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Analysis

Tangentengleichungen aufstellen

Die Tangente an einen Graphen berechnen: Anstieg trifft Punkt.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Die Tangente schmiegt sich in einem Punkt perfekt an den Graphen. Sie ist die „beste geradlinige Näherung" der Funktion an dieser Stelle. Ihre kennst du längst: die ! Mit einem Punkt und einem Anstieg wird daraus eine Geradengleichung. Tangenten sind das Bindeglied zwischen Ableitung und Geometrie.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Tangentensteigung als Ableitungswert f′(x0)f'(x_0) bestimmen.

  • die Tangentengleichung in einem Punkt aufstellen.

  • Tangenten mit vorgegebener finden.

  • den Berührpunkt aus Bedingungen berechnen.

Die Tangentengleichung

Die liefert dir die der Tangente. Oft ist aber die Tangente selbst gesucht, also ihre Funktionsgleichung. Zum Beispiel, um zu prüfen, wohin ein Fahrzeug rutscht, das aus der Kurve getragen wird.

Was wir über die Tangente wissen

Eine Tangente ist eine Gerade, also t(x)=mx+bt(x) = mx + b. Zwei Dinge sind bekannt:

  1. Ihre Steigung ist die Ableitung an der Berührstelle: m=f′(x0)m = f'(x_0).
  2. Sie berührt den Graphen, geht also durch den Punkt B(x0∣f(x0))B(x_0 \mid f(x_0)).

Damit hast du eine Gerade mit gegebener Steigung durch einen gegebenen Punkt, genau die Aufgabe aus Klasse 8.

Die Formel entsteht

Setze den Berührpunkt in die Geradengleichung ein und löse nach bb auf:

f(x0)=f′(x0)⋅x0+b∣  −f′(x0)⋅x0b=f(x0)−f′(x0)⋅x0\begin{aligned} f(x_0) &= f'(x_0) \cdot x_0 + b &&|\; -f'(x_0) \cdot x_0 \\ b &= f(x_0) - f'(x_0) \cdot x_0 \end{aligned}

Eingesetzt in t(x)=f′(x0)⋅x+bt(x) = f'(x_0) \cdot x + b und geordnet ergibt das:

  t(x)=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0)  \boxed{\;t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\;}

Das ist die Punkt-Steigungs-Form. Du kannst sie also entweder auswendig lernen oder (falls sie dir entfällt) in drei Zeilen selbst herleiten.

Wie du sie liest

Die Formel sagt genau das, was man erwartet: Starte beim Funktionswert f(x0)f(x_0) und gehe von x0x_0 aus mit der Steigung f′(x0)f'(x_0) weiter. Setzt du x=x0x = x_0 ein, wird die Klammer null und es bleibt t(x0)=f(x0)t(x_0) = f(x_0), die Tangente trifft den Berührpunkt ✓ Diese Probe lohnt sich immer.

Die häufigste Verwechslung: f′(x0)f'(x_0) ist die Steigung, f(x0)f(x_0) der Funktionswert. Wer beide vertauscht, bekommt eine Gerade, die weder die richtige Neigung hat noch den Graphen berührt.

Tangente am Berührpunkt

xy-1123-22468f=x²t: 4x−4B(2|4)

Tangente an f(x)=x2f(x)=x^2 im Berührpunkt B(2∣4)B(2\mid4): m=f′(2)=4m=f'(2)=4, dann t(x)=f′(2)⋅(x−2)+f(2)=4x−4t(x)=f'(2)\cdot(x-2)+f(2)=4x-4. Die Tangente ist die beste geradlinige Näherung von ff an dieser Stelle.

Die zwei Aufgabentypen, und wie du sie unterscheidest

Tangentenaufgaben kommen in zwei Varianten. Der Unterschied liegt darin, was gegeben ist, und wer ihn erkennt, hat die Aufgabe schon halb gelöst.

Typ 1: Der Berührpunkt ist gegeben

„Bestimme die Tangente an ff an der Stelle x0=2x_0 = 2."

Hier läuft alles geradeaus:

  1. f′(x)f'(x) bestimmen.
  2. berechnen: m=f′(x0)m = f'(x_0).
  3. Funktionswert berechnen: y0=f(x0)y_0 = f(x_0).
  4. Beides in die Punkt-Steigungs-Form einsetzen.

