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Elektrizitätslehre

Widerstände in Schaltungen, elektrische Arbeit und Leistung

Die Regeln für Reihen- und Parallelschaltung, warum die Sicherung auslöst und was auf der Stromrechnung steht.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Wasserkocher und Handyladegerät hängen an derselben Steckdose mit denselben 230 V230\,\text{V}. Trotzdem zieht der eine fast fünfzigmal so viel Strom wie das andere, und wenn zu viele Geräte gleichzeitig laufen, fliegt die Sicherung.

Um das zu verstehen, braucht es zwei Dinge: die Regeln, nach denen sich Widerstände in Schaltungen zusammensetzen, und den Zusammenhang zwischen , Strom und . Beides zusammen erklärt am Ende auch, warum auf der Stromrechnung Kilowattstunden stehen und nicht Watt.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • bei Reihenschaltung und Parallelschaltung berechnen.

  • begründen, warum der Parallelwiderstand kleiner als jeder Einzelwiderstand ist.

  • die elektrische mit P=U⋅IP = U \cdot I berechnen.

  • die elektrische mit W=U⋅I⋅tW = U \cdot I \cdot t berechnen und in kWh umrechnen.

  • Stromkosten berechnen und Geräte energetisch vergleichen.

  • die Wirkungsweise einer Sicherung erklären.

Reihenschaltung von Widerständen

Liegen Widerstände hintereinander, muss der Strom nacheinander durch alle hindurch. Daraus folgen die Regeln unmittelbar:

I=I1=I2=…U=U1+U2+…Rges=R1+R2+…I = I_1 = I_2 = \dots \qquad U = U_1 + U_2 + \dots \qquad R_{\text{ges}} = R_1 + R_2 + \dots

Warum sich die Widerstände addieren: Jeder Widerstand bremst zusätzlich, die Hindernisse liegen hintereinander auf demselben Weg. Anschaulich: zwei kurze enge Rohre hintereinander bremsen wie ein doppelt so langes.

Folge: Der ist größer als jeder Einzelwiderstand.

Die verteilt sich dabei im Verhältnis der Widerstände: Am größeren Widerstand fällt die größere Spannung ab. Genau das nutzt ein Spannungsteiler.

In Reihe: die Widerstände addieren sich10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩU₁ = 4 VU₂ = 6 VI = 0,2 A, überall dieselbeR = R₁ + R₂ = 50 Ω, also I = 10 V / 50 Ω = 0,2 AAm größeren Widerstand fällt die größere Spannung ab

Rechne die Zahlen nach: 20 Ω + 30 Ω ergibt 50 Ω, damit 10 V / 50 Ω = 0,2 A, damit 4 V und 6 V an den beiden Widerständen und 4 V + 6 V sind wieder die 10 V der Quelle. Am größeren Widerstand fällt die größere ab.

Parallelschaltung von Widerständen

Liegen Widerstände nebeneinander, hat der Strom mehrere Wege zur Auswahl:

U=U1=U2=…I=I1+I2+…1Rges=1R1+1R2+…U = U_1 = U_2 = \dots \qquad I = I_1 + I_2 + \dots \qquad \frac{1}{R_{\text{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots

Warum der kleiner wird: Jeder zusätzliche Zweig ist ein weiterer Weg. Mehr Wege bedeuten insgesamt weniger Behinderung, also fließt mehr Strom, also ist der Gesamtwiderstand kleiner. Anschaulich: eine zweite Fahrspur neben der ersten.

🔴 Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Das ist eine gute Kontrolle für jede Rechnung.

Für zwei Widerstände lässt sich die Formel bequem umstellen:

Rges=R1⋅R2R1+R2R_{\text{ges}} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}

Bei nn gleichen Widerständen gilt einfach Rges=RnR_{\text{ges}} = \frac{R}{n}.

