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Analysis

Mittlere Änderungsrate und Differenzenquotient

Wie schnell ändert sich etwas im Durchschnitt? Sekanten und ihre Anstiege.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

120 km in 1,5 Stunden: Durchschnittstempo 80 km/h. Aber warst du jederzeit 80 km/h schnell? Natürlich nicht! Die Analysis beginnt genau mit dieser Unterscheidung: durchschnittliche vs. momentane Änderung. Heute nehmen wir uns den vor (den Differenzenquotienten) und legen damit das Fundament für die .

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall berechnen.

  • den Differenzenquotienten als Sekantenanstieg geometrisch deuten.

  • Änderungsraten in Sachzusammenhängen interpretieren (Geschwindigkeit, Wachstum).

  • mittlere und momentane Änderungsrate begrifflich unterscheiden.

Die mittlere Änderungsrate: Bekanntes in neuer Sprache

Die Autofahrt aus der Einführung: 120 km120\,\text{km} in 1,51{,}5 Stunden. Die Durchschnittsgeschwindigkeit rechnest du ohne nachzudenken aus:

120 km1,5 h=80 kmh\frac{120\,\text{km}}{1{,}5\,\text{h}} = 80\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

Was du dabei getan hast: Gesamtänderung geteilt durch verstrichene Zeit. Genau dieses Muster verallgemeinern wir jetzt auf beliebige Funktionen.

Die Definition

Wie stark ändert sich eine Funktion ff im zwischen zwei Stellen aa und bb?

m=f(b)−f(a)b−am = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Oben steht, wie stark sich der Funktionswert geändert hat, unten, über welche Spanne hinweg. Dieser Ausdruck heißt Differenzenquotient, Differenz geteilt durch Differenz, und sein Wert ist die mittlere Änderungsrate.

Das kennst du längst

Genau diesen hast du in Klasse 8 bei den benutzt, um den Anstieg aus zwei Punkten zu bestimmen:

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Es ist derselbe Ausdruck, nur schreibt man die yy-Werte jetzt als f(a)f(a) und f(b)f(b). Neu ist nicht die Formel, sondern wofür man sie einsetzt: Bei einer Geraden liefert sie überall dasselbe, deshalb hieß sie dort einfach „die ". Bei einer gekrümmten Funktion hängt das Ergebnis davon ab, welches Intervall du wählst. Deshalb spricht man jetzt von der mittleren Änderungsrate: Sie gehört immer zu einem bestimmten Abschnitt.

Warum die Einheit mitgedacht werden muss

Sobald die Funktion Größen aus dem Alltag beschreibt, ist der Differenzenquotient keine nackte Zahl, sondern hat eine Einheit, nämlich die des geteilt durch die des :

kmhcmTagEuroMonat\frac{\text{km}}{\text{h}} \qquad \frac{\text{cm}}{\text{Tag}} \qquad \frac{\text{Euro}}{\text{Monat}}

Genau daran erkennst du in Sachaufgaben, was du berechnet hast. Und wenn du am Ende „8080" ohne Einheit hinschreibst, fehlt die halbe Aussage.

Was der Differenzenquotient im Bild bedeutet

Bisher war die mittlere Änderungsrate eine Rechnung. Sie hat aber auch eine sehr anschauliche Bedeutung, und die brauchst du für alles Weitere.

Zeichne die beiden Punkte (a∣f(a))(a \mid f(a)) und (b∣f(b))(b \mid f(b)) in den Graphen und verbinde sie mit einer Geraden. Eine Gerade, die eine Kurve in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante (von lateinisch secare = schneiden). Das Wort kennst du von den Geraden am aus Klasse 6, dort gab es neben der Sekante (schneidet in zwei Punkten) auch die (berührt in genau einem Punkt). Dieses Paar bekommt gleich noch eine Hauptrolle.

Und jetzt der Zusammenhang

Wie berechnet man die dieser Sekante? Über ein Steigungsdreieck, waagerechter Weg Δx=b−a\Delta x = b - a, senkrechter Weg Δy=f(b)−f(a)\Delta y = f(b) - f(a):

mSekante=ΔyΔx=f(b)−f(a)b−am_{\text{Sekante}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Das ist exakt der Differenzenquotient. Also gilt:

Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte.

