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Mechanik

Die gleichförmige Kreisbewegung

Umlaufzeit, Drehzahl, Bahn- und Winkelgeschwindigkeit, und warum eine Kreisbewegung trotz konstanter Schnelligkeit beschleunigt ist.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Karussell dreht sich gleichmäßig. Der Tacho eines Pferdchens würde eine unveränderliche Zahl anzeigen. Trotzdem sagt die Physik: Diese Bewegung ist .

Das klingt widersprüchlich und ist doch zwingend. Denn ist eine gerichtete Größe, und auf einer Kreisbahn ändert sich die Richtung ständig. Eine Richtungsänderung ist eine Änderung der Geschwindigkeit, und eine Änderung der Geschwindigkeit heißt Beschleunigung. Diese Einsicht ist der Schlüssel zu allem, was von Kurvenfahrten bis zu Planetenbahnen reicht.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Umlaufzeit und Drehzahl definieren und umrechnen.

  • die Bahngeschwindigkeit berechnen.

  • die Winkelgeschwindigkeit als Größe charakterisieren.

  • den Zusammenhang v=ω⋅rv = \omega \cdot r begründen und anwenden.

  • erklären, warum die Kreisbewegung trotz konstanter Schnelligkeit ist.

  • Kreisbewegungen im Alltag beschreiben (Rad, Karussell, Erde, Zahnräder).

Was gleichförmige Kreisbewegung heißt

Ein Körper bewegt sich gleichförmig auf einer Kreisbahn, wenn er in gleichen Zeiten gleiche Bogenstücke zurücklegt. Der Betrag seiner bleibt also konstant, ihre Richtung ändert sich fortwährend.

Die Geschwindigkeit zeigt dabei in jedem Punkt tangential, also längs der Bahn. Genau deshalb fliegt ein Körper, dessen Halterung reißt, geradeaus tangential weiter und nicht nach außen weg. Schleuderfunken an einem Schleifstein zeigen das sichtbar.

Umlaufzeit und Drehzahl

Die Umlaufzeit TT ist die Zeit für einen vollständigen Umlauf. Einheit: Sekunde.

Die Drehzahl nn (auch ff) gibt an, wie viele Umläufe je Zeiteinheit stattfinden:

n=1Tn = \frac{1}{T}

Einheit: 1s=Hz\frac{1}{\text{s}} = \text{Hz}, in der Technik oft 1min\frac{1}{\text{min}} (Umdrehungen pro Minute, „U/min").

🔴 Umrechnung nicht vergessen: 3000 1min=300060 1s=50 1s3000\,\frac{1}{\text{min}} = \frac{3000}{60}\,\frac{1}{\text{s}} = 50\,\frac{1}{\text{s}}.

Die Bahngeschwindigkeit

Bei einem Umlauf legt der Körper den Kreisumfang 2πr2\pi r zurück, und zwar in der Zeit TT:

v=2πrT=2πr⋅n\boxed{v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r \cdot n}

Das ist nichts Neues, sondern die alte Formel v=stv = \frac{s}{t}, angewendet auf einen ganzen Umlauf.

🔴 Die Bahngeschwindigkeit hängt vom Radius ab. Auf einem Karussell ist außen deutlich schneller als innen, obwohl beide Plätze dieselbe Umlaufzeit haben. Wer außen sitzt, legt in derselben Zeit einen längeren Weg zurück.

Ein Umlauf, vier GrößenMr = 0,50 mφvUmlaufzeit T = 2,0 sDrehzahl n = 1 / T = 0,5 1/sv = 2 · π · r / T = 1,57 m/sω = 2 · π / T = 3,14 1/sDer v-Pfeil liegt an der Bahn an, nie zum Mittelpunkt

Vier Größen an einem Bild. Der wichtigste Punkt steht unten: Der Geschwindigkeitspfeil liegt an der Bahn an (tangential), er zeigt niemals zum Mittelpunkt. v misst den Weg auf der Bahn, ω den überstrichenen Winkel.

