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Worum geht es?

Beim Mischen verschieden warmer Wassermengen fließt Wärme vom heißen zum kalten Anteil, bis beide dieselbe Mischtemperatur erreichen. Wo die liegt, regelt eine Bilanz: Die abgegebene Wärme des heißen Anteils gleicht der aufgenommenen des kalten. Daraus folgt die Richmannsche Mischungsregel : Die Mischtemperatur ist der mit den Massen gewichtete Mittelwert. Der Versuch prüft sie quantitativ, auch im bewusst „schiefen“ Fall ungleicher Mengen.

Warum macht man dieses Experiment?

Die Mischungsregel ist die erste echte Wärmebilanz des Unterrichts. Energie wird verbucht statt gefühlt, und dieses Denkmuster trägt direkt weiter zur Wärmekapazität, zur Schmelzwärme und zu jeder Kalorimetrie. Praktisch steckt die Regel im Duschmischer, im Abkühlen der Suppe mit kalter Milch und in jedem „Wie viel kaltes Wasser muss ich zugeben?“ des Alltags.

Die physikalische Idee

Abgemessene Wassermengen bekannter Temperaturen werden im gedämmten Gefäß gemischt; die gemessene Mischtemperatur wird gegen die Bilanz-Vorhersage gehalten. Drei Fälle: gleiche Mengen (Erwartung: arithmetische Mitte), doppelt kalt gegen einfach heiß (Erwartung: näher am Kalten), und die Umkehraufgabe: Zielwert 35 °C durch berechnete Zugabe treffen.

Benötigtes Vorwissen

Für dieses Experiment hilft dir dieses Vorwissen. Du kannst es jederzeit nachschlagen — das Experiment bleibt auch so verständlich.

Temperatur sauber messen (Fixpunkt-Check)
Wärme als übertragene Energie

Wissenschaftliche Einordnung

Georg Wilhelm Richmann formulierte die Mischungsregel um 1750 in St. Petersburg (und starb 1753 als erstes dokumentiertes Blitzexperiment-Opfer der Physikgeschichte). Seine Regel wurde zum Fundament der Kalorimetrie; Black bestimmte mit ihr wenig später die ersten Wärmekapazitäten.

Versuchsziel

Aktuelles Versuchsziel

Mischungsregel prüfen und anwenden

Prüfe die Mischungsregel in zwei Mengenverhältnissen und wende sie um: Triff eine Zieltemperatur durch berechnete Zugabe.

Gemessen

$T_{1}, T_{2}$ — Ausgangstemperaturen (in $^{\circ} C$ ) $Unmittelbar vor dem Mischen erfasst.$
$T_{m}$ — Mischtemperatur (in $^{\circ} C$ ) $Nach dem Durchmischen abgelesen, der Prüfwert gegen die Vorhersage.$

Bekannt

$m_{1}, m_{2}$ — Wassermengen (in $kg$ ) $Per Messzylinder abgemessen; sie sind die Gewichte der Mittelung.$

Der Weg von der Messung zum Ergebnis: $m_{1}, T_{1}, m_{2}, T_{2} ⟶ T_{m}^{Vorhersage} = ? T_{m}^{gemessen}$

Für diese Zielsetzung brauchst du:

$T_{m} = \frac{m _{1} T _{1} + m _{2} T _{2}}{m _{1} + m _{2}}$ $Die geprüfte Mischungsregel: gewichteter Mittelwert aus der Wärmebilanz.$ Zur Formelsammlung

1Aufgabenstellung

(a) 150 g bei 20 °C mit 150 g bei 60 °C mischen: Vorhersage und Messung. (b) 200 g bei 20 °C mit 100 g bei 80 °C. (c) Umkehraufgabe: 200 g bei 60 °C sollen durch kaltes Wasser (15 °C) auf genau 35 °C: Zugabemenge berechnen, mischen, prüfen.

2Vorbetrachtung

$Von der Bilanz zur Regel$

$Q = c\,m\,\Delta T$ $m_{2} c (T_{2} - T_{m}) = m_{1} c (T_{m} - T_{1})$
$T_m$ $T_{m} = \frac{m _{1} T _{1} + m _{2} T _{2}}{m _{1} + m _{2}}$
$40\ ^\circ\mathrm{C}$

3Geräte / Stoffe

Zügig arbeiten, denn zwischen Temperaturmessen und Mischen kühlt das heiße Wasser weiter ab. Nach dem Zusammengießen rühren und das Maximum-Plateau ablesen.

