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Geometrie

Prismen und Zylinder: Volumen und Oberfläche

Grundfläche mal Höhe, ein Prinzip für Toblerone-Packung und Konservendose.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Toblerone-Packung, Dachrinne, Konservendose, alle drei gehören zur selben Körperfamilie: Sie haben oben und unten dieselbe und dazwischen gerade Wände. Solche Körper heißen Prismen (mit Ecken) und Zylinder (rund), und für alle gilt dieselbe wunderbar einfache Volumenformel.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Prismen erkennen und ihr mit V=G⋅hV = G \cdot h berechnen.

  • die von Prismen über Grundflächen und Mantel bestimmen.

  • Zylinder berechnen: V=πr2hV = \pi r^2 h und O=2πr2+2πrhO = 2\pi r^2 + 2\pi r h.

  • Volumina in Liter umrechnen und Sachaufgaben lösen.

  • einen Körper im Zweitafelbild (Grundriss und Aufriss) darstellen und begründen, warum man dort messen kann, im Schrägbild aber nicht.

Was ist ein Prisma?

Ein Prisma hat zwei kongruente, parallele Grundflächen (beliebige Vielecke!) und als Seitenflächen. Namensgeber ist die Grundfläche: Dreiecksprisma (Toblerone!), Trapezprisma (Dachrinne), … Auch der ist ein Prisma mit Rechteck-Grundfläche. Im Bild ist die vordere Grundfläche GG grün hervorgehoben.

Gh

Beim Prisma (hier ein Dreiecksprisma, „Toblerone") ist die vordere die Grundfläche GG (grün). Der Körper entsteht, indem man GG um die Höhe hh (blau) verschiebt. Das ist die Idee hinter V=G⋅hV = G \cdot h.

Das Volumen: Grundfläche mal Höhe

V=G⋅hV = G \cdot h

Die Idee: Die Grundfläche wird durch den Körper „hochgestapelt". GG berechnest du mit den Flächenformeln aus diesem Schuljahr (, …), hh ist der Abstand der beiden Grundflächen, nicht die Höhe der Grundfläche!

Plausibel gemacht, bewiesen ist es damit nicht. Das Stapelbild macht die Formel einleuchtend: lauter gleiche Scheiben übereinander. Sauber begründen lässt sie sich in Klasse 8 aber nicht, denn dafür müsste man mit unendlich dünnen Scheiben arbeiten. Das Ergebnis ist trotzdem exakt, keine Näherung, der Beweis gelingt in der Oberstufe mit Integralen.

Wichtiger als der Beweis ist hier die Bedingung: Die Formel gilt nur, solange der Querschnitt überall gleich bleibt. Genau daran erkennst du ein Prisma, und genau daran scheitert sie bei Körpern, die sich nach oben verjüngen.

Die Oberfläche

O=2⋅G+MO = 2 \cdot G + M

Der Mantel MM ist die Seitenwand, abgerollt ein aus dem der Grundfläche mal Körperhöhe:   M=uG⋅h\;M = u_G \cdot h.

Der Zylinder

Ein Zylinder ist ein „Prisma mit Kreis-Grundfläche". Dieselben Prinzipien mit Kreisformeln:

V=πr2⋅hM=2πr⋅hO=2πr2+2πrhV = \pi r^2 \cdot h \qquad M = 2\pi r \cdot h \qquad O = 2\pi r^2 + 2\pi r h

Der abgerollte Mantel einer Dose ist das Etikett: ein mit Breite 2πr2\pi r und Höhe hh (siehe Bild).

rh→Mantel2·π·rh

Der Zylinder ist ein Prisma mit Kreis-Grundfläche: V=πr2⋅hV = \pi r^2 \cdot h. Rollt man den Mantel ab, ist er ein mit Breite 2πr2\pi r (dem ) und Höhe hh, genau das Etikett einer Dose: M=2πr⋅hM = 2\pi r \cdot h.

Denk weiter: Woran erkennst du, ob für einen Körper Volumen gleich Grundfläche mal Höhe gilt, und was genau geht bei einer Pyramide schief?