Die Winkelgeschwindigkeit

Um vom Radius unabhängig zu werden, misst man nicht den Weg je Zeit, sondern den Winkel je Zeit. Das ist die Winkelgeschwindigkeit ω\omega (griechisch „omega"):

ω=φt\omega = \frac{\varphi}{t}

Bei einem vollen Umlauf wird der Winkel 2π2\pi (im Bogenmaß) in der Zeit TT durchlaufen:

ω=2πT=2πn\boxed{\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi n}

Einheit: 1s\frac{1}{\text{s}} (gesprochen „Radiant pro Sekunde").

Der Zusammenhang beider Größen ergibt sich durch Vergleich:

v=2πrT=2πT⏟ω⋅r⟹v=ω⋅rv = \frac{2\pi r}{T} = \underbrace{\frac{2\pi}{T}}_{\omega} \cdot r \quad \Longrightarrow \quad \boxed{v = \omega \cdot r}

Das ist die wichtigste Gleichung des Kapitels. In Worten: Alle Punkte eines starren Körpers haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit, aber verschiedene Bahngeschwindigkeiten.

Beispiel Uhrzeiger: Jeder Punkt des Minutenzeigers braucht 60 min60\,\text{min} für einen Umlauf, hat also dasselbe ω\omega. Die Spitze bewegt sich aber viel schneller als ein Punkt nahe der Achse.

Warum die Kreisbewegung beschleunigt ist

Jetzt zur Eingangsfrage. Die ist eine gerichtete Größe. Sie ändert sich also nicht nur, wenn ein Körper schneller oder langsamer wird, sondern auch, wenn er die Richtung wechselt.

Auf einer Kreisbahn ändert sich die Richtung in jedem Augenblick. Also ändert sich die Geschwindigkeit, also liegt eine vor, obwohl der Betrag konstant bleibt.

Diese Beschleunigung zeigt stets zum Mittelpunkt und heißt Radialbeschleunigung (oder Zentripetalbeschleunigung). Und weil zu jeder Beschleunigung nach Newton eine gehört, braucht jede Kreisbewegung eine zum Mittelpunkt gerichtete Kraft, die .

🔴 Woher diese Kraft im Einzelfall kommt, ist Sache der Situation: beim Auto die der Reifen, beim Karussell die Stange, beim Mond die , beim Elektron im Atom die elektrische Anziehung. Die Radialkraft ist keine neue Kraftart, sondern die Rolle, die eine vorhandene Kraft übernimmt.

Berechnet wird sie im nächsten Kapitel.

Gleiches Tempo, ständig andere Richtungv: tangential, immer gleich langF(r): immer zum MittelpunktRichtungsänderung ist auch Beschleunigung

Alle vier Geschwindigkeitspfeile sind gleich lang und zeigen trotzdem in vier verschiedene Richtungen. Weil Betrag UND Richtung ist, liegt hier eine vor, und die zugehörige zeigt an jeder Stelle zum Mittelpunkt.

Anwendungen und Merkwerte

BewegungUmlaufzeit
Sekundenzeiger60 s60\,\text{s}
Minutenzeiger3600 s3600\,\text{s}
Stundenzeiger43200 s43200\,\text{s} (12 h12\,\text{h})
Erdrotation24 h24\,\text{h}
Erde um die Sonne365,25 d365{,}25\,\text{d}
Mond um die Erde27,3 d27{,}3\,\text{d}

Zahnräder und Riemenantriebe. Zwei kämmende Zahnräder haben am Berührpunkt dieselbe Bahngeschwindigkeit, aber verschiedene Winkelgeschwindigkeiten: Das kleinere dreht sich schneller. Beim Fahrrad nutzt man genau das, um und Drehzahl zu tauschen, wie bei jeder kraftumformenden Einrichtung.

Karussell: innen und außen

Ein Karussell dreht sich mit 66 Umdrehungen pro Minute. Ein Kind sitzt bei r1=2 mr_1 = 2\,\text{m}, ein anderes bei r2=5 mr_2 = 5\,\text{m}.

a) Berechne Umlaufzeit und Winkelgeschwindigkeit.

b) Berechne beide Bahngeschwindigkeiten.

c) Warum ist ω\omega für beide gleich, vv aber nicht?

