Schüler-Lernplattform: Mathematik, Physik, Informatik & Nachhilfe

Worum geht es?

s = \tfrac{1}{2} a t^2

Warum macht man dieses Experiment?

Das Quadratgesetz ist der Schlüssel zum freien Fall (der nur eine besonders steile Version dieses Versuchs ist), zu Anhalteweg und Bremsphysik und zur ganzen newtonschen Mechanik. Die flache Bahn ist dabei Galileis genialer Trick: Sie verdünnt die Schwerkraft, bis die Bewegung mit einfachen Uhren messbar wird, das historische Muster, wie man ein zu schnelles Phänomen der Messung zugänglich macht.

Die physikalische Idee

s/t^2

Benötigtes Vorwissen

Für dieses Experiment hilft dir dieses Vorwissen. Du kannst es jederzeit nachschlagen — das Experiment bleibt auch so verständlich.

Gleichförmige Bewegung und s-t-Diagramm
Quadratische Zusammenhänge (Mathematik)

Wissenschaftliche Einordnung

Galileo Galilei vermaß um 1600 Kugeln auf Rinnen mit Wasseruhren und fand das Quadratgesetz: der Gründungsversuch der quantitativen Bewegungslehre. Die Schulfahrbahn wiederholt ihn mit besseren Uhren und demselben Gedanken.

Versuchsziel

Aktuelles Versuchsziel

Weg-Zeit-Gesetz prüfen und a bestimmen

s = \tfrac{1}{2} a t^2

Gesucht

$a$ — Beschleunigung (in $m/ s^{2}$ ) $a = 2s/t^2$

Gemessen

$t$ — Fahrzeit (in $s$ ) $Vom Start bis zur jeweiligen Marke, je dreimal gestoppt.$

Bekannt

$s$ — Fahrstrecke ab Start (in $m$ ) $Durch die Streckenmarken vorgegeben; bewusst quadratisch gestuft (20, 45, 80, 125 cm), damit die Sollzeiten gleichabständig sind.$

Der Weg von der Messung zum Ergebnis: $(s_{k}, t_{k}) ⟶ \frac{s _{k}}{t _{k}^{2}} = ? konstant ⟶ a = 2 \cdot \frac{s}{t ^{2}}$

Für diese Zielsetzung brauchst du:

$s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$ $Das geprüfte Weg-Zeit-Gesetz für den Start aus der Ruhe.$ Zur Formelsammlung

1Aufgabenstellung

s/t^2

2Vorbetrachtung

$Warum wächst der Weg quadratisch?$

$v = a \cdot t$
$t$ $s = \frac{1}{2} \cdot t \cdot (a t) = \frac{1}{2} a t^{2}$
$\tfrac{1}{2}$
$s/t^2$

3Geräte / Stoffe

Fahrbahn mit fester kleiner Neigung; nichts zwischen den Läufen verändern. Start immer aus der Ruhe an derselben Marke (Startklappe).

Fahrbahn mit Unterlegklotz
$Die schwache Neigung erzeugt eine kleine, konstante Beschleunigung : langsam genug für Handstoppung.$
Leichtlaufender Wagen
$Bewegter Körper mit minimaler Reibung .$
Startvorrichtung
$Sichert den Start aus der Ruhe am immer gleichen Punkt: Voraussetzung des Gesetzes.$
Stoppuhren
$Messen die Fahrzeiten zu den Streckenmarken.$

4Skizze des Versuchsaufbaus

Bahn mit Startmarke und den vier Messmarken; daneben das erwartete parabelförmige s-t-Diagramm als Vorzeichnung.

Das Kennzeichen der Beschleunigung : Das v-t-Diagramm ist eine steigende Gerade, das s-t-Diagramm eine Parabel. In gleichen Zeiten wachsen die Wege wie 1 : 4 : 9.

Aufbau: Fahrbahn (2 m) mit kleiner, fester Neigung (Unterlegklotz), leichtlaufender Wagen, Startklappe oder Startmarke, Stoppuhren; Streckenmarken bei 20, 45, 80 und 125 cm.

5Durchführung

Schritt 1: Wagen an der Startmarke halten, auf Kommando loslassen und Uhr starten. Schritt 2: An der Zielmarke stoppen; je Marke drei Läufe, Mittelwert. Schritt 3: Für alle vier Marken wiederholen; Tabelle und Diagramm füllen.

6Beobachtung

Fahrzeiten (Mittel aus je drei Läufen)

$s$	$t$	$s/t^2$
$20$	$2,0$	$5,0$
$45$	$3,0$	$5,0$
$80$	$4,0$	$5,0$
$125$	$5,0$	$5,0$

Beispieldaten zur Veranschaulichung — keine echten Messwerte.

7Auswertung

s/t^2

8Fazit

s = \tfrac{1}{2}at^2

9Fehlerbetrachtung

Start und Stopp sind die kritischen Momente der Handmessung:

Startfehler (Anschieben oder Zögern)eher systematisch

Ursache: $Der Wagen wird beim Loslassen minimal angeschoben oder festgehalten.$
Auswirkung: $Die Ruhe-Startbedingung ist verletzt; besonders die kurzen Strecken reagieren empfindlich (Quotient zu groß bzw. zu klein).$
Verbesserung: $Startklappe statt Hand; Startvorgang üben.$

Reaktionszeit an Start und Zieleher zufällig

Ursache: $Uhrbedienung durch Menschen.$
Auswirkung: $\pm0,2 s je Messung, bei der 2-s-Marke bis zu 10 Prozent, bei der 5-s-Marke 4 Prozent: Die kurzen Marken streuen am stärksten.$
Verbesserung: $Drei Läufe mitteln (so gemacht), lange Bahn bevorzugen, ideal Lichtschranken.$

Roll- und Luftreibungeher systematisch

Ursache: $Reale Bahn bremst minimal, zunehmend mit dem Tempo.$
Auswirkung: $Bei langen Strecken bleibt der Wagen leicht hinter der Parabel zurück: s/t² sinkt am Ende minimal.$
Verbesserung: $Leichtgängigen Wagen verwenden; Restabweichung benennen statt wegmitteln.$

Das Wichtigste

Definition: $a = \Delta v / \Delta t$
Weg-Zeit-Gesetz: $s = \tfrac{1}{2} a t^2$
Merkzahlen: $Wege nach 1, 2, 3 Zeiteinheiten verhalten sich wie 1 : 4 : 9; die Wegzuwächse in aufeinanderfolgenden Zeiteinheiten wie 1 : 3 : 5.$
Galileis Trick: $Die flache Bahn verlangsamt die Fallbewegung, ohne ihr Gesetz zu ändern: Messbarmachung durch Verdünnung.$

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung