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Information und Informatiksysteme

Digitale Darstellung von Zahl, Text, Bild und Ton

Speicherbedarf, Abtastrate und Farbtiefe ausrechnen statt beschreiben: Wie viel kostet Qualität wirklich?

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

„Nimm einfach die höchste Qualität.“ Das klingt vernünftig, bis man nachrechnet.

Ein Film in doppelter braucht nicht doppelt so viel Platz, sondern viermal so viel, denn Breite und Höhe verdoppeln sich. Eine Tonaufnahme mit doppelter und doppelter Auflösung braucht das Vierfache. Und ein Foto, das auf dem Bildschirm gleich aussieht, kann je nach Einstellung 300 Kilobyte oder 30 Megabyte belegen.

In Klasse 9 hast du die Begriffe kennengelernt. Hier geht es darum, sie zu rechnen: Wie viel Qualität kostet wie viel Platz, wo lohnt sich mehr, und ab wann ist mehr sinnlos, weil es niemand mehr wahrnimmt?

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Speicherbedarf von Text, Bild, Ton und Video aus den Kenngrößen berechnen.

  • begründen, warum eine höhere den Bedarf quadratisch statt linear erhöht.

  • die nötige aus der höchsten darzustellenden Frequenz abschätzen.

  • die berechnen und Formate begründet auswählen.

  • beurteilen, ab wann eine Qualitätssteigerung keinen wahrnehmbaren Gewinn mehr bringt.

Kurz aufgefrischt

Vorausgesetzt werden die Begriffe aus Klasse 9: und , 2n2^n Muster bei nn Bit, und als die zwei Schritte der Digitalisierung, und . Wenn du dort unsicher bist, lies zuerst Digitalisierung und Codierung.

Neu ist hier die quantitative Seite: Wir rechnen die Größen aus und leiten daraus Entscheidungen ab.

Die eine Formel

Alle vier Medienarten folgen demselben Muster. Man zählt, wie viele Messwerte es gibt, und multipliziert mit dem Platz je Messwert.

Speicherbedarf=Anzahl der Abtastwerte×Bits je Wert\text{Speicherbedarf} = \text{Anzahl der Abtastwerte} \times \text{Bits je Wert}

Der Unterschied zwischen den Medien liegt allein darin, worüber abgetastet wird:

Mediumabgetastet wird überAnzahl der Werte
Textdie ZeichenAnzahl der Zeichen
Bilddie FlächeBreite ×\times Höhe
Tondie Zeit ×\times Dauer ×\times Kanäle
VideoFläche und ZeitBreite ×\times Höhe ×\times Bildrate ×\times Dauer

Wer das einmal erkannt hat, muss sich keine vier Formeln merken, sondern nur diese eine plus die Frage: Worüber wird hier abgetastet?

Warum Auflösung quadratisch wirkt

Ein häufiger Fehlschluss lautet: „Doppelte , doppelter Platz.“ Rechnen wir nach.

Ein Bild mit 1000 mal 800 Bildpunkten hat 1000⋅800=800 0001000 \cdot 800 = 800\,000 Bildpunkte. Verdoppelt man beide Kantenlängen, also 2000 mal 1600, sind es 2000⋅1600=3 200 0002000 \cdot 1600 = 3\,200\,000.

3 200 000800 000=4\frac{3\,200\,000}{800\,000} = 4

Der Bedarf vervierfacht sich, weil die Anzahl der Bildpunkte ein Produkt aus zwei Längen ist und beide Faktoren verdoppelt werden. Das ist dieselbe Überlegung wie bei einem Quadrat, dessen Fläche sich bei doppelter Seitenlänge vervierfacht.

Bei Video kommt die Zeit als dritter Faktor hinzu. Verdoppelt man dort Auflösung und Bildrate, ergibt sich das Achtfache.

Merke dir die Regel: Jeder verdoppelte Faktor verdoppelt den Bedarf. Man muss also zählen, wie viele Faktoren betroffen sind.