  1. 1

    a) Drehzahl in 1s\frac{1}{\text{s}} umrechnen:

    n=6 1min=660 1s=0,1 1sn = 6\,\frac{1}{\text{min}} = \frac{6}{60}\,\frac{1}{\text{s}} = 0{,}1\,\frac{1}{\text{s}}

    Umlaufzeit:

    T=1n=10,1 1s=10 sT = \frac{1}{n} = \frac{1}{0{,}1\,\frac{1}{\text{s}}} = 10\,\text{s}

    Ein Umlauf dauert also zehn Sekunden, was für ein Karussell plausibel ist.

  2. 2

    Winkelgeschwindigkeit:

    ω=2πT=2π10 s≈0,628 1s\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{10\,\text{s}} \approx 0{,}628\,\frac{1}{\text{s}}
  3. 3

    b) Bahngeschwindigkeiten über v=ω⋅rv = \omega \cdot r:

    v1=0,628 1s⋅2 m≈1,26 msv_1 = 0{,}628\,\frac{1}{\text{s}} \cdot 2\,\text{m} \approx 1{,}26\,\frac{\text{m}}{\text{s}} v2=0,628 1s⋅5 m≈3,14 msv_2 = 0{,}628\,\frac{1}{\text{s}} \cdot 5\,\text{m} \approx 3{,}14\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Kontrolle über den Umfang: v2=2π⋅5 m10 s=31,410=3,14 msv_2 = \frac{2\pi \cdot 5\,\text{m}}{10\,\text{s}} = \frac{31{,}4}{10} = 3{,}14\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Passt.

  4. 4

    c) Gleiches ω\omega: Beide Kinder sitzen auf demselben starren Karussell und brauchen deshalb für einen Umlauf dieselbe Zeit. Da ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T} nur von TT abhängt, ist die Winkelgeschwindigkeit gleich.

    Verschiedenes vv: In derselben Zeit legt das äußere Kind einen längeren Weg zurück, nämlich den größeren Kreisumfang. Der Umfang wächst mit dem Radius, deshalb wächst auch vv.

    Das Verhältnis entspricht genau dem Radienverhältnis:

    v2v1=5 m2 m=2,5und3,141,26≈2,5\frac{v_2}{v_1} = \frac{5\,\text{m}}{2\,\text{m}} = 2{,}5 \qquad \text{und} \qquad \frac{3{,}14}{1{,}26} \approx 2{,}5

    Praktische Folge: Außen ist es aufregender, weil man schneller unterwegs ist und (wie das nächste Kapitel zeigt) eine größere spürt.

T=10 sT = 10\,\text{s}, ω≈0,628 1s\omega \approx 0{,}628\,\frac{1}{\text{s}} für beide; v1≈1,26 msv_1 \approx 1{,}26\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, v2≈3,14 msv_2 \approx 3{,}14\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Gleiche Winkelgeschwindigkeit, verschiedene Bahngeschwindigkeit.

Fahrrad und Zahnräder

Ein Fahrrad hat Räder mit r=35 cmr = 35\,\text{cm}. Es fährt mit 18 kmh18\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Rades?

b) Wie viele Umdrehungen macht das Rad pro Minute?

c) Das Kettenblatt hat 4444 Zähne, das Ritzel 1616. Wie oft dreht sich das Hinterrad je Kurbelumdrehung?

d) Wie oft muss man dann pro Minute treten?

  1. 1

    a) umrechnen und v=ωrv = \omega r nach ω\omega auflösen:

    v=18 kmh=5 ms,r=0,35 mv = 18\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, \qquad r = 0{,}35\,\text{m} ω=vr=5 ms0,35 m≈14,3 1s\omega = \frac{v}{r} = \frac{5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{0{,}35\,\text{m}} \approx 14{,}3\,\frac{1}{\text{s}}
  2. 2

    b) Über die Umlaufzeit gehen:

    T=2πω=6,28314,3 1s≈0,44 sT = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{6{,}283}{14{,}3\,\frac{1}{\text{s}}} \approx 0{,}44\,\text{s} n=1T≈2,27 1s=2,27⋅60≈136 1minn = \frac{1}{T} \approx 2{,}27\,\frac{1}{\text{s}} = 2{,}27 \cdot 60 \approx 136\,\frac{1}{\text{min}}

    Das Rad dreht sich also rund 136136-mal pro Minute.