Wichtig: In Schritt 2 und 3 setzt du dieselbe Zahl x0x_0 in zwei verschiedene Funktionen ein, einmal in f′f', einmal in ff. Genau hier passieren die meisten Fehler.

Typ 2: Die Steigung ist gegeben, der Berührpunkt nicht

„An welcher Stelle verläuft die Tangente parallel zu y=3x−1y = 3x - 1?"

Jetzt ist die Reihenfolge umgekehrt. Parallel bedeutet gleiche Steigung, also m=3m = 3. Und weil die Steigung der Tangente die ist, wird daraus eine :

f′(x0)=3f'(x_0) = 3

Diese löst du nach x0x_0 auf, damit hast du die Berührstelle gefunden und bist wieder bei Typ 1.

Achtung: Diese Gleichung kann mehrere Lösungen haben. Bei einer Funktion dritten Grades gibt es oft zwei Stellen mit derselben Steigung. Dann gibt es auch zwei Tangenten, und beide gehören zur Antwort.

Der Sonderfall: waagerechte Tangente

„Wo hat der Graph eine waagerechte Tangente?" Das ist Typ 2 mit m=0m = 0, also f′(x0)=0f'(x_0) = 0, genau die Bedingung für . Beide Themen hängen also direkt zusammen.

Die Normale

Die Normale steht senkrecht auf der Tangente im selben Punkt. Aus Klasse 8 weißt du: Bei senkrechten Geraden ist das Produkt der Steigungen −1-1. Also gilt

mN=−1f′(x0)m_N = -\frac{1}{f'(x_0)}

Der Rest ist identisch, dieselbe Punkt-Steigungs-Form, nur mit dieser Steigung. (Ist f′(x0)=0f'(x_0) = 0, wäre die Normale senkrecht und hätte keine Steigung; das ist ein Sonderfall.)

Prüfe dich: Eine Tangente hat die Steigung 2. Welche Steigung hat die Normale im selben Punkt, und aus welcher Klasse-8-Regel folgt das?

Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. Für senkrechte Geraden gilt die Klasse-8-Regel: Das Produkt der ist −1-1.

mT⋅mN=−1⇒mN=−1mT=−12m_T \cdot m_N = -1 \qquad\Rightarrow\qquad m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{2}

Die Normale fällt also mit der Steigung −12-\frac{1}{2}: und Vorzeichenwechsel, beides gehört dazu. Probe: 2⋅(−12)=−12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 ✓

Der Rest läuft wie bei jeder Tangente: dieselbe Punkt-Steigungs-Form, nur mit mNm_N statt f′(x0)f'(x_0). Nur bei einer waagerechten Tangente (f′(x0)=0f'(x_0) = 0) versagt die Formel, die Normale ist dann senkrecht und hat keine Steigung.

Tangente in einem Punkt

Bestimme die Tangente an den Graphen von f(x)=x2f(x) = x^2 an der Stelle x0=3x_0 = 3.

  1. 1

    Welcher Aufgabentyp ist das? Die Berührstelle ist gegeben (x0=3x_0 = 3), also Typ 1, der geradeaus zu rechnende Fall.

    Gesucht ist eine Geradengleichung. Dafür brauchst du zwei Bausteine: die an dieser Stelle und den Funktionswert dort.

  2. 2

    Baustein 1: die bilden.

    f′(x)=2xf'(x) = 2x
  3. 3

    Baustein 2: die Steigung an der Stelle 33. Setze x0x_0 in die Ableitung ein:

    m=f′(3)=2⋅3=6m = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6

    Die Tangente steigt also mit 66.

  4. 4

    Baustein 3: der Funktionswert an der Stelle 33. Jetzt in die Ausgangsfunktion einsetzen:

    y0=f(3)=32=9y_0 = f(3) = 3^2 = 9

    Der Berührpunkt ist damit B(3∣9)B(3 \mid 9).

    Hier passiert der häufigste Fehler: f′(3)=6f'(3) = 6 und f(3)=9f(3) = 9 zu verwechseln. Die 66 ist die Steilheit, die 99 die Höhe.