Doppelte Kantenlänge, vierfacher Bedarf

01234Millionen Bildpunkte0,81000 × 8003,22000 × 1600

Beide Kantenlängen wurden verdoppelt, und die rechte Säule ist viermal so hoch, nicht doppelt so hoch. Rechne es nach: 1000⋅800=800 0001000 \cdot 800 = 800\,000 gegen 2000⋅1600=3 200 0002000 \cdot 1600 = 3\,200\,000, also 3 200 000:800 000=43\,200\,000 : 800\,000 = 4. Der Grund steht in der Formel: Die Zahl der Bildpunkte ist ein Produkt aus zwei Längen, und wenn beide Faktoren verdoppelt werden, verdoppelt sich das Ergebnis zweimal. Dieselbe Überlegung kennst du vom Quadrat, dessen Fläche bei doppelter Seitenlänge viermal so groß wird. Bei Video kommt die Zeit als dritter Faktor hinzu: Doppelte und doppelte Bildrate ergeben das Achtfache.

Wie hoch muss die Abtastrate sein?

Bei der Zeitabtastung stellt sich die Frage: Wie oft muss man messen, damit eine Schwingung noch rekonstruierbar ist?

Die Antwort ist erstaunlich klar und lässt sich anschaulich einsehen. Eine Schwingung hat einen Berg und ein Tal. Wer nur einmal je Schwingung misst, trifft vielleicht immer denselben Punkt und sieht eine flache Linie. Erst wenn man mindestens zweimal je Schwingung misst, kann man Berg und Tal unterscheiden.

Abtastrate>2×ho¨chste vorkommende Frequenz\text{Abtastrate} > 2 \times \text{höchste vorkommende Frequenz}

Das menschliche Ohr hört bis etwa 20 000 Hz. Daraus folgt eine von über 40 000 Hz, und genau deshalb verwendet die Audio-CD 44 100 Hz. Die Zahl ist also keine Willkür, sondern eine Folge dieser Regel plus etwas Sicherheitsabstand.

Umgekehrt gilt: Eine Sprachaufnahme mit 8000 Hz erfasst Frequenzen bis knapp 4000 Hz. Das genügt für Verständlichkeit, deshalb klingt Telefonie dumpf, aber man versteht jedes Wort.

Zu wenige Messwerte, und die Schwingung ist weg

ZeitMessgröße4 Messwerte im selben ZeitfensterZeitMessgröße16 Messwerte im selben Zeitfenster

Zweimal dasselbe Signal, einmal mit 4 und einmal mit 16 Messwerten; die dünne Linie ist jeweils das, was aus den Messwerten wieder aufgebaut wird. Zähle im Bild ab, wie oft die schnellste Schwingung in den Ausschnitt passt. Es sind nicht ganz drei. Nach der Regel Abtastrate>2×ho¨chste Frequenz\text{Abtastrate} > 2 \times \text{höchste Frequenz} braucht es also mehr als etwa sechs Messwerte: Vier sind zu wenig, und links siehst du das Ergebnis, die Rekonstruktion erfindet einen ruhigen Verlauf, den es nie gab. Genau daraus folgt die Zahl 44 100 Hz bei der Audio-CD: Das Ohr hört bis etwa 20 000 Hz, also braucht es über 40 000 Messwerte je Sekunde, plus etwas Sicherheitsabstand.

Kompressionsrate

Nach dem Komprimieren interessiert, wie stark die geschrumpft ist.

Kompressionsrate=Gro¨ße vorherGro¨ße nachher\text{Kompressionsrate} = \frac{\text{Größe vorher}}{\text{Größe nachher}}

Eine Rate von 10 bedeutet: Die Datei ist ein Zehntel so groß. Man gibt oft auch den Anteil an, hier 10 Prozent, oder die Ersparnis, hier 90 Prozent. Alle drei Angaben beschreiben dasselbe, und ihre Verwechslung ist eine häufige Fehlerquelle.

Typische Größenordnungen, die man kennen sollte:

VerfahrenArtRate
verlustfrei (Text, Programme)verlustfrei2 bis 4
Bild in einem Fotoformatverlustbehaftet10 bis 20
Musikverlustbehaftetetwa 10
Videoverlustbehaftet50 bis 200

Dass Video so viel stärker schrumpft, hat einen einfachen Grund: Aufeinanderfolgende Bilder sind einander sehr ähnlich, und deshalb speichert man meist nur die Unterschiede zum vorherigen Bild.

Rate, Anteil und Ersparnis am selben Bild

vorher2.400.000 Bnachher240.000 BEin Foto mit 1000 × 800Bildpunkten zu je 3 Byte,komprimiert mit der Rate 10.Anteil 10 %, Ersparnis 90 %,drei Namen für dieselbe Sache.

Die Zahlen stammen aus demselben Bild wie oben: 1000⋅800=800 0001000 \cdot 800 = 800\,000 Bildpunkte zu je 3 ergeben 2 400 0002\,400\,000 Byte. Bei einer von 10 bleiben 240 000240\,000 Byte übrig, die untere Säule ist ein Zehntel so lang wie die obere, und genau das bedeutet die Rate. Jetzt der Teil, der in Prüfungen die meisten Punkte kostet: Dieselbe kann man mit drei verschiedenen Zahlen beschreiben. Rate 10 (Größe vorher geteilt durch Größe nachher), Anteil 10 % (was übrig ist) und Ersparnis 90 % (was wegfällt). Wer „90 Prozent komprimiert“ liest, muss also nachfragen, welche der drei gemeint ist.

Wann mehr Qualität nichts mehr bringt

Eine Steigerung lohnt nur, solange sie wahrnehmbar ist. Dafür gibt es Anhaltspunkte:

  • Oberhalb von etwa 20 000 Hz hört ein Mensch nichts mehr. Eine von 192 000 Hz bringt für das Hören keinen Gewinn.
  • Ab etwa 300 Bildpunkten je Zoll erkennt das Auge im Leseabstand keine einzelnen Punkte mehr. Ein Druck mit 1200 dpi ist für Fotos nicht sichtbar besser.
  • Jenseits von 24 liegen mehr Farben vor, als das Auge unterscheiden kann.

🔴 Wichtig ist der Zusatz „für die Wiedergabe“. Bei der Bearbeitung lohnen höhere Werte durchaus, weil sich Rundungsfehler über viele Schritte summieren und Reserven verbrauchen. Man nimmt also hoch auf, bearbeitet hoch und speichert erst am Ende in der Wiedergabequalität. Das ist derselbe Gedanke wie „erst am Schluss runden“ beim Rechnen.

Wiedergabe und Bearbeitung sind zweierlei

für dieWiedergabefür dieBearbeitungAbtastrate beim Tonüber 20 000 Hzhört niemandmehr etwashöher aufnehmenschafft ReserveAuflösung beim Bildüber 300 dpisieht das Augeim Leseabstandkeine Punktehöher scannenerlaubtAusschnitteFarbtiefeüber 24 Bitliegen mehrFarben vor alsunterscheidbarmehr Farbtiefeverträgt mehrRechenschritteLohnt ein höherer Wert?nein, die Dateiwird nur größerja:Rundungsfehlersummieren sichüber vieleSchritteHoch aufnehmen, hoch bearbeiten,erst am Ende in Wiedergabequalitätspeichern.

Die drei Grenzen in der linken Spalte sind Grenzen der Wahrnehmung, keine technischen, und deshalb gelten sie nur für das Anschauen und Anhören. Die rechte Spalte sagt, warum dieselben Werte bei der Bearbeitung trotzdem lohnen: Jeder Rechenschritt rundet, und diese Rundungsfehler summieren sich. Wer mit knapp bemessener Qualität startet, hat nach fünf Bearbeitungsschritten sichtbare Fehler; wer Reserve hat, nicht. Das ist derselbe Gedanke wie „erst am Schluss runden“ beim Rechnen, und die Regel unten ist seine praktische Fassung.

Rechenfehler vermeiden

Drei Regeln ersparen fast alle Fehler:

  1. Alles zuerst in rechnen, erst am Ende durch 8 teilen.
  2. Einheiten mitschreiben. Sekunden, Hertz, Bit, ; wer sie weglässt, multipliziert irgendwann Minuten mit Hertz.
  3. Ergebnis auf Plausibilität prüfen. Ein Foto mit 3 Kilobyte oder 3 Gigabyte ist ein Rechenfehler, kein Ergebnis.