Prüfe es erst selbst an ein paar Körpern.

Das Kennzeichen ist der Querschnitt. Schneide den Körper in Gedanken parallel zur Grundfläche durch, immer wieder, auf jeder Höhe. Ist dabei jedes Mal dieselbe Figur in derselben Größe zu sehen, dann ist der Körper ein Stapel aus lauter gleichen Scheiben, und es gilt V=G⋅hV = G \cdot h:

  • Toblerone-Packung → immer dasselbe ✓
  • Konservendose → immer derselbe ✓
  • ungespitzter Sechskant-Bleistift → immer dasselbe Sechseck ✓

Bei der Pyramide ändert sich der Querschnitt. Unten ist das am größten, nach oben wird es immer kleiner, an der Spitze verschwindet es ganz. Die Scheiben sind also nicht gleich, und einen Stapel ungleicher Scheiben kann man nicht als „eine mal Höhe" schreiben. Welche Fläche sollte man auch nehmen? Die untere ist zu groß, die obere zu klein.

Wie weit läge man daneben? Deutlich: In ein Prisma mit derselben Grundfläche und derselben Höhe passt die Pyramide genau dreimal hinein. Wer G⋅hG \cdot h rechnet, bekommt also das Dreifache des richtigen Werts. Warum ausgerechnet ein Drittel herauskommt, lernst du in Klasse 9.

Die Reihenfolge ist das Eigentliche: erst fragen „ändert sich der Querschnitt?", dann rechnen, genauso wie beim in Klasse 7 erst geprüft wird, ob die überhaupt ist.

Deine Antwort darf anders klingen. Wichtig ist das Prüfkriterium: gleicher Querschnitt auf jeder Höhe.

Liter-Anschluss

1 l=1 dm3=1 000 cm31 ml=1 cm31\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3 \qquad 1\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3

Maße in dm einsetzen → Ergebnis direkt in Litern.

Das Zweitafelbild, wenn man Längen messen können muss

Das Schrägbild sieht räumlich aus und ist gut, um sich einen Körper vorzustellen. Für eine Werkstatt taugt es allerdings nicht. Der Grund steckt in seinen Bauregeln: Die Tiefenkanten werden schräg und nur halb so lang gezeichnet. Wer im Schrägbild eine Tiefe nachmisst, erhält also einen falschen Wert.

Deshalb benutzen Technik und Handwerk eine zweite Darstellung, in der jede Länge stimmt: das Zweitafelbild (auch Zweitafelprojektion).

Die Idee: zweimal geradeaus schauen

Statt schräg auf den Körper zu blicken, schaust du zweimal senkrecht darauf:

  • Aufriss: der Blick genau von vorn.
  • Grundriss: der Blick genau von oben.

Weil du jedes Mal frontal hinschaust, wird nichts verkürzt und nichts verzerrt, was du dort misst, ist die wahre Länge.

Warum die beiden Bilder übereinanderstehen

Aufriss und Grundriss zeigen denselben Körper aus verschiedenen Richtungen. Damit man sieht, was zusammengehört, zeichnet man den Grundriss genau unter den Aufriss, getrennt durch die Rissachse. Dann liegt jede Breite in beiden Bildern senkrecht übereinander; die dünnen Verbindungslinien heißen Ordnungslinien.

Beim Prisma unten erkennst du dadurch sofort: Der Grundriss zeigt die Grundfläche GG in wahrer Größe, der Aufriss die Höhe hh in wahrer Länge, zusammen also genau die beiden Größen aus V=G⋅hV = G \cdot h.

Die drei Darstellungen im Vergleich:

Darstellungzeigt …gut für …
Schrägbildden Körper räumlichdie Vorstellung
Zweitafelbildzwei senkrechte Ansichten in wahrer GrößeMessen und Konstruieren
Netzalle flach ausgebreitetBasteln und die
RissachseAufriss (von vorn)Grundriss (von oben)hG

Dreiecksprisma im Zweitafelbild. Der Grundriss (unten) zeigt die Grundfläche GG, das , in wahrer Größe; im Schrägbild wäre es verzerrt. Der Aufriss (oben) zeigt die Höhe hh in wahrer Länge. Die dünnen Hilfslinien (Ordnungslinien) verbinden, was zusammengehört: Was im Grundriss gleich breit ist, steht im Aufriss genau darüber.