Warum diese Übersetzung so nützlich ist: Sie verbindet eine Rechnung mit einem Bild. In Aufgaben kannst du dadurch zwischen beiden Welten wechseln, aus dem Graphen eine Rate ablesen oder aus Zahlen die Steilheit vorhersagen. Und sie ist der Schlüssel für den nächsten Schritt: Wenn du die beiden Punkte zusammenrücken lässt, wird aus der Sekante die Tangente, und aus der mittleren die momentane Änderungsrate.

Das Bild unten zeigt die Sekante mit ihrem Steigungsdreieck.

Sekante und Differenzenquotient

xy-112342468fΔxΔy

Die Sekante (rot) verbindet die beiden Punkte. Ihr Anstieg ist der Differenzenquotient f(4)−f(1)4−1=ΔyΔx\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}, die mittlere Änderungsrate. Rückt der rechte Punkt an den linken heran, wird aus der Sekante die .

Was die Rate im Sachzusammenhang aussagt

In Anwendungsaufgaben reicht es nicht, eine Zahl auszurechnen, du musst sagen können, was sie bedeutet. Und das hängt davon ab, was die Funktion beschreibt.

FunktionDifferenzenquotient bedeutet …Einheit
Weg s(t)s(t)Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitraumkmh\frac{\text{km}}{\text{h}}
Höhe h(t)h(t) einer Pflanzemittlere WachstumsratecmTag\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}
Kontostand K(t)K(t)mittlere SparrateEuroMonat\frac{\text{Euro}}{\text{Monat}}
Temperatur T(t)T(t)mittlere Erwärmung°Ch\frac{°\text{C}}{\text{h}}

Das Muster ist immer dasselbe: „Größe pro Zeiteinheit". Die Einheit verrät dir die Bedeutung, wenn du sie mitschreibst, formulierst du fast automatisch den richtigen Antwortsatz.

Was das Vorzeichen aussagt

  • positiv → die Größe hat im Schnitt zugenommen,
  • negativ → sie hat im Schnitt abgenommen (Abkühlung, Wertverlust, Rückweg),
  • null → Anfangs- und Endwert sind gleich.

Die wichtigste Warnung: „im Durchschnitt" heißt nicht „durchgehend"

Eine mittlere Änderungsrate von 00 bedeutet nicht, dass nichts passiert ist. Wirf einen Ball senkrecht hoch: Nach der Landung ist er wieder auf Ausgangshöhe, die mittlere Änderungsrate der Höhe ist also null, obwohl er zwischendurch weit oben war. Anstieg und Abstieg haben sich ausgeglichen.

Genauso sagt die Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 kmh80\,\frac{\text{km}}{\text{h}} nichts darüber, ob du zwischendurch gestanden hast oder 130130 gefahren bist.

Merke: Der Differenzenquotient kennt nur Anfang und Ende. Was dazwischen passiert, sieht er nicht. Genau deshalb reicht er nicht aus, und genau deshalb kommt als Nächstes die momentane Änderungsrate.

Denk weiter: Ein Tee ist nach 2 Minuten noch 90 Grad heiß, nach 14 Minuten nur noch 42 Grad. Berechne die mittlere Änderungsrate der Temperatur. Was verrät das Vorzeichen?

Rechne erst selbst, bevor du aufklappst.

Temperaturänderung: 42−90=−4842 - 90 = -48 Grad · Zeitspanne: 14−2=1214 - 2 = 12 Minuten. Also:

T(14)−T(2)14−2=−4812=−4 °Cmin\frac{T(14) - T(2)}{14 - 2} = \frac{-48}{12} = -4\,\frac{°\text{C}}{\text{min}}

Das Minuszeichen ist keine Rechenpanne, sondern die halbe Antwort: Die Temperatur hat im Mittel um 44 Grad pro Minute abgenommen, aus der „mittleren Erwärmung" der Tabelle oben wird bei negativem Vorzeichen eine Abkühlung.

Eine Kontrolle: Wer oben 90−4290 - 42 rechnet, unten aber 14−214 - 2, bekommt +4+4 und übersieht die Abkühlung, oben und unten gehört dieselbe Reihenfolge. Und „im Mittel" bleibt „im Mittel": Vermutlich kühlte der Tee anfangs schneller ab als später; der Differenzenquotient sieht nur Anfang und Ende.

Deine Lösung darf anders aussehen, entscheidend ist das Minus und ein Satz, der es deutet.

Der Blick nach vorn: vom Durchschnitt zum Augenblick

Der Tacho zeigt nicht den der ganzen Fahrt, sondern das Tempo in diesem Augenblick. Wie käme man an diesen Wert?