  3. 3

    c) Zahnräder: Am Berührpunkt der Kette ist die Bahngeschwindigkeit gleich. Deshalb verhalten sich die Drehzahlen umgekehrt wie die Zähnezahlen:

    nhintennvorn=ZvornZhinten=4416=2,75\frac{n_{\text{hinten}}}{n_{\text{vorn}}} = \frac{Z_{\text{vorn}}}{Z_{\text{hinten}}} = \frac{44}{16} = 2{,}75

    Eine Kurbelumdrehung dreht das Hinterrad also 2,752{,}75-mal.

  4. 4

    d) Trittfrequenz berechnen:

    nKurbel=nRad2,75=1362,75≈49 1minn_{\text{Kurbel}} = \frac{n_{\text{Rad}}}{2{,}75} = \frac{136}{2{,}75} \approx 49\,\frac{1}{\text{min}}

    Rund 4949 Kurbelumdrehungen pro Minute. Das ist für geübte Radfahrer eher langsam (üblich sind 7070 bis 9090), passt aber zu einem schweren Gang bei gemächlichem Tempo.

    Der Zusammenhang zur Goldenen Regel: Ein großes Kettenblatt und ein kleines Ritzel bedeuten wenige Kurbelumdrehungen, aber mehr am Pedal. Ein kleiner Gang dreht sich schneller und braucht weniger Kraft. Genau derselbe Tausch wie beim Hebel.

a) ω≈14,3 1s\omega \approx 14{,}3\,\frac{1}{\text{s}} b) rund 136 1min136\,\frac{1}{\text{min}} c) 2,752{,}75 Radumdrehungen je Kurbelumdrehung d) etwa 4949 Tritte pro Minute.

Typischer Fehler

„Bei gleichbleibender auf der Kreisbahn ist die Bewegung nicht ."

Doch, und zwar dauernd. Der Fehler steckt im Wort „Geschwindigkeit".

Die Geschwindigkeit ist eine gerichtete Größe. Sie ist erst dann unverändert, wenn Betrag und Richtung gleich bleiben. Auf einer Kreisbahn bleibt zwar der Betrag konstant, die Richtung dreht sich aber in jedem Augenblick.

Eine sich ändernde Geschwindigkeit bedeutet nach der Definition a=ΔvΔta = \frac{\Delta v}{\Delta t} eine Beschleunigung. Also ist jede Kreisbewegung beschleunigt, auch die gleichförmige.

Der Nachweis ist alltäglich: In der Kurve wird man zur Seite gedrückt, obwohl der Tacho eine konstante Zahl zeigt. Ohne Beschleunigung gäbe es keine und damit auch kein Gefühl. Ein Wasserglas auf dem Armaturenbrett schwappt in der Kurve über, ohne dass der Fahrer schneller oder langsamer wird.

Die richtige Sprachregelung:

  • Der Betrag der Geschwindigkeit ist konstant (die „Schnelligkeit").
  • Die Geschwindigkeit ist nicht konstant, weil ihre Richtung wechselt.
  • Deshalb ist die Bewegung beschleunigt, und die Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt.

🔴 Und die Beschleunigung zeigt nicht nach außen. Was man in der Kurve nach außen spürt, ist die Trägheit des eigenen Körpers, der geradeaus weiterwill. Die tatsächlich wirkende Kraft (Gurt, Sitz, Reifen) zieht nach innen. Dazu mehr im nächsten Kapitel.

Übung 1

leicht

Eine Scheibe dreht sich mit 120120 Umdrehungen pro Minute. Ein Punkt liegt bei r=0,25 mr = 0{,}25\,\text{m}.

a) Berechne Drehzahl in 1s\frac{1}{\text{s}} und Umlaufzeit.

b) Berechne die Winkelgeschwindigkeit.

c) Berechne die Bahngeschwindigkeit.

