mit der Steigung genau 11, also im 45°45°-. Das ist ein guter Merkpunkt beim Skizzieren.

  4. 4

    Steigung bei x=1x = 1.

    f′(1)=e1=e≈2,72f'(1) = e^1 = e \approx 2{,}72

    Bei x=1x = 1 steigt die Kurve also schon fast dreimal so steil wie bei x=0x = 0.

  5. 5

    Den Zusammenhang erkennen, darum geht es in dieser Aufgabe. Vergleiche jeweils Höhe und Steigung:

    StelleFunktionswert f(x)f(x)Steigung f′(x)f'(x)
    x=0x = 01111
    x=1x = 1≈2,72\approx 2{,}72≈2,72\approx 2{,}72
    x=2x = 2≈7,39\approx 7{,}39≈7,39\approx 7{,}39

    An jeder Stelle ist die Steigung genau so groß wie die Höhe des Graphen. Je höher die Kurve steigt, desto steiler wird sie, und genau das erzeugt das explosionsartige Wachstum der e-Funktion.

Bei x=0x = 0 beträgt die Steigung 11, bei x=1x = 1 etwa 2,722{,}72.

Die Kernaussage: Bei f(x)=exf(x) = e^x ist die Steigung an jeder Stelle gleich dem Funktionswert. Nur die c⋅exc \cdot e^x teilen diese Eigenschaft, deshalb ist ee als Basis so bedeutend.

Typischer Fehler

(cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)' = \sin x

Das Minuszeichen fehlt: (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x! Merkhilfe über den Graphen: Bei x=0x = 0 hat der seinen Höchstpunkt, direkt danach fällt er, seine ist dort also negativ. +sin⁡x+\sin x ist direkt nach 00 aber positiv und würde den Graphen steigen lassen; −sin⁡x-\sin x ist dort negativ und liefert das korrekte Fallen. Der dagegen behält beim sein Vorzeichen: (sin⁡x)′=+cos⁡x(\sin x)' = +\cos x.

Übung 1

leicht

Leite ab: a) f(x)=ex+sin⁡xf(x) = e^x + \sin x b) g(x)=5cos⁡xg(x) = 5\cos x c) h(x)=2ex−3h(x) = 2e^x - 3

Tipp anzeigen

Konstante fällt weg, Minus bei cos.

Lösung anzeigen

a) f′(x)=ex+cos⁡xf'(x) = e^x + \cos x

b) g′(x)=−5sin⁡xg'(x) = -5\sin x

c) h′(x)=2exh'(x) = 2e^x

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Summand für Summand

    f(x)=ex+sin⁡xf(x) = e^x + \sin x: Summenregel, jeden Summanden einzeln : (ex)′=ex(e^x)' = e^x, (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x → f′(x)=ex+cos⁡xf'(x) = e^x + \cos x.

  2. 2

    b) Faktor bleibt, Kosinus kippt

    g(x)=5cos⁡xg(x) = 5\cos x: Faktorregel, die 55 bleibt stehen; (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x → g′(x)=−5sin⁡xg'(x) = -5\sin x.

  3. 3

    c) Konstante verschwindet

    h(x)=2ex−3h(x) = 2e^x - 3: (2ex)′=2ex(2e^x)' = 2e^x, die Konstante −3-3 hat Ableitung 00 → h′(x)=2exh'(x) = 2e^x.

Übung 2

mittel

Bestimme f′f' und f′′f'' von f(x)=sin⁡x+exf(x) = \sin x + e^x.

Tipp anzeigen

Zweimal , Kreislauf beachten.

Lösung anzeigen

f′(x)=cos⁡x+exf'(x) = \cos x + e^x

f′′(x)=−sin⁡x+exf''(x) = -\sin x + e^x

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Erste Ableitung

    f(x)=sin⁡x+exf(x) = \sin x + e^x: f′(x)=cos⁡x+exf'(x) = \cos x + e^x.

  2. 2

    Zweite Ableitung

    f′′(x)=(cos⁡x+ex)′=−sin⁡x+exf''(x) = (\cos x + e^x)' = -\sin x + e^x.

    (cos⁡x)′=−sin⁡x,(ex)′=ex(\cos x)' = -\sin x, \quad (e^x)' = e^x

  3. 3

    Struktur-Check

    Kontrolle: In f′′f'' hat sich nur der trigonometrische Summand verändert (sin⁡→cos⁡→−sin⁡\sin \to \cos \to -\sin), der exe^x-Anteil ist stabil geblieben, genau wie es die Grundableitungen vorhersagen.

Übung 3

schwer

Gegeben f(x)=ex⋅cos⁡xf(x) = e^x \cdot \cos x. Leite mit der ab und vereinfache.

Tipp anzeigen

u=exu = e^x, v=cos⁡xv = \cos x, beide „speziell"!

Lösung anzeigen

u=exu = e^x, u′=exu' = e^x; v=cos⁡xv = \cos x, v′=−sin⁡xv' = -\sin x

f′(x)=excos⁡x+ex(−sin⁡x)=ex(cos⁡x−sin⁡x)f'(x) = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)

Hier ist die Produktregel Pflicht: Ausmultiplizieren geht bei ex⋅cos⁡xe^x \cdot \cos x nicht!

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Warum hier die Produktregel Pflicht ist

    f(x)=ex⋅cos⁡xf(x) = e^x \cdot \cos x ist ein PRODUKT zweier echter Funktionen, ausmultiplizieren geht nicht, es gibt keine - oder Summenform. Es bleibt nur die Produktregel (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'.

  2. 2

    Bausteine benennen und einsetzen

    u=exu = e^x, u′=exu' = e^x; v=cos⁡xv = \cos x, v′=−sin⁡xv' = -\sin x. Dann: f′(x)=excos⁡x+ex⋅(−sin⁡x)f'(x) = e^x \cos x + e^x \cdot (-\sin x).

    f′(x)=excos⁡x+ex(−sin⁡x)f'(x) = e^x \cos x + e^x(-\sin x)

  3. 3

    Ausklammern und vereinfachen

    Beide Summanden enthalten exe^x: f′(x)=ex(cos⁡x−sin⁡x)f'(x) = e^x(\cos x - \sin x).

Zusammenfassung

Drei zum Auswendigkennen: (ex)′=ex\left(e^x\right)' = e^x (die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung), (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x und (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x (der Vierer-Kreislauf mit dem tückischen Minus). Kombiniert mit Faktor-, Summen- und deckst du damit alle Funktionsklassen des Grundkurses ab.