Die Idee: das Intervall schrumpfen lassen

Die Durchschnittsgeschwindigkeit über 1,51{,}5 Stunden sagt wenig über einen bestimmten Moment. Über die letzten 1010 Minuten sagt sie schon mehr. Über die letzte Sekunde ist sie praktisch das Tempo jetzt.

Das ist der ganze Trick: Nimm das Intervall [a;b][a; b] und lass bb immer näher an aa heranrücken. Der Differenzenquotient wird dabei immer genauer. Er beschreibt einen immer kürzeren Ausschnitt.

Was dabei im Bild passiert

Rücken die beiden Punkte zusammen, dreht sich die Sekante allmählich, bis sie den Graphen nur noch in einem Punkt berührt. Diese Grenzlage heißt .

Sekante  ⟶  Tangentemittlere Rate  ⟶  momentane Rate\text{Sekante} \;\longrightarrow\; \text{Tangente} \qquad\qquad \text{mittlere Rate} \;\longrightarrow\; \text{momentane Rate}

Diese momentane Änderungsrate ist die , das zentrale Werkzeug der gesamten Oberstufenmathematik. Zwei Fachwörter gehören von Anfang an dazu: Das Heranrücken schreibt man kurz b→ab \to a (gelesen: „bb geht gegen aa"), und die Zahl, auf die die Sekantensteigungen dabei zusteuern, heißt ihr Grenzwert. Weil die Ableitung auf diesem Weg als Grenzwert des Differenzenquotienten entsteht, trägt sie auch den Fachnamen Differentialquotient. Wie man diesen Grenzübergang sauber durchführt (und warum dabei nicht einfach 00\frac{0}{0} herauskommt), ist das Thema des nächsten Kapitels, dort bekommen beide Begriffe ihren genauen Sinn.

Was du aus diesem Kapitel mitnimmst: Der Differenzenquotient ist nicht nur eine Formel für Durchschnitte. Er ist der Baustein, aus dem die Ableitung entsteht. Wer ihn hier sicher beherrscht, hat es im nächsten Kapitel deutlich leichter.

Differenzenquotient berechnen

Berechne die mittlere Änderungsrate von f(x)=x2f(x) = x^2 auf dem Intervall [1; 3][1;\,3] und deute sie geometrisch.

  1. 1

    Angaben sortieren. Gegeben sind die Funktion f(x)=x2f(x) = x^2 und das Intervall von a=1a = 1 bis b=3b = 3. Gesucht ist die mittlere Änderungsrate, also der Differenzenquotient.

    Wichtig zu verstehen: Die Rate gehört immer zu diesem Intervall. Auf einem anderen Abschnitt derselben käme etwas anderes heraus, weil die Kurve gekrümmt ist.

  2. 2

    Die Formel und warum sie passt. Die mittlere Änderungsrate ist „Änderung des Funktionswerts geteilt durch Änderung von xx":

    m=f(b)−f(a)b−am = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

    Wir brauchen also zuerst die beiden Funktionswerte an den Intervallgrenzen.

  3. 3

    Funktionswerte berechnen. Einsetzen in f(x)=x2f(x) = x^2:

    f(1)=12=1f(3)=32=9f(1) = 1^2 = 1 \qquad\qquad f(3) = 3^2 = 9

    Die beiden Punkte auf dem Graphen sind also (1∣1)(1 \mid 1) und (3∣9)(3 \mid 9).

  4. 4

    Einsetzen und ausrechnen. Achte auf die Reihenfolge: Oben und unten muss dieselbe Grenze zuerst stehen, sonst kippt das Vorzeichen. Wir nehmen beide Male die rechte Grenze zuerst.

    m=f(3)−f(1)3−1=9−13−1=82=4m = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4
  5. 5

    Geometrisch deuten. Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte (1∣1)(1 \mid 1) und (3∣9)(3 \mid 9).

    Die Sekante steigt also mit m=4m = 4: Auf zwei Schritte nach rechts kommen acht Einheiten nach oben.

    Inhaltlich: Auf dem Abschnitt von 11 bis 33 wächst die Parabel im Mittel um 44 Einheiten pro Schritt.

  6. 6

    Der wichtige Zusatz: „im Mittel" heißt nicht „überall". Die Parabel ist gekrümmt, bei x=1x = 1 steigt sie flacher, bei x=3x = 3 steiler als mit 44.