Tipp anzeigen

a) Durch 6060 teilen.

Lösung anzeigen

a) n=12060 1s=2 1sT=1n=0,5 sn = \frac{120}{60}\,\frac{1}{\text{s}} = 2\,\frac{1}{\text{s}} \qquad T = \frac{1}{n} = 0{,}5\,\text{s}

b) ω=2πT=6,2830,5 s≈12,6 1s\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{6{,}283}{0{,}5\,\text{s}} \approx 12{,}6\,\frac{1}{\text{s}}

c) v=ω⋅r=12,6 1s⋅0,25 m≈3,14 msv = \omega \cdot r = 12{,}6\,\frac{1}{\text{s}} \cdot 0{,}25\,\text{m} \approx 3{,}14\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Kontrolle über den Umfang: v=2π⋅0,25 m0,5 s=1,5710,5≈3,14 msv = \frac{2\pi \cdot 0{,}25\,\text{m}}{0{,}5\,\text{s}} = \frac{1{,}571}{0{,}5} \approx 3{,}14\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Passt.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht an der rotierenden Scheibe

    Gegeben: 120120 Umdrehungen je Minute und r=0,25 mr = 0{,}25\,\text{m}. Gesucht: a) Drehzahl in 1s\frac{1}{\text{s}} und Umlaufzeit, b) die Winkelgeschwindigkeit, c) die Bahngeschwindigkeit.

  2. 2

    a) Von Umdrehungen je Minute auf Umdrehungen je Sekunde

    Eine Minute hat 6060 Sekunden, also wird durch 6060 geteilt: n=12060 1s=2 1sn = \frac{120}{60}\,\frac{1}{\text{s}} = 2\,\frac{1}{\text{s}}. Die Umlaufzeit ist der Kehrwert: T=1n=0,5 sT = \frac{1}{n} = 0{,}5\,\text{s}.

    n=12060 1s=2 1sn = \frac{120}{60}\,\frac{1}{\text{s}} = 2\,\frac{1}{\text{s}}; T=12 1s=0,5 sT = \frac{1}{2\,\frac{1}{\text{s}}} = 0{,}5\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    n=2 1sn = 2\,\frac{1}{\text{s}}, T=0,5 sT = 0{,}5\,\text{s}

  3. 3

    Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit

    Ein voller Umlauf entspricht dem Winkel 2π2\pi, also ist ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T}. Und weil der Punkt dabei den Umfang 2πr2\pi r zurücklegt, gilt v=ω⋅rv = \omega \cdot r.

  4. 4

    b) und c) Winkel- und Bahngeschwindigkeit berechnen

    Erst ω\omega aus der Umlaufzeit, dann vv mit dem Radius.

    ω=2π0,5 s≈12,6 1s\omega = \frac{2\pi}{0{,}5\,\text{s}} \approx 12{,}6\,\frac{1}{\text{s}}; v=12,6 1s⋅0,25 m≈3,14 msv = 12{,}6\,\frac{1}{\text{s}} \cdot 0{,}25\,\text{m} \approx 3{,}14\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    ω≈12,6 1s\omega \approx 12{,}6\,\frac{1}{\text{s}}, v≈3,14 msv \approx 3{,}14\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

  5. 5

    Ergebnisse deuten: vier Größen, eine Drehung

    120120 Umdrehungen je Minute, 22 je Sekunde, eine halbe Sekunde Umlaufzeit, 12,6 1s12{,}6\,\frac{1}{\text{s}} Winkelgeschwindigkeit und 3,14 ms3{,}14\,\frac{\text{m}}{\text{s}} am Radius 0,25 m0{,}25\,\text{m}, alles beschreibt dieselbe Bewegung.