Parallel: die Ströme addieren sich12 VR₁ = 20 ΩI₁ = 0,6 AR₂ = 30 ΩI₂ = 0,4 AI = 1,0 A1/R = 1/20 + 1/30 = 5/60, also R = 12 ΩDer Gesamtwiderstand ist kleiner als jeder einzelne

Hier stolpern die meisten: Der ist mit 12 Ω kleiner als jeder einzelne. Das ist kein Rechenfehler, sondern die Folge davon, dass es jetzt zwei Wege gibt. Probe: 12 V / 12 Ω = 1,0 A, genau die Summe der beiden Zweigströme.

Elektrische Leistung

Die U=EQU = \frac{E}{Q} sagt, wie viel je übertragen wird. Die I=QtI = \frac{Q}{t} sagt, wie viel Ladung je Zeit fließt. Multipliziert man beide, kürzt sich die Ladung heraus:

U⋅I=EQ⋅Qt=Et=PU \cdot I = \frac{E}{Q} \cdot \frac{Q}{t} = \frac{E}{t} = P P=U⋅I\boxed{P = U \cdot I}

Einheit Watt, wie bei der mechanischen , denn es ist dieselbe Größe: Energie je Zeit.

Setzt man das ein, entstehen zwei weitere nützliche Formen:

P=R⋅I2undP=U2RP = R \cdot I^2 \qquad \text{und} \qquad P = \frac{U^2}{R}

🔴 Besonders die Form P=R⋅I2P = R \cdot I^2 ist wichtig: Die Verlustleistung in einer Leitung wächst mit dem Quadrat der Stromstärke. Deshalb transportiert man elektrische Energie über weite Strecken mit hoher Spannung und entsprechend kleinem Strom.

Elektrische Arbeit und die Stromrechnung

Über eine Zeit tt wird die

W=P⋅t=U⋅I⋅tW = P \cdot t = U \cdot I \cdot t

verrichtet. In Joule gerechnet werden die Zahlen unhandlich, deshalb benutzt man in der Praxis die Kilowattstunde:

1 kWh=1000 W⋅3600 s=3600000 J=3,6 MJ1\,\text{kWh} = 1000\,\text{W} \cdot 3600\,\text{s} = 3600000\,\text{J} = 3{,}6\,\text{MJ}

🔴 Die Kilowattstunde ist eine Arbeit (), keine . Auf der Stromrechnung steht deshalb, wie viel Energie bezogen wurde, nicht wie schnell.

Stromkosten:

Kosten=W in kWh⋅Preis je kWh\text{Kosten} = W \text{ in kWh} \cdot \text{Preis je kWh}

Die Sicherung

Jeder im Haus ist mit einer Sicherung abgesichert, üblicherweise 16 A16\,\text{A}. Sie unterbricht den Kreis, sobald der Strom diesen Wert überschreitet.

Warum das nötig ist: Nach P=R⋅I2P = R \cdot I^2 wächst die Wärmeentwicklung in der Leitung mit dem Quadrat des Stroms. Ein zu großer Strom erhitzt die Leitung in der Wand so stark, dass die Isolierung schmilzt und ein Kabelbrand entsteht.

Wichtig: Die Sicherung schützt die Leitung, nicht das Gerät und auch nicht direkt den Menschen. Gegen Stromschläge gibt es den FI-Schutzschalter (RCD), der schon bei 30 mA30\,\text{mA} Fehlerstrom auslöst, also weit unterhalb der gefährlichen Grenze.

Ein Kurzschluss ist eine Verbindung der Pole ohne nennenswerten Widerstand. Nach I=URI = \frac{U}{R} wird der Strom dabei sehr groß, und genau dafür ist die Sicherung da.

Geräte im Vergleich

GerätStrom bei 230 V230\,\text{V}
LED-Lampe8 W8\,\text{W}0,035 A0{,}035\,\text{A}
Laptop60 W60\,\text{W}0,26 A0{,}26\,\text{A}
Kühlschrank100 W100\,\text{W}0,43 A0{,}43\,\text{A}
Staubsauger800 W800\,\text{W}3,5 A3{,}5\,\text{A}
Wasserkocher2000 W2000\,\text{W}8,7 A8{,}7\,\text{A}
Herdplatte2500 W2500\,\text{W}10,9 A10{,}9\,\text{A}

Man sieht sofort, warum zwei Wasserkocher an einem die 1616-Ampere-Sicherung auslösen: 2⋅8,7 A=17,4 A2 \cdot 8{,}7\,\text{A} = 17{,}4\,\text{A}.

Gesamtwiderstand berechnen

Gegeben sind R1=30 ΩR_1 = 30\,\Omega und R2=60 ΩR_2 = 60\,\Omega an 12 V12\,\text{V}.

a) Berechne und Gesamtstrom in Reihenschaltung.

b) Dasselbe für die Parallelschaltung.

c) Berechne bei der Reihenschaltung die Teilspannungen.

  1. 1

    a) Reihe: Widerstände addieren.

    Rges=30 Ω+60 Ω=90 ΩR_{\text{ges}} = 30\,\Omega + 60\,\Omega = 90\,\Omega I=URges=12 V90 Ω≈0,133 AI = \frac{U}{R_{\text{ges}}} = \frac{12\,\text{V}}{90\,\Omega} \approx 0{,}133\,\text{A}
  2. 2

    b) Parallel: Kehrwerte addieren.

    1Rges=130 Ω+160 Ω=260 Ω+160 Ω=360 Ω\frac{1}{R_{\text{ges}}} = \frac{1}{30\,\Omega} + \frac{1}{60\,\Omega} = \frac{2}{60\,\Omega} + \frac{1}{60\,\Omega} = \frac{3}{60\,\Omega} Rges=60 Ω3=20 ΩR_{\text{ges}} = \frac{60\,\Omega}{3} = 20\,\Omega

    Kontrolle: 20 Ω<30 Ω20\,\Omega < 30\,\Omega, also kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Passt.

    I=12 V20 Ω=0,6 AI = \frac{12\,\text{V}}{20\,\Omega} = 0{,}6\,\text{A}

    Der Strom ist hier viereinhalbmal so groß wie in der Reihenschaltung.

  3. 3

    c) Teilspannungen in der Reihenschaltung. Durch beide fließt derselbe Strom 0,133 A0{,}133\,\text{A}:

    U1=R1⋅I=30 Ω⋅0,133 A=4 VU_1 = R_1 \cdot I = 30\,\Omega \cdot 0{,}133\,\text{A} = 4\,\text{V} U2=R2⋅I=60 Ω⋅0,133 A=8 VU_2 = R_2 \cdot I = 60\,\Omega \cdot 0{,}133\,\text{A} = 8\,\text{V}
  4. 4

    Kontrolle: 4 V+8 V=12 V4\,\text{V} + 8\,\text{V} = 12\,\text{V}, also genau die Quellenspannung. Und die verhalten sich wie 1:21 : 2, genau wie die Widerstände.

    Das ist die Regel des Spannungsteilers: Am größeren Widerstand fällt die größere Spannung ab.

Reihe: 90 Ω90\,\Omega, 0,133 A0{,}133\,\text{A}, Teilspannungen 4 V4\,\text{V} und 8 V8\,\text{V}. Parallel: 20 Ω20\,\Omega, 0,6 A0{,}6\,\text{A}. Dieselben Bauteile, völlig verschiedenes Verhalten.

Stromkosten berechnen

Ein Wasserkocher (2000 W2000\,\text{W}) läuft täglich 8 min8\,\text{min}. Der Strompreis beträgt 0,35 €kWh0{,}35\,\frac{\text{€}}{\text{kWh}}.

a) Wie groß ist die bei 230 V230\,\text{V}?

b) Wie viel wird pro Tag umgesetzt?

c) Was kostet das im Jahr?

d) Ein alter Wasserkocher braucht für dieselbe Wassermenge 10 min10\,\text{min} bei gleicher . Wie viel kostet er mehr im Jahr?