    Rechne zur Probe die Rate auf einem kleineren Intervall: Auf [1; 2][1;\,2] ergibt sich 4−11=3\frac{4-1}{1} = 3, auf [2; 3][2;\,3] dagegen 9−41=5\frac{9-4}{1} = 5. Der Wert 44 ist genau der Durchschnitt aus beiden, er glättet die Unterschiede.

Die mittlere Änderungsrate beträgt m=4m = 4; sie ist die der Sekante durch (1∣1)(1 \mid 1) und (3∣9)(3 \mid 9).

Merke: Der Differenzenquotient beschreibt immer nur den über ein Intervall. Was dazwischen passiert, sieht er nicht, dafür braucht es die .

Durchschnittsgeschwindigkeit

Ein Ball fällt; sein Fallweg ist s(t)=5t2s(t) = 5t^2 (Meter, Sekunden). Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit a) in den ersten 22 Sekunden und b) zwischen t=1t = 1 und t=2t = 2.

  1. 1

    Was ist eine Durchschnittsgeschwindigkeit? Zurückgelegter Weg geteilt durch benötigte Zeit, also genau der Differenzenquotient der Weg-Zeit-Funktion:

    vˉ=s(t2)−s(t1)t2−t1\bar{v} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}

    Die Aufgabe verlangt denselben Rechenweg zweimal, aber auf verschiedenen Intervallen. Genau darin liegt die Pointe.

  2. 2

    a) Die ersten 22 Sekunden, das Intervall ist [0; 2][0;\,2].

    Zuerst die beiden Wegwerte:

    s(0)=5⋅02=0s(2)=5⋅22=5⋅4=20s(0) = 5 \cdot 0^2 = 0 \qquad\qquad s(2) = 5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20

    Der Ball ist in diesen zwei Sekunden also 20 m20\,\text{m} gefallen.

  3. 3

    a) Einsetzen.

    vˉ=20−02−0=202=10\bar{v} = \frac{20 - 0}{2 - 0} = \frac{20}{2} = 10

    Einheit: Meter geteilt durch Sekunden, also 10 ms10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Die Einheit ergibt sich unmittelbar aus dem : Weg oben, Zeit unten.

  4. 4

    b) Zwischen t=1t = 1 und t=2t = 2, jetzt das Intervall [1; 2][1;\,2].

    s(1)=5⋅1=5s(2)=20s(1) = 5 \cdot 1 = 5 \qquad\qquad s(2) = 20 vˉ=20−52−1=151=15 ms\bar{v} = \frac{20 - 5}{2 - 1} = \frac{15}{1} = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}
  5. 5

    Die beiden Ergebnisse vergleichen, darum geht es eigentlich.

    erste 2 Sekunden: 10 mszweite Sekunde allein: 15 ms\text{erste 2 Sekunden: } 10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \qquad\qquad \text{zweite Sekunde allein: } 15\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}

    In der zweiten Sekunde ist der Ball im Mittel deutlich schneller. Das muss so sein: Er beschleunigt ja beim Fallen, wird also immer schneller.

    Die Lehre daraus: Ein und dieselbe Bewegung hat je nach betrachtetem Zeitraum verschiedene Durchschnittsgeschwindigkeiten. Deshalb muss in Aufgaben immer dazustehen, auf welchem Intervall gemessen wird.

  6. 6

    Und was wäre die Geschwindigkeit genau bei t=2t = 2? Das beantwortet keiner der beiden Werte. Um sie zu bestimmen, müsste man das Intervall immer weiter schrumpfen lassen, und genau das führt im nächsten Kapitel zur .

    Zur Orientierung: Der momentane Wert bei t=2t = 2 läge bei 20 ms20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, also nochmals höher als jeder davor.

a) 10 ms10\,\frac{\text{m}}{\text{s}} · b) 15 ms15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Verschiedene Intervalle liefern verschiedene Durchschnitte, ein Durchschnittswert allein sagt nie, wie schnell der Ball zu einem bestimmten Zeitpunkt war.

Änderungsrate aus Daten

Eine Sonnenblume ist am Tag 1010 genau 40 cm40\,\text{cm} hoch, am Tag 2424 dann 96 cm96\,\text{cm}. Bestimme die mittlere Wachstumsrate, mit Einheit und Antwortsatz.

  1. 1

    Angaben sortieren. Hier ist keine Funktionsgleichung gegeben, sondern nur zwei Messwerte. Das genügt für die mittlere Änderungsrate völlig. Sie braucht ja nur Anfang und Ende.