Übung 2

mittel

Die Erde hat am Äquator einen Radius von rund 6370 km6370\,\text{km} und dreht sich einmal in 24 h24\,\text{h}.

a) Berechne die Bahngeschwindigkeit eines Punktes am Äquator in kmh\frac{\text{km}}{\text{h}}.

b) Berechne die Winkelgeschwindigkeit.

c) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit in Erfurt (geografische Breite rund 51°51°, Bahnradius etwa 4010 km4010\,\text{km})?

d) Warum merken wir von dieser Bewegung nichts?

Tipp anzeigen

c) ω\omega ist überall auf der Erde gleich.

Lösung anzeigen

a) v=2πrT=2π⋅6370 km24 h≈40024 km24 h≈1668 kmhv = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \cdot 6370\,\text{km}}{24\,\text{h}} \approx \frac{40024\,\text{km}}{24\,\text{h}} \approx 1668\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

Ein Punkt am Äquator bewegt sich also mit über 1600 kmh1600\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, schneller als ein Verkehrsflugzeug.

b) T=24 h=86400 sT = 24\,\text{h} = 86400\,\text{s}

ω=2πT=6,28386400 s≈7,27⋅10−5 1s\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{6{,}283}{86400\,\text{s}} \approx 7{,}27 \cdot 10^{-5}\,\frac{1}{\text{s}}

c) ω\omega ist für die ganze Erde gleich (starrer Körper), nur der Bahnradius ist kleiner:

v=2π⋅4010 km24 h≈1050 kmhv = \frac{2\pi \cdot 4010\,\text{km}}{24\,\text{h}} \approx 1050\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

Nach Norden hin nimmt die Bahngeschwindigkeit also ab, an den Polen ist sie null.

d) Aus zwei Gründen:

  1. Die Bewegung ist praktisch gleichförmig. Wir spüren keine , sondern nur Änderungen davon. Genau wie im gleichmäßig fahrenden Zug merkt man nichts, solange nicht gebremst oder gelenkt wird.
  2. Alles bewegt sich mit. Luft, Gebäude, Meere und wir selbst haben dieselbe Geschwindigkeit; es gibt keinen Bezugskörper in der Nähe, gegenüber dem eine Bewegung sichtbar würde.

Die zugehörige Radialbeschleunigung ist zudem winzig: rund 0,034 ms20{,}034\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} am Äquator, also etwa ein Dreihundertstel von gg. Sie ist messbar (das Gewicht ist am Äquator geringfügig kleiner als am Pol), aber nicht spürbar.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Erddrehung

    Gegeben: Äquatorradius rund 6370 km6370\,\text{km}, Umlaufzeit 24 h24\,\text{h}; in c) der Bahnradius 4010 km4010\,\text{km} für Erfurt. Gesucht: Bahngeschwindigkeiten, die Winkelgeschwindigkeit und eine Erklärung.

  2. 2

    Bahngeschwindigkeit als Umfang je Umlaufzeit

    In einer Umlaufzeit wird der ganze Umfang zurückgelegt, also v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T}. Die Winkelgeschwindigkeit ist davon unabhängig: ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T}.

  3. 3

    a) und c) Zwei Bahngeschwindigkeiten in Kilometern je Stunde

    Umfang durch Umlaufzeit, einmal mit dem Äquatorradius, einmal mit dem Erfurter Bahnradius. Weil Kilometer und Stunden zueinander passen, kommt das Ergebnis direkt in kmh\frac{\text{km}}{\text{h}} heraus.

    v=2π⋅6370 km24 h≈1668 kmhv = \frac{2\pi \cdot 6370\,\text{km}}{24\,\text{h}} \approx 1668\,\frac{\text{km}}{\text{h}}; v=2π⋅4010 km24 h≈1050 kmhv = \frac{2\pi \cdot 4010\,\text{km}}{24\,\text{h}} \approx 1050\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

    Zwischenergebnis

    1668 kmh1668\,\frac{\text{km}}{\text{h}} bzw. 1050 kmh1050\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

  4. 4

    b) Die Umlaufzeit in Sekunden

    Die Winkelgeschwindigkeit wird in 1s\frac{1}{\text{s}} angegeben, deshalb muss TT in Sekunden stehen: 24 h=24⋅3600 s=86400 s24\,\text{h} = 24 \cdot 3600\,\text{s} = 86400\,\text{s}.