RissachseAufriss (von vorn)Grundriss (von oben)hr

Zylinder im Zweitafelbild: Von oben siehst du einen mit rr, von vorn ein der Breite 2r2r und der Höhe hh. Beide Risse zusammen legen den Körper eindeutig fest, und alle Maße, die du für V=πr2hV = \pi r^2 h brauchst, kannst du hier direkt abmessen.

Dreiecksprisma (Zeltdach)

Ein Zelt hat die Form eines liegenden Dreiecksprismas: Die dreieckige Vorderseite ist 2,4 m2{,}4\,\text{m} breit und 1,5 m1{,}5\,\text{m} hoch, das Zelt ist 3 m3\,\text{m} lang. Wie viel Luft () enthält das Zelt?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: die Maße der dreieckigen Vorderseite (2,4 m2{,}4\,\text{m} breit, 1,5 m1{,}5\,\text{m} hoch) und die Länge 3 m3\,\text{m}. Gesucht: das Volumen.

    Die Formel für jedes Prisma lautet V=G⋅hV = G \cdot h: Grundfläche mal Höhe. Du musst also zwei Dinge klären: Welche ist die Grundfläche, und was ist hier die Höhe?

  2. 2

    Schritt 1: Die Grundfläche identifizieren.

    Bei einem Prisma ist die Grundfläche die Fläche, die sich über die ganze Länge nicht ändert, hier also das an der Vorder- und Rückseite.

    Das Zelt liegt auf der Seite. Die „Grundfläche" ist deshalb nicht der Zeltboden, sondern die dreieckige Stirnseite.

  3. 3

    Schritt 2: Die Grundfläche berechnen.

    G=g⋅h△2=2,4 m⋅1,5 m2=3,62 m2=1,8 m2G = \frac{g \cdot h_{\triangle}}{2} = \frac{2{,}4\,\text{m} \cdot 1{,}5\,\text{m}}{2} = \frac{3{,}6}{2}\,\text{m}^2 = 1{,}8\,\text{m}^2

    Beachte: Die 1,5 m1{,}5\,\text{m} sind die Höhe des Dreiecks, nicht die Höhe des Prismas.

  4. 4

    Schritt 3: Die Prismenhöhe bestimmen.

    Die „Höhe" eines Prismas ist der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche, also zwischen den beiden Dreiecken.

    Hier ist das die Zeltlänge: h=3 mh = 3\,\text{m}.

    Das ist die Stolperstelle dieser Aufgabe. Weil das Zelt liegt, ist die Prismenhöhe waagerecht.

  5. 5

    Schritt 4: Volumen berechnen.

    V=G⋅h=1,8 m2⋅3 m=5,4 m3V = G \cdot h = 1{,}8\,\text{m}^2 \cdot 3\,\text{m} = 5{,}4\,\text{m}^3
  6. 6

    Schritt 5: Einheit und Plausibilität.

    m2⋅m=m3\text{m}^2 \cdot \text{m} = \text{m}^3 ✓, ein Volumen.

    Zur Einordnung: 5,4 m35{,}4\,\text{m}^3 sind 5 4005\,400 Liter. Für ein Zelt dieser Größe realistisch.

    Und wo steckt die Idee der Formel? Das Zelt ist ein 3 m3\,\text{m} langer „Stapel" aus lauter gleichen Dreiecksscheiben, deshalb Grundfläche mal Länge.

Das Zelt enthält V=5,4 m3V = 5{,}4\,\text{m}^3 Luft (= 5 4005\,400 Liter).

Zylinder komplett

Eine Konservendose hat r=4 cmr = 4\,\text{cm} und h=11 cmh = 11\,\text{cm}. Berechne und ().