Speicherbedarf eines unkomprimierten Videos

Berechne den Bedarf für 90 Sekunden Video mit 1920 mal 1080 Bildpunkten, 24 und 25 Bildern je Sekunde. Beurteile das Ergebnis.

  1. 1

    Bildpunkte je Bild: 1920⋅1080=2 073 6001920 \cdot 1080 = 2\,073\,600.

  2. 2

    Bits je Bild: 2 073 600⋅24=49 766 4002\,073\,600 \cdot 24 = 49\,766\,400 Bit.

  3. 3

    Anzahl der Bilder: 25⋅90=225025 \cdot 90 = 2250.

  4. 4

    Bits gesamt: 49 766 400⋅2250=111 974 400 00049\,766\,400 \cdot 2250 = 111\,974\,400\,000 Bit.

  5. 5

    In : 111 974 400 000:8=13 996 800 000111\,974\,400\,000 : 8 = 13\,996\,800\,000 Byte, also rund 14 Gigabyte für anderthalb Minuten.

  6. 6

    Beurteilung: Das ist offensichtlich unbrauchbar; ein Spielfilm käme auf über 1000 GB. Genau deshalb wird Video immer , und zwar sehr stark. Bei einer Kompressionsrate von 150 blieben rund 93 MB übrig, was einer üblichen Dateigröße entspricht.

Rund 14 GB unkomprimiert. Die Rechnung macht anschaulich, warum bei Video Kompressionsraten von 50 bis 200 nötig sind.

Was bringt eine Verdopplung wirklich?

Ein Foto hat 3000 mal 2000 Bildpunkte bei 24 . Wie ändert sich der Bedarf, wenn man a) die auf 48 Bit, b) beide Kantenlängen verdoppelt?

  1. 1

    Ausgangswert: 3000⋅2000⋅24=144 000 0003000 \cdot 2000 \cdot 24 = 144\,000\,000 Bit, also 18 MB.

  2. 2

    a) Farbtiefe verdoppeln: Nur ein Faktor ändert sich. 3000⋅2000⋅48=288 000 0003000 \cdot 2000 \cdot 48 = 288\,000\,000 Bit, also 36 MB. Das ist das Doppelte.

  3. 3

    b) Beide Kanten verdoppeln: 6000⋅4000⋅24=576 000 0006000 \cdot 4000 \cdot 24 = 576\,000\,000 Bit, also 72 MB. Das ist das Vierfache.

  4. 4

    Der Unterschied liegt allein in der Anzahl der veränderten Faktoren: einer bei a), zwei bei b). Die Rechenregel ist also nicht auswendig zu lernen, sondern abzuzählen.

  5. 5

    Beurteilung: 48 Bit Farbtiefe bringen für die Anzeige nichts, weil das Auge die zusätzlichen Farben nicht unterscheidet; für die Bearbeitung können sie sich lohnen. Die höhere bringt nur dann etwas, wenn das Bild groß gedruckt oder stark ausschnittsweise vergrößert wird.

a) doppelt, b) vierfach. Entscheidend ist, wie viele Faktoren der Formel betroffen sind.

Typischer Fehler

„Doppelte braucht doppelt so viel Speicher.“

Der Satz ist nur dann richtig, wenn mit „Auflösung“ die Anzahl der Bildpunkte gemeint ist. Im Alltag meint man damit aber die Kantenlängen, und dann stimmt er nicht.

Rechne ein kleines Beispiel durch, das man im Kopf prüfen kann. Ein Bild mit 10 mal 10 Bildpunkten hat 100 Punkte. Verdoppelt man beide Kanten, also 20 mal 20, sind es 400 Punkte, nicht 200.

10⋅10=10020⋅20=400400100=410 \cdot 10 = 100 \qquad 20 \cdot 20 = 400 \qquad \frac{400}{100} = 4

Der Grund ist, dass die Anzahl ein Produkt zweier Längen ist. Verdoppelt man beide Faktoren, verdoppelt sich das Produkt zweimal, also vervierfacht es sich.