  1. 1

    a) I=PU=2000 W230 V≈8,7 AI = \frac{P}{U} = \frac{2000\,\text{W}}{230\,\text{V}} \approx 8{,}7\,\text{A}

    Das ist über die Hälfte dessen, was eine 1616-Ampere-Sicherung hergibt.

  2. 2

    b) Zeit in Stunden umrechnen, weil die Leistung in Kilowatt und die in Kilowattstunden gerechnet wird:

    t=8 min=860 h≈0,133 ht = 8\,\text{min} = \frac{8}{60}\,\text{h} \approx 0{,}133\,\text{h} W=P⋅t=2 kW⋅0,133 h≈0,267 kWhW = P \cdot t = 2\,\text{kW} \cdot 0{,}133\,\text{h} \approx 0{,}267\,\text{kWh}
  3. 3

    c) Aufs Jahr hochrechnen:

    WJahr=0,267 kWh⋅365≈97,3 kWhW_{\text{Jahr}} = 0{,}267\,\text{kWh} \cdot 365 \approx 97{,}3\,\text{kWh} Kosten=97,3 kWh⋅0,35 €kWh≈34,07 €\text{Kosten} = 97{,}3\,\text{kWh} \cdot 0{,}35\,\frac{\text{€}}{\text{kWh}} \approx 34{,}07\,\text{€}
  4. 4

    d) Der alte Kocher braucht 25 %25\,\% länger, also auch 25 %25\,\% mehr Energie:

    WJahr=2 kW⋅1060 h⋅365≈121,7 kWhW_{\text{Jahr}} = 2\,\text{kW} \cdot \frac{10}{60}\,\text{h} \cdot 365 \approx 121{,}7\,\text{kWh} Kosten≈42,58 €\text{Kosten} \approx 42{,}58\,\text{€}

    Mehrkosten: rund 8,50 €8{,}50\,\text{€} im Jahr.

    Interessant daran: Der alte Kocher ist nicht „stärker" oder „schwächer", er hat dieselbe Leistung. Er braucht nur länger, weil mehr an Gehäuse und Umgebung verlorengeht. Die Leistung sagt also nichts über die Sparsamkeit; entscheidend ist die Energie für die Aufgabe.

a) 8,7 A8{,}7\,\text{A} b) 0,267 kWh0{,}267\,\text{kWh} täglich c) rund 34 €34\,\text{€} im Jahr d) etwa 8,50 €8{,}50\,\text{€} Mehrkosten durch die längere Kochzeit.

Typischer Fehler

„Bei einer Parallelschaltung addieren sich die Widerstände, dann ist der größer."

Genau umgekehrt: Bei der Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

Warum das so sein muss: Jeder Zweig ist ein zusätzlicher Weg für den Strom. Kommt ein Weg dazu, kann insgesamt mehr Strom fließen, obwohl sich an der nichts ändert. Nach R=UIR = \frac{U}{I} bedeutet mehr Strom bei gleicher Spannung einen kleineren Widerstand.

Das Bild dazu: Eine zweite Fahrspur neben der ersten. Der Verkehr wird nicht zäher, sondern flüssiger.

Die Rechnung: Es addieren sich die Kehrwerte, nicht die Widerstände selbst:

1Rges=1R1+1R2\frac{1}{R_{\text{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

🔴 Und der häufigste Folgefehler: Am Ende steht 1Rges\frac{1}{R_{\text{ges}}}, nicht RgesR_{\text{ges}}. Man muss also noch den Kehrwert bilden. Wer das vergisst, bekommt einen Wert, der um mehrere Größenordnungen danebenliegt.

Kontrolle, die immer funktioniert: Vergleiche das Ergebnis mit dem kleinsten Einzelwiderstand. Ist es größer, ist die Rechnung falsch.

Übrigens hat diese Struktur ein Gegenstück: Genau so verhalten sich zwei hintereinander gehängte Federn (Klasse 7). Auch dort addieren sich die Kehrwerte, und die Kombination ist weicher als jede Einzelfeder.