  1. 1

    Volumen: V=πr2h=π⋅16⋅11=176π≈553 cm3V = \pi r^2 h = \pi \cdot 16 \cdot 11 = 176\pi \approx 553\,\text{cm}^3, gut ein halber Liter.

  2. 2

    Deckel + Boden: 2πr2=32π2\pi r^2 = 32\pi

  3. 3

    Mantel (Etikett): 2πrh=88π2\pi r h = 88\pi

  4. 4

    Oberfläche: O=32π+88π=120π≈377 cm2O = 32\pi + 88\pi = 120\pi \approx 377\,\text{cm}^2

V≈553 cm3V \approx 553\,\text{cm}^3, O≈377 cm2O \approx 377\,\text{cm}^2

Rückwärtsaufgabe

Ein zylindrisches Regenfass fasst 200200 Liter und hat den Innendurchmesser 60 cm60\,\text{cm}. Wie hoch steht das Wasser, wenn es voll ist ()?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: V=200V = 200 Liter und d=60 cmd = 60\,\text{cm}. Gesucht: die Füllhöhe hh.

    Wieder eine Umkehraufgabe, das ist bekannt, eine Eingangsgröße gesucht.

  2. 2

    Schritt 1: Einheiten vereinheitlichen, der wichtigste Schritt.

    Liter und Zentimeter passen nicht zusammen. Nutze die Brücke 1 Liter=1 dm31\text{ Liter} = 1\,\text{dm}^3 und rechne alles in Dezimeter:

    V=200 dm3d=60 cm=6 dmr=3 dmV = 200\,\text{dm}^3 \qquad d = 60\,\text{cm} = 6\,\text{dm} \qquad r = 3\,\text{dm}

    Wer hier in cm weiterrechnet, muss die 200200 Liter erst in 200 000 cm3200\,000\,\text{cm}^3 umwandeln, auch richtig, aber unhandlicher.

  3. 3

    Schritt 2: Die Formel aufstellen.

    Ein Zylinder ist ein Prisma mit als Grundfläche:

    V=G⋅h=πr2⋅hV = G \cdot h = \pi r^2 \cdot h
  4. 4

    Schritt 3: Nach hh umstellen.

    hh wird mit πr2\pi r^2 multipliziert, also durch πr2\pi r^2 teilen:

    h=Vπr2h = \frac{V}{\pi r^2}
  5. 5

    Schritt 4: Einsetzen und ausrechnen.

    h=200π⋅32=2009π≈20028,27≈7,1 dmh = \frac{200}{\pi \cdot 3^2} = \frac{200}{9\pi} \approx \frac{200}{28{,}27} \approx 7{,}1\,\text{dm}
  6. 6

    Schritt 5: In eine anschauliche Einheit umwandeln.

    7,1 dm=71 cm7{,}1\,\text{dm} = 71\,\text{cm}
  7. 7

    Schritt 6: Probe und Plausibilität.

    Probe: π⋅32⋅7,1≈200,7\pi \cdot 3^2 \cdot 7{,}1 \approx 200{,}7, durch das Runden leicht daneben, aber stimmig ✓

    Plausibilität: Ein Regenfass von etwa 60 cm60\,\text{cm} Breite und 70 cm70\,\text{cm} Höhe. Das passt zu einem typischen 200200-Liter-Fass ✓

Das Wasser steht etwa 71 cm71\,\text{cm} hoch.

Typischer Fehler

Beim Dreiecksprisma wird gerechnet: „V=g⋅hDreieck⋅hKo¨rperV = g \cdot h_{\text{Dreieck}} \cdot h_{\text{Körper}} … äh, welches hh war jetzt was? Einfach alles multiplizieren: 2,4⋅1,5⋅3=10,82{,}4 \cdot 1{,}5 \cdot 3 = 10{,}8."