Dieselbe Falle kehrt bei Video wieder, dort mit drei Faktoren: Verdoppelt man Breite, Höhe und Bildrate, ist es das Achtfache. Und sie kehrt beim Ton wieder, wenn man und Auflösung gleichzeitig verdoppelt: viermal so viel.

Die verlässliche Vorgehensweise ist deshalb nicht, sich Faktoren zu merken, sondern die Formel hinzuschreiben und abzuzählen, wie viele ihrer Faktoren sich ändern.

Übung 1

leicht

a) Ein Bild hat 800 mal 600 Bildpunkte bei 8 . Wie viele belegt es unkomprimiert? b) Eine Tonaufnahme läuft 30 Sekunden mit 22 050 Hz, 8 Bit, Mono. Wie viele Byte? c) Ein reiner ASCII-Text hat 4500 Zeichen. Wie viele Byte?

Tipp anzeigen

Erst in Bit rechnen, dann durch 8 teilen.

Lösung anzeigen

a) 800⋅600⋅8=3 840 000800 \cdot 600 \cdot 8 = 3\,840\,000 Bit, geteilt durch 8: 480 000 Byte (rund 480 kB).

b) 22 050⋅8⋅30=5 292 00022\,050 \cdot 8 \cdot 30 = 5\,292\,000 Bit, geteilt durch 8: 661 500 Byte (rund 662 kB).

c) Jedes ASCII-Zeichen belegt 1 Byte: 4500 Byte.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die gemeinsame Rechenkette für alle drei Teile

    Alle drei Aufgaben folgen derselben Kette: Anzahl der Einheiten mal Bit je Einheit ergibt Bit, geteilt durch 8 ergibt Byte. Nur die „Einheit“ wechselt, beim Bild ist es der Bildpunkt, beim Ton der Messwert, beim Text das Zeichen.

  2. 2

    a) Bild: Bildpunkte mal Farbtiefe

    800⋅600=480 000800 \cdot 600 = 480\,000 Bildpunkte, jeder mit 8 Bit: 480 000⋅8=3 840 000480\,000 \cdot 8 = 3\,840\,000 Bit. Geteilt durch 8 ergibt das 480 000 Byte, also rund 480 kB.

    800⋅600⋅8:8=480 000800 \cdot 600 \cdot 8 : 8 = 480\,000

    Zwischenergebnis

    480 000 Byte, rund 480 kB.

  3. 3

    b) Ton: Abtastrate mal Auflösung mal Dauer

    Bei Ton kommt die Dauer als dritter Faktor hinzu: 22 05022\,050 Messwerte je Sekunde, je 8 Bit, über 30 Sekunden ergibt 22 050⋅8⋅30=5 292 00022\,050 \cdot 8 \cdot 30 = 5\,292\,000 Bit. Geteilt durch 8: 661 500 Byte, rund 662 kB.

    22 050⋅8⋅30:8=661 50022\,050 \cdot 8 \cdot 30 : 8 = 661\,500

    Zwischenergebnis

    661 500 Byte, rund 662 kB.

  4. 4

    c) Text: die einfachste Anwendung derselben Kette

    Jedes ASCII-Zeichen belegt 8 Bit, also 1 Byte. 45004500 Zeichen ergeben 4500⋅8=36 0004500 \cdot 8 = 36\,000 Bit und damit 4500 Byte.

    Zwischenergebnis

    4500 Byte.

Übung 2

mittel

Eine Schülergruppe nimmt ein Hörspiel auf: 12 Minuten, Stereo, 44 100 Hz, 16 .

a) Berechne den unkomprimierten Speicherbedarf in Megabyte. b) Nach dem Komprimieren ist die 11 MB groß. Berechne die und die Ersparnis in Prozent. c) Die Gruppe überlegt, mit 96 000 Hz aufzunehmen. Berechne den neuen Bedarf und beurteile den Nutzen. d) Für eine reine Sprachaufnahme ohne Musik: Welche Einstellungen würdest du wählen und warum?