Übung 1

leicht

a) R1=12 ΩR_1 = 12\,\Omega und R2=8 ΩR_2 = 8\,\Omega in Reihe. Wie groß ist RgesR_{\text{ges}}?

b) Dieselben Widerstände parallel. Wie groß ist RgesR_{\text{ges}}?

c) Ein Gerät zieht 0,5 A0{,}5\,\text{A} bei 230 V230\,\text{V}. Wie groß ist seine ?

Tipp anzeigen

b) Benutze Rges=R1R2R1+R2R_{\text{ges}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.

Lösung anzeigen

a) Rges=12 Ω+8 Ω=20 ΩR_{\text{ges}} = 12\,\Omega + 8\,\Omega = 20\,\Omega

b) Rges=12 Ω⋅8 Ω12 Ω+8 Ω=9620 Ω=4,8 ΩR_{\text{ges}} = \frac{12\,\Omega \cdot 8\,\Omega}{12\,\Omega + 8\,\Omega} = \frac{96}{20}\,\Omega = 4{,}8\,\Omega

Kontrolle: 4,8 Ω<8 Ω4{,}8\,\Omega < 8\,\Omega, also kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Passt.

c) P=U⋅I=230 V⋅0,5 A=115 WP = U \cdot I = 230\,\text{V} \cdot 0{,}5\,\text{A} = 115\,\text{W}

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei den drei Teilaufgaben

    Gegeben: R1=12 ΩR_1 = 12\,\Omega und R2=8 ΩR_2 = 8\,\Omega (a in Reihe, b parallel) sowie in c) ein Gerät mit I=0,5 AI = 0{,}5\,\text{A} an U=230 VU = 230\,\text{V}. Gesucht: zweimal der und einmal die Leistung.

  2. 2

    Reihe und Parallel, zwei Formeln, zwei Begründungen

    In Reihe addieren sich die Widerstände: Rges=R1+R2R_{\text{ges}} = R_1 + R_2, denn der Strom muss nacheinander durch beide Hindernisse. Parallel gilt Rges=R1⋅R2R1+R2R_{\text{ges}} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}, denn der Strom hat zwei Wege zur Auswahl.

  3. 3

    a) und b) Beide Ersatzwiderstände

    In Reihe einfach addieren; parallel den Bruch aus Produkt und Summe bilden.

    RReihe=12 Ω+8 Ω=20 ΩR_{\text{Reihe}} = 12\,\Omega + 8\,\Omega = 20\,\Omega; Rparallel=12 Ω⋅8 Ω12 Ω+8 Ω=4,8 ΩR_{\text{parallel}} = \frac{12\,\Omega \cdot 8\,\Omega}{12\,\Omega + 8\,\Omega} = 4{,}8\,\Omega

    Zwischenergebnis

    RReihe=20 ΩR_{\text{Reihe}} = 20\,\Omega, Rparallel=4,8 ΩR_{\text{parallel}} = 4{,}8\,\Omega

  4. 4

    c) Die Leistung des Geräts

    Die elektrische Leistung ist P=U⋅IP = U \cdot I: sagt, wie viel je abgegeben wird, , wie viel Ladung je Sekunde fließt.

    P=U⋅I=230 V⋅0,5 A=115 WP = U \cdot I = 230\,\text{V} \cdot 0{,}5\,\text{A} = 115\,\text{W}

    Zwischenergebnis

    P=115 WP = 115\,\text{W}

  5. 5

    Ergebnisse deuten: warum die Kontrolle bei b) so wichtig ist

    4,8 Ω4{,}8\,\Omega ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand, genau das muss bei einer Parallelschaltung herauskommen. Diese Regel ist die schnellste Prüfung, die es für solche Aufgaben gibt.