Da fehlt das Halbieren der Dreiecksfläche! Sauber getrennt: Erst die Grundfläche komplett berechnen (G=2,4⋅1,52=1,8G = \frac{2{,}4 \cdot 1{,}5}{2} = 1{,}8), dann mal Körperhöhe (⋅3=5,4\cdot 3 = 5{,}4). Zwei Schritte, zwei verschiedene Höhen, wer sie vermischt, bekommt das Doppelte heraus.

Übung 1

leicht

Ein Prisma hat die Grundfläche G=24 cm2G = 24\,\text{cm}^2 und die Höhe h=10 cmh = 10\,\text{cm}. Berechne das .

Tipp anzeigen

V=G⋅hV = G \cdot h.

Lösung anzeigen

V=24⋅10=240 cm3V = 24 \cdot 10 = 240\,\text{cm}^3

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Prisma-Prinzip verstehen

    Ein Prisma ist ein „Stapel": die Grundfläche, Schicht für Schicht in die Höhe geschoben. Deshalb gilt V=G⋅hV = G \cdot h.

  2. 2

    Einsetzen und ausrechnen

    V=G⋅h=24⋅10=240 cm3V = G \cdot h = 24 \cdot 10 = 240\,\text{cm}^3.

    V=24⋅10=240V = 24 \cdot 10 = 240

    Zwischenergebnis

    240 cm3240\,\text{cm}^3

  3. 3

    Einheiten kontrollieren

    (cm2\text{cm}^2) mal Länge (cm\text{cm}) ergibt Volumen (cm3\text{cm}^3) ✓.

Übung 2

mittel

Berechne und eines Zylinders mit r=5 cmr = 5\,\text{cm} und h=12 cmh = 12\,\text{cm} (Ergebnisse mit π\pi und ).

Tipp anzeigen

V=πr2hV = \pi r^2 h; O=2πr2+2πrhO = 2\pi r^2 + 2\pi rh.

Lösung anzeigen

V=π⋅25⋅12=300π≈942,5 cm3V = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300\pi \approx 942{,}5\,\text{cm}^3

O=2π⋅25+2π⋅5⋅12=50π+120π=170π≈534,1 cm2O = 2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 50\pi + 120\pi = 170\pi \approx 534{,}1\,\text{cm}^2

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Volumen: Kreis-Grundfläche mal Höhe

    V=πr2⋅h=π⋅25⋅12=300π≈942,5 cm3V = \pi r^2 \cdot h = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300\pi \approx 942{,}5\,\text{cm}^3.

    π⋅52⋅12=300π\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 300\pi

  2. 2

    Oberfläche: zwei Deckel plus Mantel

    O=2⋅πr2+2πr⋅hO = 2 \cdot \pi r^2 + 2\pi r \cdot h: zwei Kreisdeckel (2⋅25π=50π2 \cdot 25\pi = 50\pi) plus Mantel (2π⋅5⋅12=120π2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 120\pi).

  3. 3

    Zusammenfassen und runden

    O=50π+120π=170π≈534,1 cm2O = 50\pi + 120\pi = 170\pi \approx 534{,}1\,\text{cm}^2.

    Zwischenergebnis

    V=300π cm3,O=170π cm2V = 300\pi\,\text{cm}^3, \quad O = 170\pi\,\text{cm}^2

Übung 3

schwer

Eine Dachrinne hat als Querschnitt ein : oben 18 cm18\,\text{cm} breit, unten 10 cm10\,\text{cm}, Tiefe (Höhe des Trapezes) 8 cm8\,\text{cm}. Die Rinne ist 6 m6\,\text{m} lang. Wie viele Liter Wasser fasst sie maximal?

Tipp anzeigen

Alles in dm: Trapezfläche in dm², Länge in dm.

Lösung anzeigen

In dm: a=1,8a = 1{,}8, c=1,0c = 1{,}0, hTrapez=0,8h_{\text{Trapez}} = 0{,}8, Länge 6060.