Tipp anzeigen

Zu c): Bis zu welcher Frequenz hört ein Mensch, und welche folgt daraus?

Lösung anzeigen

a) 1212 Minuten sind 720720 Sekunden. 44 100⋅16⋅720⋅2=1 016 064 00044\,100 \cdot 16 \cdot 720 \cdot 2 = 1\,016\,064\,000 Bit. Geteilt durch 8: 127 008 000127\,008\,000 , also rund 127 MB.

b) Kompressionsrate: 12711≈11,5\dfrac{127}{11} \approx 11{,}5. Anteil: 11127≈8,7 %\dfrac{11}{127} \approx 8{,}7\,\%. Ersparnis: rund 91 Prozent.

c) 96 000⋅16⋅720⋅2=2 211 840 00096\,000 \cdot 16 \cdot 720 \cdot 2 = 2\,211\,840\,000 Bit, geteilt durch 8 sind das 276 480 000276\,480\,000 Byte, also rund 276 MB. Das ist mehr als das Doppelte. Nutzen für das Hören: keiner. Mit 44 100 Hz sind Frequenzen bis über 22 000 Hz erfassbar, und das Ohr hört bis etwa 20 000 Hz. Die zusätzlichen beschreiben Anteile, die niemand wahrnimmt. Sinnvoll wäre die hohe Rate nur, wenn die Aufnahme noch stark bearbeitet werden soll.

d) Für reine Sprache genügen deutlich niedrigere Werte: Mono statt Stereo, denn eine Stimme hat keine Richtung im Raum, das halbiert den Bedarf sofort. 22 050 Hz genügen, weil Sprache im Wesentlichen unter 8000 Hz liegt und selbst 11 000 Hz noch klar verständlich wären. 16 Bit kann man beibehalten, weil 8 Bit hörbares Rauschen erzeugen. Ergebnis: 22 050⋅16⋅720⋅1=254 016 00022\,050 \cdot 16 \cdot 720 \cdot 1 = 254\,016\,000 Bit, also rund 32 MB statt 127 MB, bei kaum wahrnehmbarem Unterschied für gesprochenes Wort.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Teil a): Erst die Formel, dann die Zahlen

    Beim Ton wird über die Zeit abgetastet. Die Anzahl der Werte ist Abtastrate mal Dauer mal Kanäle, und jeder Wert kostet die angegebenen Bits.

    \text{Bits} = \text{Abtastrate} \times \text{Bits je Wert} \times \text{Dauer} \times \text{Kanäle}

    Zwischenergebnis

    Vier Faktoren. Keiner darf fehlen, besonders nicht die Kanäle.

    Stereo bedeutet zwei Kanäle. Dieser Faktor wird am häufigsten vergessen, und er halbiert oder verdoppelt das Ergebnis.

  2. 2

    Teil a): Einheiten vor dem Einsetzen angleichen

    Die Abtastrate ist in Hertz angegeben, also Werte je Sekunde. Die Dauer steht in Minuten. Vor dem Multiplizieren muss beides zueinander passen.

    12\ \text{min} = 12 \cdot 60\ \text{s} = 720\ \text{s}

    Zwischenergebnis

    720 Sekunden.

  3. 3

    Teil b): Rate, Anteil und Ersparnis auseinanderhalten

    Drei Angaben beschreiben dieselbe Sache und werden häufig verwechselt. Die Rate ist vorher geteilt durch nachher, der Anteil ist nachher geteilt durch vorher, die Ersparnis ist der Rest zu 100 Prozent.

    \frac{127}{11} \approx 11{,}5 \qquad \frac{11}{127} \approx 8{,}7,% \qquad 100,% - 8{,}7,% \approx 91,%

    Zwischenergebnis

    Rate 11,5 · Anteil 8,7 Prozent · Ersparnis 91 Prozent.

  4. 4

    Teil c): Nutzen an der Wahrnehmungsgrenze prüfen

    Die Rechnung allein sagt nur, dass es mehr Platz kostet. Ob es sich lohnt, entscheidet die Frage, ob überhaupt zusätzliche hörbare dazukommt. Dafür vergleicht man mit der Hörgrenze.