Übung 2

mittel

In einem Zimmer laufen an einem (230 V230\,\text{V}, Sicherung 16 A16\,\text{A}) gleichzeitig: Fernseher 120 W120\,\text{W}, Lampe 15 W15\,\text{W}, Laptop 65 W65\,\text{W}, Heizlüfter 2000 W2000\,\text{W}.

a) Berechne die Gesamtleistung und den Gesamtstrom.

b) Löst die Sicherung aus?

c) Es wird zusätzlich ein Wasserkocher (2000 W2000\,\text{W}) eingeschaltet. Was passiert?

d) Warum ist die Gesamtleistung einfach die Summe?

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d) In welcher Schaltung liegen die Geräte?

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a) Pges=120+15+65+2000=2200 WP_{\text{ges}} = 120 + 15 + 65 + 2000 = 2200\,\text{W}

I=PU=2200 W230 V≈9,6 AI = \frac{P}{U} = \frac{2200\,\text{W}}{230\,\text{V}} \approx 9{,}6\,\text{A}

b) Nein. 9,6 A<16 A9{,}6\,\text{A} < 16\,\text{A}, die Sicherung hält.

c) Pges=2200 W+2000 W=4200 W⇒I=4200 W230 V≈18,3 AP_{\text{ges}} = 2200\,\text{W} + 2000\,\text{W} = 4200\,\text{W} \quad \Rightarrow \quad I = \frac{4200\,\text{W}}{230\,\text{V}} \approx 18{,}3\,\text{A}

18,3 A>16 A18{,}3\,\text{A} > 16\,\text{A}: Die Sicherung löst aus, der Stromkreis wird unterbrochen und alle Geräte gehen aus.

Das ist kein Defekt, sondern genau die vorgesehene Funktion. Ohne Sicherung würde die Leitung in der Wand überlastet, sich erhitzen und könnte einen Kabelbrand auslösen.

d) Weil alle Geräte parallel an derselben liegen. Jedes zieht seinen eigenen Strom, und die Ströme addieren sich:

Iges=I1+I2+…I_{\text{ges}} = I_1 + I_2 + \dots

Multipliziert man beide Seiten mit der gemeinsamen Spannung UU, folgt

U⋅Iges=UI1+UI2+…⇒Pges=P1+P2+…U \cdot I_{\text{ges}} = U I_1 + U I_2 + \dots \quad \Rightarrow \quad P_{\text{ges}} = P_1 + P_2 + \dots

Bei einer Reihenschaltung wäre das nicht so einfach, denn dort bekäme jedes Gerät nur einen Teil der Spannung.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht im Zimmerstromkreis

    Gegeben: U=230 VU = 230\,\text{V}, Sicherung 16 A16\,\text{A} und vier Geräte mit 120 W120\,\text{W}, 15 W15\,\text{W}, 65 W65\,\text{W} und 2000 W2000\,\text{W}. Gesucht: a) Gesamtleistung und Gesamtstrom, b) ob die Sicherung hält, c) die Folge eines fünften Geräts, d) eine Begründung.

  2. 2

    d) Warum sich die Leistungen einfach addieren

    Weil alle Geräte parallel an derselben Spannung liegen. Jedes zieht seinen eigenen Strom, und die Ströme addieren sich: Iges=I1+I2+…I_{\text{ges}} = I_1 + I_2 + \dots. Multipliziert man beide Seiten mit der gemeinsamen Spannung UU, folgt Pges=P1+P2+…P_{\text{ges}} = P_1 + P_2 + \dots.

  3. 3

    a) Gesamtleistung und Gesamtstrom

    Erst die vier Leistungen addieren, dann über I=PUI = \frac{P}{U} den Gesamtstrom bestimmen.