    T=24 h=24⋅3600 s=86400 sT = 24\,\text{h} = 24 \cdot 3600\,\text{s} = 86400\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    T=86400 sT = 86400\,\text{s}

  5. 5

    b) Die Winkelgeschwindigkeit der Erde

    Ein voller Winkel 2π2\pi verteilt auf 8640086400 Sekunden.

    ω=2π86400 s≈7,27⋅10−5 1s\omega = \frac{2\pi}{86400\,\text{s}} \approx 7{,}27 \cdot 10^{-5}\,\frac{1}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    ω≈7,27⋅10−5 1s\omega \approx 7{,}27 \cdot 10^{-5}\,\frac{1}{\text{s}}

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: warum wir von 1600 km/h nichts merken

    Erstens ist die Bewegung praktisch gleichförmig, wir spüren keine Geschwindigkeit, sondern nur Änderungen davon, genau wie im gleichmäßig fahrenden Zug. Zweitens bewegt sich alles mit: Luft, Gebäude, Meere und wir selbst; es gibt keinen nahen Bezugskörper, gegenüber dem eine Bewegung sichtbar würde.

Übung 3

schwer

a) Begründe ausführlich, warum eine gleichförmige Kreisbewegung ist.

b) In welche Richtung zeigt die , in welche die Beschleunigung?

c) Zwei kämmende Zahnräder haben 2020 und 6060 Zähne. Das kleine dreht sich mit 600 1min600\,\frac{1}{\text{min}}. Berechne die Drehzahl des großen und begründe.

d) Ein Schleifstein zerbricht bei hoher Drehzahl. In welche Richtung fliegen die Bruchstücke, und warum?

Tipp anzeigen

c) Am Berührpunkt ist die Bahngeschwindigkeit gleich.

Lösung anzeigen

a) Die Geschwindigkeit ist eine gerichtete Größe, sie hat Betrag und Richtung. Sie gilt nur dann als unverändert, wenn beides gleich bleibt.

Auf einer Kreisbahn bleibt der Betrag konstant, aber die Richtung dreht sich fortwährend: Nach einer Viertelumdrehung zeigt die Geschwindigkeit 90°90° anders als vorher.

Eine Änderung der Geschwindigkeit ist nach der Definition

a=ΔvΔta = \frac{\Delta v}{\Delta t}

eine Beschleunigung. Da sich die Richtung in jedem Augenblick ändert, ist die Bewegung dauerhaft beschleunigt, obwohl der Tacho eine konstante Zahl zeigt.

b) Die Geschwindigkeit zeigt tangential zur Bahn, also in Bewegungsrichtung.

Die Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt (radial nach innen). Sie ändert nicht den Betrag der Geschwindigkeit, sondern nur ihre Richtung; deshalb steht sie senkrecht auf ihr.

c) Am Berührpunkt greifen die Zähne ineinander, dort ist die Bahngeschwindigkeit gleich:

v1=v2⇒ω1r1=ω2r2v_1 = v_2 \quad \Rightarrow \quad \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2

Da die Zähnezahl proportional zum Umfang und damit zum Radius ist, gilt

n2n1=Z1Z2=2060=13\frac{n_2}{n_1} = \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} n2=6003 1min=200 1minn_2 = \frac{600}{3}\,\frac{1}{\text{min}} = 200\,\frac{1}{\text{min}}

Das große Rad dreht sich also dreimal langsamer.

Begründung anschaulich: Bei einer Umdrehung des kleinen Rades laufen 2020 Zähne durch den Eingriff. Das große Rad braucht dafür nur 2060\frac{20}{60} einer Umdrehung.

(Nebenbei: Was an Drehzahl verloren geht, wird an Drehmoment gewonnen. Auch das ist wieder die Goldene Regel.)

d) Die Bruchstücke fliegen tangential weg, also längs der Bahn in dem Punkt, an dem sie sich beim Bruch befanden. Nicht radial nach außen.