    ZeitpunktHöhe
    AnfangTag 101040 cm40\,\text{cm}
    EndeTag 242496 cm96\,\text{cm}
  2. 2

    Die beiden Änderungen einzeln bestimmen. Das macht den Bruch übersichtlicher:

    Ho¨henzunahme=96−40=56 cm\text{Höhenzunahme} = 96 - 40 = 56\,\text{cm} verstrichene Zeit=24−10=14 Tage\text{verstrichene Zeit} = 24 - 10 = 14\,\text{Tage}

    Beachte: Es sind 1414 Tage, nicht 2424. Gezählt wird nur die Spanne zwischen den Messungen.

  3. 3

    Den Differenzenquotienten bilden.

    mittlere Wachstumsrate=56 cm14 Tage=4\text{mittlere Wachstumsrate} = \frac{56\,\text{cm}}{14\,\text{Tage}} = 4
  4. 4

    Die Einheit bestimmen. Sie gehört zwingend dazu. Oben stehen Zentimeter, unten Tage:

    4 cmTag4\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}

    Ohne Einheit wäre „44" nichtssagend. Die Einheit sagt zugleich, was die Zahl bedeutet: Zentimeter pro Tag.

  5. 5

    Antwortsatz formulieren, mit Zeitraum, Wert und Einheit:

    Zwischen Tag 1010 und Tag 2424 ist die Sonnenblume im um 4 cm4\,\text{cm} pro Tag gewachsen.

    Warum „im Durchschnitt" nicht weggelassen werden darf: Die Pflanze ist mit ziemlicher Sicherheit nicht jeden Tag exakt 4 cm4\,\text{cm} gewachsen, an manchen Tagen mehr, an anderen weniger. Die Rate glättet das nur.

Die mittlere Wachstumsrate beträgt 4 cmTag4\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}.

Für alle Sachaufgaben dieses Typs: Änderung der Größe durch Änderung der Zeit, und die Einheit ergibt sich automatisch aus dem („Größe pro Zeiteinheit").

Typischer Fehler

„ff hat auf [0;4][0; 4] die mittlere Änderungsrate 0, also war die Funktion dort konstant."

Der verschluckt das Auf und Ab! f(x)=(x−2)2f(x) = (x-2)^2 auf [0;4][0;4]: f(0)=f(4)=4f(0) = f(4) = 4 → Rate 0, obwohl der Graph erst kräftig fällt und dann steigt. Die mittlere Änderungsrate vergleicht nur Anfang und Ende, was dazwischen passiert, sieht sie nicht. (Genau deshalb braucht es später die momentane Rate!)

Übung 1

leicht

Berechne die mittlere Änderungsrate: a) f(x)=x2f(x) = x^2 auf [0;5][0; 5] b) f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 auf [2;7][2; 7]

Tipp anzeigen

b) Was fällt bei auf?

Lösung anzeigen

a) 25−05−0=5\frac{25 - 0}{5 - 0} = 5

b) 22−77−2=155=3\frac{22 - 7}{7 - 2} = \frac{15}{5} = 3, bei linearen Funktionen ist die mittlere Rate auf jedem Intervall gleich dem Anstieg mm!

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Der Differenzenquotient

    Mittlere Änderungsrate =f(b)−f(a)b−a= \frac{f(b) - f(a)}{b - a}: Für f(x)=x2f(x) = x^2 auf [0;5][0;5]: 25−05−0=5\frac{25 - 0}{5 - 0} = 5.

  2. 2

    b) Lineare Funktion als Spezialfall

    f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 auf [2;7][2;7]: f(7)−f(2)7−2=22−75=3\frac{f(7) - f(2)}{7 - 2} = \frac{22 - 7}{5} = 3.

    22−77−2=3\frac{22 - 7}{7 - 2} = 3

  3. 3

    Vergleich der beiden Fälle

    Bei x2x^2 hängt die mittlere Rate vom Intervall ab (auf [0;1][0;1] wäre sie 11, auf [0;5][0;5] ist sie 55); bei 3x+13x+1 ist sie überall 33.

Übung 2

mittel

Die Besucherzahl eines Freibads: B(t)=−10t2+200tB(t) = -10t^2 + 200t (t = Stunden nach Öffnung). Berechne die mittlere Änderungsrate auf [2;5][2; 5] und auf [8;10][8; 10] und interpretiere beide.