    Pges=120+15+65+2000=2200 WP_{\text{ges}} = 120 + 15 + 65 + 2000 = 2200\,\text{W}; I=2200 W230 V≈9,6 AI = \frac{2200\,\text{W}}{230\,\text{V}} \approx 9{,}6\,\text{A}

    Zwischenergebnis

    Pges=2200 WP_{\text{ges}} = 2200\,\text{W}, I≈9,6 AI \approx 9{,}6\,\text{A}

  4. 4

    b) und c) Hält die Sicherung, und was der Wasserkocher ändert

    b) 9,6 A<16 A9{,}6\,\text{A} < 16\,\text{A}, die Sicherung hält. c) Mit dem Wasserkocher steigt die Leistung auf 4200 W4200\,\text{W} und der Strom auf rund 18,3 A18{,}3\,\text{A}, mehr als 16 A16\,\text{A}, die Sicherung löst aus.

    Pges=4200 WP_{\text{ges}} = 4200\,\text{W}; I=4200 W230 V≈18,3 AI = \frac{4200\,\text{W}}{230\,\text{V}} \approx 18{,}3\,\text{A}

    Zwischenergebnis

    I≈18,3 A>16 AI \approx 18{,}3\,\text{A} > 16\,\text{A}: Auslösung

  5. 5

    Ergebnisse deuten: warum zwei Heizgeräte nie zusammenpassen

    Zwei Geräte zu je 2000 W2000\,\text{W} ziehen zusammen bereits 17,4 A17{,}4\,\text{A}, mehr als die Sicherung erlaubt, ganz ohne weiteres Gerät. Ein 1616-Ampere-Stromkreis trägt bei 230 V230\,\text{V} höchstens rund 3680 W3680\,\text{W}.

Übung 3

schwer

Eine Fabrik bezieht 100 kW100\,\text{kW} über eine Leitung mit 0,5 Ω0{,}5\,\Omega .

a) Berechne Strom und Verlustleistung bei 230 V230\,\text{V} Übertragungsspannung.

b) Dasselbe bei 20000 V20000\,\text{V}.

c) Erkläre den Unterschied.

d) Warum kann man die nicht beliebig erhöhen?

Tipp anzeigen

Verlustleistung in der Leitung: PV=R⋅I2P_V = R \cdot I^2.

Lösung anzeigen

a) Bei U=230 VU = 230\,\text{V}:

I=PU=100000 W230 V≈435 AI = \frac{P}{U} = \frac{100000\,\text{W}}{230\,\text{V}} \approx 435\,\text{A} PV=R⋅I2=0,5 Ω⋅(435 A)2≈94600 W≈94,6 kWP_V = R \cdot I^2 = 0{,}5\,\Omega \cdot (435\,\text{A})^2 \approx 94600\,\text{W} \approx 94{,}6\,\text{kW}

Von 100 kW100\,\text{kW} blieben also nur rund 5 kW5\,\text{kW} übrig. Die Übertragung wäre völlig unbrauchbar.

b) Bei U=20000 VU = 20000\,\text{V}:

I=100000 W20000 V=5 AI = \frac{100000\,\text{W}}{20000\,\text{V}} = 5\,\text{A} PV=0,5 Ω⋅(5 A)2=12,5 WP_V = 0{,}5\,\Omega \cdot (5\,\text{A})^2 = 12{,}5\,\text{W}

Das sind 0,0125 %0{,}0125\,\% Verlust.

c) Der Unterschied ist gewaltig: Faktor 8787 bei der Spannung, aber Faktor 75687568 bei der Verlustleistung.

Der Grund steckt im Quadrat in PV=R⋅I2P_V = R \cdot I^2. Erhöht man die Spannung um den Faktor kk, sinkt der Strom für dieselbe auf 1k\frac{1}{k}, und die Verlustleistung sinkt deshalb auf 1k2\frac{1}{k^2}.

Genau deshalb gibt es Hochspannungsleitungen mit 110 kV110\,\text{kV} bis 380 kV380\,\text{kV} und in jedem Stadtteil Transformatorenhäuschen, die wieder auf 230 V230\,\text{V} heruntersetzen. Ohne diese Technik wäre eine überregionale Stromversorgung unmöglich.

d) Aus mehreren Gründen:

  • Die Isolation wird aufwendig. Bei hohen Spannungen springen Funken über große Abstände, deshalb die langen Isolatorenketten und die großen Abstände an Masten.
  • Es treten Koronaentladungen auf: Die Luft um den Leiter wird ionisiert, was kostet, Geräusche und Störungen verursacht.
  • Der Sicherheitsabstand wächst, Trassen brauchen mehr Platz.
  • Transformatoren und Schaltanlagen werden teurer.