    44,100\ \text{Hz} : 2 = 22,050\ \text{Hz} > 20,000\ \text{Hz}

    Zwischenergebnis

    Schon 44 100 Hz erfassen mehr, als das Ohr wahrnimmt. Der Zugewinn ist null.

    Anders bei der Bearbeitung: Wer stark filtert, verlangsamt oder mischt, verbraucht Reserven und profitiert von höheren Werten. Gespeichert wird trotzdem am Ende in Wiedergabequalität.

Übung 3

schwer

Eine Schule will den Schulhof mit vier Kameras überwachen: 1280 mal 720 Bildpunkte, 24 , 15 Bilder je Sekunde, 10 Stunden täglich.

a) Berechne den unkomprimierten Bedarf pro Tag für alle vier Kameras. b) Mit einer von 120: Wie viel bleibt übrig, und reicht eine 4-TB-Festplatte für 30 Tage? c) Um Platz zu sparen, wird vorgeschlagen, die Bildrate auf 5 statt 15 zu senken oder die auf 640 mal 360 zu halbieren. Vergleiche beide Vorschläge rechnerisch und inhaltlich. d) Nimm zusätzlich zur Rechnung Stellung: Welche Fragen wären vor einer solchen Anlage zu klären?

Tipp anzeigen

Zu c): Wie viele Faktoren der Formel ändert jeder Vorschlag?

Lösung anzeigen

a) Je Bild: 1280⋅720⋅24=22 118 4001280 \cdot 720 \cdot 24 = 22\,118\,400 Bit. Bilder je Tag und Kamera: 15⋅3600⋅10=540 00015 \cdot 3600 \cdot 10 = 540\,000. Je Kamera und Tag: 22 118 400⋅540 000=1,194⋅101322\,118\,400 \cdot 540\,000 = 1{,}194 \cdot 10^{13} Bit. Vier Kameras: 4,776⋅10134{,}776 \cdot 10^{13} Bit, geteilt durch 8 sind das 5,97⋅10125{,}97 \cdot 10^{12} , also rund 6 Terabyte pro Tag.

b) Mit Rate 120: 6 TB:120=0,05 TB6\ \text{TB} : 120 = 0{,}05\ \text{TB}, also rund 50 GB pro Tag. Für 30 Tage sind das 1,51{,}5 TB. Eine 4-TB-Festplatte reicht und böte Reserve für rund 80 Tage.

c) Bildrate von 15 auf 5: Ein Faktor wird gedrittelt, der Bedarf sinkt auf ein Drittel, also rund 17 GB je Tag. Auflösung halbieren (640 mal 360): Zwei Faktoren werden halbiert, der Bedarf sinkt auf ein Viertel, also rund 12,5 GB je Tag. Rechnerisch spart die Auflösungshalbierung mehr. Inhaltlich ist sie aber die schlechtere Wahl: Bei 640 mal 360 lassen sich Gesichter und Kennzeichen kaum noch erkennen, und damit verliert die Aufnahme ihren Zweck. Fünf Bilder je Sekunde genügen dagegen, um einen Ablauf nachzuvollziehen. Also: Bildrate senken, Auflösung behalten. Die Rechnung liefert die Zahlen, die Entscheidung folgt aus dem Zweck.

d) Vor der Technik stehen rechtliche und ethische Fragen. Ist die Überwachung überhaupt zulässig? Aufnahmen von Schülern sind besonders schutzwürdiger Personen. Wozu genau dient sie, und ginge es milder, etwa durch bessere Beleuchtung oder Aufsicht? Wie lange werden Aufnahmen gespeichert, und wer darf sie ansehen? Sind die Betroffenen informiert? Und schließlich: Auch eine technisch einwandfreie, sparsam dimensionierte Anlage kann datenschutzrechtlich unzulässig sein. Das ist genau die Trennung aus dem Kapitel Datenschutz und Datensicherheit: Die Frage „dürfen wir?“ steht vor der Frage „wie bauen wir es?“.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Die Rechnung in überschaubare Stufen zerlegen

    Bei so vielen Faktoren rechnet man stufenweise und schreibt jede Zwischenzahl auf. Je Bild: 1280⋅720⋅24=22 118 4001280 \cdot 720 \cdot 24 = 22\,118\,400 Bit. Bilder je Tag und Kamera: 15⋅3600⋅10=540 00015 \cdot 3600 \cdot 10 = 540\,000. Je Kamera und Tag: 1,194⋅10131{,}194 \cdot 10^{13} Bit. Vier Kameras, geteilt durch 8: rund 6 Terabyte pro Tag.