G=1,8+1,02⋅0,8=1,4⋅0,8=1,12 dm2G = \frac{1{,}8 + 1{,}0}{2} \cdot 0{,}8 = 1{,}4 \cdot 0{,}8 = 1{,}12\,\text{dm}^2

V=1,12⋅60=67,2 dm3=67,2 LiterV = 1{,}12 \cdot 60 = 67{,}2\,\text{dm}^3 = \mathbf{67{,}2\ Liter}

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Rinne als liegendes Prisma erkennen

    Der Trapez-Querschnitt ist die GRUNDFLÄCHE, die Rinnenlänge die „Höhe" des Prismas, es liegt nur auf der Seite.

  2. 2

    Alles in Dezimeter umrechnen

    Ziel Liter = dm3\text{dm}^3 → alle Maße in dm: a=1,8a = 1{,}8, c=1,0c = 1{,}0, hTrapez=0,8h_{\text{Trapez}} = 0{,}8, Länge =60= 60.

  3. 3

    Trapezfläche und Volumen berechnen

    G=1,8+1,02⋅0,8=1,4⋅0,8=1,12 dm2G = \frac{1{,}8 + 1{,}0}{2} \cdot 0{,}8 = 1{,}4 \cdot 0{,}8 = 1{,}12\,\text{dm}^2; V=1,12⋅60=67,2 dm3=67,2V = 1{,}12 \cdot 60 = 67{,}2\,\text{dm}^3 = 67{,}2 Liter.

    V=1,12⋅60=67,2V = 1{,}12 \cdot 60 = 67{,}2

    Zwischenergebnis

    67,267{,}2 Liter

Übung: Zweitafelbild

leicht

Ein Zylinder hat den r=2 cmr = 2\,\text{cm} und die Höhe h=5 cmh = 5\,\text{cm}. a) Welche Figur ist sein Grundriss, welche sein Aufriss? Gib jeweils die Maße an. b) Zeichne das Zweitafelbild im 1:11:1. c) Warum könntest du die Höhe in einem Schrägbild nicht einfach nachmessen?

Tipp anzeigen

Überlege bei jedem Riss: Aus welcher Richtung schaue ich, und welche Kanten sehe ich dabei in wahrer Länge?

Lösung anzeigen

a) Grundriss: ein mit r=2 cmr = 2\,\text{cm} ( 4 cm4\,\text{cm}). Aufriss: ein der Breite 2r=4 cm2r = 4\,\text{cm} und der Höhe 5 cm5\,\text{cm}.

b) Aufriss oben, Grundriss genau darunter, beide 4 cm4\,\text{cm} breit, senkrecht ausgerichtet an der Rissachse.

c) Im Schrägbild ist die Höhe zwar in wahrer Länge gezeichnet, die Tiefenkanten aber nur halb so lang und 45°45° schräg. Weil dort also nicht alle Längen echt sind, darf man im Schrägbild grundsätzlich nicht messen, im Zweitafelbild schon.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Grundriss und Aufriss bestimmen

    Von OBEN gesehen (Grundriss): ein Kreis mit r=2r = 2 cm. Von VORN gesehen (Aufriss): ein Rechteck, 44 cm breit (Durchmesser) und 55 cm hoch.

  2. 2

    b) Das Zweitafelbild anordnen

    Aufriss oben, Grundriss exakt darunter, beide an der Rissachse ausgerichtet: Beide sind 44 cm breit, die Breiten liegen senkrecht untereinander.

  3. 3

    c) Warum das Schrägbild beim Messen lügt

    Im Schrägbild sind nur Höhe und Breite in wahrer Länge; die TIEFENKANTEN sind halbiert und unter 45°45° gezeichnet. Messen liefert dort also falsche Werte, im Zweitafelbild sind alle Strecken echt.

Zusammenfassung

Prismen und Zylinder teilen ein Bauprinzip (konstanter Querschnitt) und damit eine Formel: V=G⋅hV = G \cdot h. Die besteht aus zwei Grundflächen plus Mantel (uG⋅hu_G \cdot h; beim Zylinder das abgerollte Etikett 2πrh2\pi r h). Grundflächen- und Körperhöhe sauber trennen, bei Litern in dm rechnen, dann sitzt jede Aufgabe.