  5. 5

    Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form.

    t(x)=f′(x0)⋅(x−x0)+f(x0)=6⋅(x−3)+9t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) = 6 \cdot (x - 3) + 9
  6. 6

    Ausmultiplizieren und zusammenfassen.

    t(x)=6x−18+9=6x−9t(x) = 6x - 18 + 9 = 6x - 9
  7. 7

    Zwei Kontrollen.

    1. Der Berührpunkt muss auf der Tangente liegen:

    t(3)=6⋅3−9=18−9=9=f(3)  ✓t(3) = 6 \cdot 3 - 9 = 18 - 9 = 9 = f(3) \;\checkmark

    2. Die Steigung muss stimmen: In t(x)=6x−9t(x) = 6x - 9 ist der Faktor vor xx die Steigung, also 66, genau f′(3)f'(3) ✓

    Plausibilität: Die Tangente liegt überall unterhalb der nach oben geöffneten Parabel und berührt sie nur bei x=3x = 3. Bei x=0x = 0 etwa ist t(0)=−9t(0) = -9, aber f(0)=0f(0) = 0 ✓

t(x)=6x−9t(x) = 6x - 9, die Tangente berührt die im Punkt (3∣9)(3 \mid 9) mit der Steigung 66.

Das Vorgehen bei gegebener Berührstelle: f′f' bilden → Steigung f′(x0)f'(x_0) → Funktionswert f(x0)f(x_0) → in die Punkt-Steigungs-Form einsetzen → mit t(x0)=f(x0)t(x_0) = f(x_0) gegenprüfen.

Tangente mit vorgegebener Steigung

An welcher Stelle hat die Tangente an f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x die 22? Gib die Tangentengleichung an.

  1. 1

    Welcher Aufgabentyp ist das? Diesmal ist die Steigung gegeben und die Stelle gesucht, also Typ 2, bei dem die Reihenfolge umgekehrt ist.

    Der Schlüssel: Die Steigung der Tangente ist die . Aus der Vorgabe wird deshalb eine .

  2. 2

    Schritt 1: Die Bedingung als Gleichung aufschreiben.

    f′(x)=2x−4und gefordert istf′(x0)=2f'(x) = 2x - 4 \qquad\text{und gefordert ist}\qquad f'(x_0) = 2 2x0−4=22x_0 - 4 = 2
  3. 3

    Schritt 2: Nach x0x_0 auflösen.

    2x0−4=2∣  +42x0=6∣  :2x0=3\begin{aligned} 2x_0 - 4 &= 2 &&|\; +4 \\ 2x_0 &= 6 &&|\; : 2 \\ x_0 &= 3 \end{aligned}

    Die gesuchte Berührstelle ist x0=3x_0 = 3. Ab hier ist es Typ 1, der Rest läuft wie im vorigen Beispiel.

    Prüfe die Anzahl der Lösungen: Die Gleichung war linear, es gibt also genau eine Stelle. Bei einer Funktion dritten Grades wäre f′f' quadratisch und es könnte zwei Lösungen geben. Dann gehören beide zur Antwort.

  4. 4

    Schritt 3: Funktionswert an dieser Stelle.

    f(3)=32−4⋅3=9−12=−3f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 = 9 - 12 = -3

    Der Berührpunkt ist B(3∣−3)B(3 \mid -3).

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    Schritt 4: Tangente aufstellen. Steigung 22, Berührpunkt (3∣−3)(3 \mid -3):

    t(x)=2⋅(x−3)+(−3)=2x−6−3=2x−9t(x) = 2 \cdot (x - 3) + (-3) = 2x - 6 - 3 = 2x - 9
  6. 6

    Kontrolle. Beides muss stimmen:

    • Steigung: In t(x)=2x−9t(x) = 2x - 9 steht vor dem xx die 22 ✓ (das war die Vorgabe)
    • Berührpunkt: t(3)=6−9=−3=f(3)t(3) = 6 - 9 = -3 = f(3) ✓

Bei x0=3x_0 = 3; die Tangente lautet t(x)=2x−9t(x) = 2x - 9.

Merke den Unterschied: Ist die Stelle gegeben, setzt du in f′f' ein. Ist die Steigung gegeben, setzt du f′(x)=mf'(x) = m und löst nach xx, und prüfst, ob es mehrere Lösungen gibt.