Grund: Solange der Stein zusammenhält, wird jedes Teilchen durch innere auf der Kreisbahn gehalten, es wirkt eine nach innen. Bricht der Stein, fällt diese Kraft schlagartig weg.

Ohne Kraft bewegt sich ein Körper geradlinig gleichförmig weiter (erstes newtonsches Gesetz, nächstes Kapitel). Er behält also genau die Geschwindigkeit, die er im Augenblick des Bruchs hatte, und die war tangential.

Praktische Folge: Deshalb steht man beim Schleifen niemals in der Ebene der Scheibe, sondern seitlich versetzt, und deshalb haben Trennschleifer eine Schutzhaube, die genau den tangentialen Bereich abdeckt. Dieselbe Beobachtung macht man an Schleiffunken und an Wassertropfen, die von einem sich drehenden Rad wegspritzen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, drei Begründungen und eine Rechnung

    a) und b) fragen nach Begründung und Richtungen, c) gibt zwei Zahnräder mit 2020 und 6060 Zähnen und 600 1min600\,\frac{1}{\text{min}} am kleinen Rad, d) fragt nach der Flugrichtung von Bruchstücken.

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    a) Warum eine gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt ist

    Die Geschwindigkeit ist eine gerichtete Größe. Sie hat Betrag und Richtung und gilt nur dann als unverändert, wenn beides gleich bleibt. Auf einer Kreisbahn bleibt der Betrag konstant, aber die Richtung dreht sich fortwährend.

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    b) Wohin Geschwindigkeit und Beschleunigung zeigen

    Die Geschwindigkeit zeigt tangential zur Bahn, also in Bewegungsrichtung. Die Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt. Sie ändert nicht den Betrag der Geschwindigkeit, sondern nur ihre Richtung, und steht deshalb senkrecht auf ihr.

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    c) Die Bedingung am Berührpunkt zweier Zahnräder

    Am Berührpunkt greifen die Zähne ineinander. Dort muss die Bahngeschwindigkeit beider Räder gleich sein, sonst würden die Zähne aneinander vorbeirutschen. Daraus folgt ω1r1=ω2r2\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2.

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    c) Die Drehzahl des großen Zahnrads

    Weil die Zähnezahl zum Umfang und damit zum Radius proportional ist, gilt n2n1=Z1Z2\frac{n_2}{n_1} = \frac{Z_1}{Z_2}, die Drehzahlen verhalten sich umgekehrt wie die Zähnezahlen.

    n2n1=Z1Z2=2060=13\frac{n_2}{n_1} = \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}; n2=6003 1min=200 1minn_2 = \frac{600}{3}\,\frac{1}{\text{min}} = 200\,\frac{1}{\text{min}}

    Zwischenergebnis

    n2=200 1minn_2 = 200\,\frac{1}{\text{min}}

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    d) Ergebnis deuten: Bruchstücke fliegen tangential

    Sie fliegen tangential weg, längs der Bahn in dem Punkt, an dem sie sich beim Bruch befanden, nicht radial nach außen. Solange der Stein zusammenhält, hält eine nach innen gerichtete Kraft jedes Teilchen auf der Kreisbahn; bricht er, fällt diese Kraft schlagartig weg.

Zusammenfassung

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bleibt der Betrag der konstant, ihre Richtung ändert sich jedoch fortwährend und zeigt stets tangential zur Bahn. Beschrieben wird die Bewegung durch die Umlaufzeit und die Drehzahl, aus denen sich Bahngeschwindigkeit v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T} und Winkelgeschwindigkeit ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T} ergeben; beide sind über v=ω⋅rv = \omega \cdot r verbunden. Alle Punkte eines starren Körpers haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit, aber verschiedene Bahngeschwindigkeiten, während bei Zahnrädern am Berührpunkt genau umgekehrt die Bahngeschwindigkeit übereinstimmt. Weil Geschwindigkeit eine gerichtete Größe ist, bedeutet die ständige Richtungsänderung eine , die zum Mittelpunkt zeigt. Sie verlangt eine ebenfalls nach innen gerichtete , die keine neue Kraftart ist, sondern von , Seil oder übernommen wird.