Tipp anzeigen

B(2)=360B(2) = 360, B(5)=750B(5) = 750, B(8)=960B(8) = 960, B(10)=1000B(10) = 1000.

Lösung anzeigen

[2;5][2;5]: 750−3603=130\frac{750 - 360}{3} = 130, im Schnitt 130 Besucher mehr pro Stunde (Ansturm am Vormittag).

[8;10][8;10]: 1000−9602=20\frac{1000 - 960}{2} = 20, nur noch 20 pro Stunde: Das Bad füllt sich kaum noch.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Funktionswerte an den Intervallgrenzen

    B(2)=−40+400=360B(2) = -40 + 400 = 360, B(5)=−250+1000=750B(5) = -250 + 1000 = 750, B(8)=−640+1600=960B(8) = -640 + 1600 = 960, B(10)=−1000+2000=1000B(10) = -1000 + 2000 = 1000 Besucher.

    B(t)=−10t2+200tB(t) = -10t^2 + 200t

  2. 2

    Beide Änderungsraten berechnen

    [2;5][2;5]: 750−3605−2=3903=130\frac{750 - 360}{5 - 2} = \frac{390}{3} = 130 Besucher/Stunde. [8;10][8;10]: 1000−96010−8=402=20\frac{1000 - 960}{10 - 8} = \frac{40}{2} = 20 Besucher/Stunde.

    3903=130,402=20\frac{390}{3} = 130, \quad \frac{40}{2} = 20

    Zwischenergebnis

    130130 bzw. 2020 Besucher/h

  3. 3

    Interpretieren im Sachkontext

    Vormittags ([2;5][2;5]) strömen im Schnitt 130130 Menschen pro Stunde zusätzlich ins Bad, der Ansturm. Gegen Ende ([8;10][8;10]) sind es nur noch 2020 pro Stunde: Das Bad füllt sich kaum noch.

Übung 3

schwer

Für f(x)=x2f(x) = x^2: a) Berechne die mittlere Änderungsrate auf [2;3][2; 3], [2;2,5][2; 2{,}5] und [2;2,1][2; 2{,}1]. b) Was vermutest du für die momentane Änderungsrate an der Stelle 2?

Tipp anzeigen

Die Intervalle schrumpfen auf die 2 zu …

Lösung anzeigen

a) [2;3][2;3]: 9−41=5\frac{9-4}{1} = 5 · [2;2,5][2;2{,}5]: 6,25−40,5=4,5\frac{6{,}25-4}{0{,}5} = 4{,}5 · [2;2,1][2;2{,}1]: 4,41−40,1=4,1\frac{4{,}41-4}{0{,}1} = 4{,}1

b) Die Werte streben gegen 4, die momentane Änderungsrate bei x=2x = 2 ist vermutlich 4. (Tatsächlich: f′(2)=2⋅2=4f'(2) = 2 \cdot 2 = 4, willkommen bei der !)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Drei Sekantensteigungen berechnen

    [2;3][2;3]: 9−41=5\frac{9-4}{1} = 5 · [2;2,5][2;2{,}5]: 6,25−40,5=4,5\frac{6{,}25-4}{0{,}5} = 4{,}5 · [2;2,1][2;2{,}1]: 4,41−40,1=4,1\frac{4{,}41-4}{0{,}1} = 4{,}1.

    4,41−40,1=4,1\frac{4{,}41 - 4}{0{,}1} = 4{,}1

  2. 2

    b) Das Muster ablesen

    5→4,5→4,15 \to 4{,}5 \to 4{,}1: Je kürzer das Intervall, desto näher rücken die Werte an 44. Vermutung: Die momentane Änderungsrate bei x=2x = 2 ist 44.

  3. 3

    Der Ausblick: Das ist die Ableitung

    Geometrisch werden die Sekanten zur an der Stelle 22; ihr Grenzwert 44 heißt Ableitung: f′(2)=4f'(2) = 4 und die Potenzregel bestätigt: f′(x)=2xf'(x) = 2x, also f′(2)=4f'(2) = 4 ✓.

Zusammenfassung

Die mittlere Änderungsrate f(b)−f(a)b−a\frac{f(b)-f(a)}{b-a} misst die Durchschnittsänderung, geometrisch der Anstieg der Sekante, im Sachkontext Durchschnittsgeschwindigkeit oder -wachstum (Einheit!). Sie sieht nur Anfang und Ende des Intervalls. Lässt man das Intervall schrumpfen, entsteht die momentane Rate, der Auftritt der .