Waagerechte Tangente

Wo hat der Graph von f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 eine waagerechte Tangente? Gib diese Tangenten an.

  1. 1

    Was bedeutet „waagerecht"? Eine waagerechte Gerade hat die null. Damit ist das ein Typ-2-Problem mit der besonders einfachen Vorgabe m=0m = 0:

    f′(x0)=0f'(x_0) = 0

    Das ist genau die Bedingung für , waagerechte Tangenten und Extrempunkte sind also dasselbe Thema von zwei Seiten betrachtet.

  2. 2

    Schritt 1: Die lösen.

    f′(x)=3x2−6x=0f'(x) = 3x^2 - 6x = 0

    Kein Zahlenglied → :

    3x(x−2)=0⇒x1=0x2=23x(x - 2) = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x_1 = 0 \qquad x_2 = 2

    Es gibt also zwei Stellen mit waagerechter Tangente. Beide gehören zur Antwort, nur eine anzugeben wäre unvollständig.

  3. 3

    Schritt 2: Funktionswerte berechnen.

    f(0)=03−3⋅02=0f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0 f(2)=23−3⋅22=8−12=−4f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4
  4. 4

    Schritt 3: Die Tangenten aufstellen. Setze die Steigung m=0m = 0 in die Punkt-Steigungs-Form ein:

    t1(x)=0⋅(x−0)+0=0t_1(x) = 0 \cdot (x - 0) + 0 = 0 t2(x)=0⋅(x−2)+(−4)=−4t_2(x) = 0 \cdot (x - 2) + (-4) = -4

    Warum das Klammerglied verschwindet: Bei Steigung 00 wird der ganze erste null, übrig bleibt nur der Funktionswert. Eine waagerechte Tangente ist also immer eine konstante Funktion y=f(x0)y = f(x_0).

  5. 5

    Ergebnis deuten.

    t1:  y=0 (die x-Achse)t2:  y=−4t_1: \; y = 0 \text{ (die } x\text{-Achse)} \qquad\qquad t_2: \; y = -4

    Der Zusammenhang zu den Extrempunkten: Die beiden Berührpunkte (0∣0)(0 \mid 0) und (2∣−4)(2 \mid -4) sind genau der Hoch- und der Tiefpunkt dieser Funktion, dieselben Werte wie im Kapitel über Extrempunkte.

    Das muss so sein: An einem Extrempunkt ist die Tangente waagerecht, und umgekehrt ist bei einer Funktion dritten Grades jede waagerechte Tangente an einem Extrempunkt (Sattelpunkte gibt es hier nicht, weil f′f' zwei verschiedene hat).

Waagerechte Tangenten bei x=0x = 0 (nämlich y=0y = 0) und bei x=2x = 2 (nämlich y=−4y = -4).

Merke: Eine waagerechte Tangente hat immer die Form y=f(x0)y = f(x_0), eine konstante Funktion. Und die Berührpunkte sind genau die Extrempunkte des Graphen.

Typischer Fehler

Tangente an f(x)=x2f(x) = x^2 bei x0=3x_0 = 3: „m=f(3)=9m = f(3) = 9, also t(x)=9x+bt(x) = 9x + b."

Die ist f′(x0)f'(x_0), nicht f(x0)f(x_0)! Der Funktionswert f(3)=9f(3) = 9 ist die Höhe des Berührpunkts, die Steigung dagegen ist f′(3)=6f'(3) = 6. Verwechslung von Funktionswert und Ableitungswert ist der Klassiker, merke: Für die Steigung brauchst du immer die .

Übung 1

leicht

Bestimme die Tangente an f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 bei x0=2x_0 = 2.

Tipp anzeigen

f′(x)=2xf'(x) = 2x.

Lösung anzeigen

m=f′(2)=4m = f'(2) = 4; f(2)=5f(2) = 5

t(x)=4(x−2)+5=4x−3t(x) = 4(x - 2) + 5 = 4x - 3

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die zwei Zutaten: Steigung und Punkt

    Eine Tangente braucht die an der Stelle und den Berührpunkt: m=f′(2)=2⋅2=4m = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4 und f(2)=4+1=5f(2) = 4 + 1 = 5 → Punkt (2∣5)(2 \mid 5).