    1280⋅720⋅24⋅15⋅3600⋅10⋅4:8≈5,97⋅10121280 \cdot 720 \cdot 24 \cdot 15 \cdot 3600 \cdot 10 \cdot 4 : 8 \approx 5{,}97 \cdot 10^{12}

    Zwischenergebnis

    Rund 6 TB pro Tag.

  2. 2

    b) Kompression und Zeitraum einrechnen und die Frage beantworten

    Mit Rate 120: 6 TB:120=0,05 TB6\ \text{TB} : 120 = 0{,}05\ \text{TB}, also rund 50 GB pro Tag. Für 30 Tage sind das 1,51{,}5 TB. Eine 4-TB-Festplatte reicht und böte Reserve für rund 80 Tage.

    6 TB:120⋅30=1,5 TB6\ \text{TB} : 120 \cdot 30 = 1{,}5\ \text{TB}

    Zwischenergebnis

    1,5 TB für 30 Tage, die Platte reicht.

  3. 3

    c) Zwei Sparvorschläge vergleichen: Wie viele Faktoren ändert jeder?

    Bildrate von 15 auf 5: Ein Faktor wird gedrittelt, der Bedarf sinkt auf ein Drittel, also rund 17 GB je Tag. Auflösung halbieren: Zwei Faktoren werden halbiert (Breite und Höhe), der Bedarf sinkt auf ein Viertel, also rund 12,5 GB je Tag.

    Bildrate: 13\frac{1}{3} · Auflösung: 12⋅12=14\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

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    c) Die Entscheidung folgt aus dem Zweck, nicht aus der Rechnung

    Rechnerisch spart die Auflösungshalbierung mehr, inhaltlich ist sie die schlechtere Wahl: Bei 640 mal 360 lassen sich Gesichter und Kennzeichen kaum noch erkennen, und damit verliert die Aufnahme ihren Zweck. Fünf Bilder je Sekunde genügen dagegen, um einen Ablauf nachzuvollziehen. Also: Bildrate senken, Auflösung behalten.

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    d) Vor der Technik stehen die rechtlichen und ethischen Fragen

    Zu klären wäre: Ist die Überwachung überhaupt zulässig? Aufnahmen von Schülern sind personenbezogene Daten besonders schutzwürdiger Personen. Wozu genau dient sie, und ginge es milder (bessere Beleuchtung, Aufsicht)? Wie lange wird gespeichert, wer darf ansehen? Sind die Betroffenen informiert?

Zusammenfassung

Der Speicherbedarf jedes digitalen Mediums folgt derselben Formel: Anzahl der mal Platz je Wert. Unterschiedlich ist nur, worüber abgetastet wird, nämlich über Zeichen, Fläche, Zeit oder beides. Daraus folgt unmittelbar, warum verdoppelte Kantenlängen den Bedarf vervierfachen: Zwei Faktoren des Produkts werden verdoppelt. Die nötige Abtastrate ergibt sich aus der höchsten darzustellenden Frequenz und muss größer als deren Doppeltes sein, weshalb die Audio-CD bei einer Hörgrenze von 20 000 Hz mit 44 100 Hz arbeitet. Die ist der Quotient aus vorher und nachher und darf mit Anteil und Ersparnis nicht verwechselt werden. Eine Qualitätssteigerung lohnt nur, solange sie wahrnehmbar ist; bei der Bearbeitung sind Reserven trotzdem sinnvoll. Und zuverlässig rechnet, wer zuerst die Formel hinschreibt, alles in umrechnet, Einheiten mitschreibt und das Ergebnis auf Plausibilität prüft.