Kalorimeter
$Hält die Bilanz sauber, weil möglichst wenig Wärme an Gefäß und Umgebung verloren geht.$
Messzylinder
$Misst die Wassermengen, also die Gewichte der gewichteten Mittelung.$
Geprüftes Thermometer mit Rührstab
$Misst Ausgangs- und Mischtemperaturen im durchmischten Zustand.$

4Skizze des Versuchsaufbaus

Zwei beschriftete Ausgangsgefäße (m, T) und das Kalorimeter mit Thermometer; daneben die Bilanzwaage abgegeben = aufgenommen.

Die Mischungsregel im Bild: 3 kg kaltes und 1 kg heißes Wasser landen nicht in der Mitte, sondern massegewichtet näher beim Kalten. Die größere Menge „stimmt stärker ab“.

Aufbau: Kalorimeter (gedämmtes Mischgefäß), Messzylinder, Wasserkocher, kaltes Leitungswasser, geprüftes Thermometer (Fixpunkt-Check!), Rührstab.

5Durchführung

T_m

6Beobachtung

Vorhersage gegen Messung

$Fall$	$Vorhersage$	$gemessen$
$(a) 150 g/20° + 150 g/60°$	$40,0 °C$	$39,4 °C$
$(b) 200 g/20° + 100 g/80°$	$40,0 °C$	$39,1 °C$
$(c) 200 g/60° + 250 g/15° (berechnet)$	$35,0 °C$	$34,6 °C$

Beispieldaten zur Veranschaulichung — keine echten Messwerte.

7Auswertung

Die Regel trifft, und die Restabweichung erzählt etwas: Alle drei Messungen liegen innerhalb eines Grads an der Vorhersage, und alle drei knapp darunter. Das ist kein Zufall, sondern das Kennzeichen der Verluste: Gefäßwand und Thermometer wollten mitgewärmt werden, und etwas Wärme entwich. Lauter heimliche kalte Mitmischer, die die Bilanz einseitig belasten. Wer die Richtung der Abweichung deuten kann, liest daran die Güte seines Kalorimeters ab. Fall (b) räumt mit der Intuition auf: 80 Grad heißes Wasser hebt die doppelte kalte Menge nur auf 40 Grad. Der gewichtete Mittelwert schlägt die Erwartung „Mitte von 20 und 80 wäre 50“, denn die Massen wirken wie Stimmrechte. Fall (c) macht die Regel zum Werkzeug: Die berechneten 250 g kaltes Wasser treffen das 35-Grad-Ziel auf ein halbes Grad genau. Vorwärts prüfen, rückwärts anwenden: So arbeitet quantitative Physik, vom Duschmischer bis zur Prozesstechnik.

8Fazit

Die Mischtemperatur folgt dem massegewichteten Mittelwert: alle Fälle auf unter ein Grad genau, systematisch minimal darunter durch Gefäßverluste. Rückwärts angewandt trifft die Regel Zieltemperaturen. Die Wärmebilanz „abgegeben gleich aufgenommen“ ist damit quantitativ bestätigt.

9Fehlerbetrachtung

Alle relevanten Fehler dieses Versuchs drücken die Mischtemperatur in dieselbe Richtung: nach unten:

Wärmekapazität des Gefäßeseher systematisch

Ursache: $Kalorimeterwand und Thermometer werden mitgewärmt.$
Auswirkung: $T_m$
Verbesserung: $Gefäß mit heißem Wasser vorwärmen oder seinen „Wasserwert“ bestimmen und in die Bilanz aufnehmen.$

Abkühlung des heißen Anteils vor dem Mischeneher systematisch

Ursache: $Zwischen Messung und Zusammengießen vergehen Sekunden.$
Auswirkung: $T_2$
Verbesserung: $Heiße Temperatur als Letztes messen und sofort mischen.$

Mengenmessung im Zylindereher zufällig

Ursache: $Ablesegenauigkeit einige Milliliter.$
Auswirkung: $Verschiebt die Gewichtung um Zehntelgrade, richtungslos.$
Verbesserung: $Mengen wiegen statt volumetrisch messen.$

Das Wichtigste

Die Regel: $T_m = \dfrac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}$
Die Bilanz dahinter: $m_2 c (T_2 - T_m) = m_1 c (T_m - T_1)$
Grenzfall-Kontrolle: $Gleiche Mengen ergeben die exakte Mitte. Ist eine Menge riesig, bleibt die Mischung praktisch bei deren Temperatur . Beide Grenzfälle prüft der Versuch mit.$
Verluste erkennen: $Reale Mischungen landen knapp unter der Vorhersage, denn Gefäß und Luft mischen als heimliche kalte Partner mit.$

Mischtemperatur bestimmen