  2. 2

    Punkt-Steigungs-Form aufstellen

    t(x)=m(x−x0)+f(x0)=4(x−2)+5t(x) = m(x - x_0) + f(x_0) = 4(x - 2) + 5.

  3. 3

    Vereinfachen und prüfen

    Klammer auflösen und die Zahlen zusammenfassen: t(x)=4(x−2)+5=4x−8+5=4x−3t(x) = 4(x - 2) + 5 = 4x - 8 + 5 = 4x - 3.

    t(x)=4x−3t(x) = 4x - 3

Übung 2

mittel

Die Tangente an f(x)=13x3f(x) = \frac{1}{3}x^3 soll parallel zur Geraden y=3x+1y = 3x + 1 verlaufen. An welchen Stellen berührt sie?

Tipp anzeigen

Parallel = 3.

Lösung anzeigen

f′(x)=x2=3⇒x=±3f'(x) = x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}

Zwei Berührstellen: x1=3x_1 = \sqrt{3} und x2=−3x_2 = -\sqrt{3}.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Parallel heißt: gleiche Steigung

    Die Tangente soll parallel zu y=3x+1y = 3x + 1 sein → sie braucht die Steigung 33. Bedingung: f′(x)=3f'(x) = 3.

  2. 2

    Die Gleichung lösen

    f′(x)=x2=3⇒x=±3f'(x) = x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}.

    x2=3⇒x=±3x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}

  3. 3

    Ergebnis deuten

    Zwei Berührstellen: x1=3x_1 = \sqrt{3} und x2=−3x_2 = -\sqrt{3}, dort verlaufen die Tangenten parallel zur gegebenen Geraden.

Übung 3

schwer

Gegeben f(x)=x2f(x) = x^2. a) Stelle die Tangente bei x0=ax_0 = a allgemein auf. b) Zeige, dass diese Tangente die x-Achse immer bei a2\frac{a}{2} schneidet.

Tipp anzeigen

a) Mit x0=ax_0 = a in die Punkt-Steigungs-Form.

Lösung anzeigen

a) f′(a)=2af'(a) = 2a, f(a)=a2f(a) = a^2: t(x)=2a(x−a)+a2=2ax−a2t(x) = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - a^2

b) : 2ax−a2=0⇒x=a22a=a22ax - a^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2} (für a≠0a \neq 0, durch 2a2a teilen ist nur dann erlaubt; bei a=0a = 0 ist die Tangente die xx-Achse selbst) ✓, eine schöne allgemeine Eigenschaft der Parabel-Tangenten.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Tangente mit Parameter aufstellen

    An der Stelle aa: f′(a)=2af'(a) = 2a, Punkt (a∣a2)(a \mid a^2). Punkt-Steigungs-Form: t(x)=2a(x−a)+a2=2ax−2a2+a2=2ax−a2t(x) = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - 2a^2 + a^2 = 2ax - a^2.

    t(x)=2ax−a2t(x) = 2ax - a^2

  2. 2

    b) Nullstelle der Tangente berechnen

    t(x)=0t(x) = 0: 2ax−a2=0⇒2ax=a2⇒x=a22a=a22ax - a^2 = 0 \Rightarrow 2ax = a^2 \Rightarrow x = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2} (für a≠0a \ne 0).

    x=a22a=a2x = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}

  3. 3

    Die Eigenschaft würdigen

    Für JEDES a≠0a \ne 0 schneidet die Tangente die x-Achse exakt bei a2\frac{a}{2}, auf halbem Weg zwischen Ursprung und Berührstelle.

Zusammenfassung

Die Tangente braucht nur zwei Zutaten: die f′(x0)f'(x_0) und den Berührpunkt (x0∣f(x0))(x_0 \mid f(x_0)), zusammengefügt in der Punkt-Steigungs-Form t(x)=f′(x0)(x−x0)+f(x0)t(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0). Bei vorgegebener Steigung findest du zuerst den Berührpunkt über f′(x0)=mf'(x_0) = m. Und niemals Funktionswert mit Ableitungswert verwechseln!