Man wählt die Spannung deshalb nach der Übertragungsstrecke: je weiter, desto höher, bis die Mehrkosten den Gewinn auffressen.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Übertragung

    Gegeben: übertragene Leistung P=100 kWP = 100\,\text{kW}, Leitungswiderstand R=0,5 ΩR = 0{,}5\,\Omega und zwei Übertragungsspannungen (230 V230\,\text{V} und 20000 V20000\,\text{V}). Gesucht: jeweils Strom und Verlustleistung sowie eine Erklärung des Unterschieds.

  2. 2

    Warum die Verlustleistung vom Quadrat des Stroms abhängt

    Der Strom folgt aus I=PUI = \frac{P}{U}. In der Leitung wird nach PV=R⋅I2P_V = R \cdot I^2 Wärme frei, das Quadrat entsteht, weil PV=UV⋅IP_V = U_V \cdot I und zugleich UV=R⋅IU_V = R \cdot I gilt.

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    a) Übertragung bei 230 Volt

    Erst der Strom, dann die Verlustleistung. Beide Werte fallen erschreckend groß aus.

    I=100000 W230 V≈435 AI = \frac{100000\,\text{W}}{230\,\text{V}} \approx 435\,\text{A}; PV=0,5 Ω⋅(435 A)2≈94600 WP_V = 0{,}5\,\Omega \cdot (435\,\text{A})^2 \approx 94600\,\text{W}

    Zwischenergebnis

    I≈435 AI \approx 435\,\text{A}, PV≈94,6 kWP_V \approx 94{,}6\,\text{kW}

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    b) Dieselbe Leistung bei 20 Kilovolt

    Bei fast 8787-mal größerer Spannung fließt für dieselbe Leistung ein entsprechend kleinerer Strom und die Verlustleistung sinkt mit dem Quadrat.

    I=100000 W20000 V=5 AI = \frac{100000\,\text{W}}{20000\,\text{V}} = 5\,\text{A}; PV=0,5 Ω⋅(5 A)2=12,5 WP_V = 0{,}5\,\Omega \cdot (5\,\text{A})^2 = 12{,}5\,\text{W}

    Zwischenergebnis

    I=5 AI = 5\,\text{A}, PV=12,5 WP_V = 12{,}5\,\text{W}

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    d) Ergebnis deuten: warum die Spannung trotzdem Grenzen hat

    Höher ist nicht beliebig besser. Die Isolation wird aufwendig (bei hohen Spannungen springen Funken über große Abstände), es treten Koronaentladungen auf, die Energie kosten und Störungen verursachen, der Sicherheitsabstand wächst, und Transformatoren werden teurer.

Zusammenfassung

In der Reihenschaltung liegen die Widerstände hintereinander auf einem Weg, deshalb addieren sie sich und der ist größer als jeder einzelne; die teilt sich im Verhältnis der Widerstände auf. In der Parallelschaltung ist jeder Zweig ein zusätzlicher Weg, deshalb addieren sich die Kehrwerte und der Gesamtwiderstand wird kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Die elektrische P=U⋅IP = U \cdot I folgt direkt daraus, dass Spannung je und Ladung je Zeit ist. In der Form P=R⋅I2P = R \cdot I^2 zeigt sie, warum Leitungsverluste mit dem Quadrat des Stroms wachsen und Energie deshalb mit hoher Spannung transportiert wird. Die elektrische W=P⋅tW = P \cdot t steht in Kilowattstunden auf der Stromrechnung, und die Sicherung schützt die Leitung vor genau der , die ein zu großer Strom erzeugen würde.