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Stochastik

Daten auswerten und Darstellungen kritisch bewerten

Kreisdiagramme berechnen, Kenngrößen vergleichen und Manipulationen entlarven.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

„Studie beweist …", „Umfrage zeigt …", täglich prasseln Diagramme und Statistiken auf dich ein. Manche informieren, manche manipulieren. In diesem Kapitel wirst du zum Daten-Detektiv: Du berechnest Kreisdiagramme selbst, vergleichst Datensätze professionell mit Kenngrößen, und erkennst die Tricks, mit denen Darstellungen lügen, ohne falsche Zahlen zu zeigen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Kreisdiagramme berechnen (Anteil → Mittelpunktswinkel) und zeichnen.

  • den passenden Diagrammtyp wählen (Säulen, , , Verlaufskurve).

  • Datensätze mit Kenngrößen (, , Spannweite, Quartile) vergleichen.

  • Manipulationstechniken in Darstellungen erkennen und benennen.

  • prozentuale Verteilungen aus Kreis- und Streifendiagrammen ablesen und selbst darstellen.

  • beurteilen, ob eine Stichprobe repräsentativ ist, und erkennen, wie schon die Fragestellung ein Umfrageergebnis verzerren kann.

Das Kreisdiagramm

Das Kreisdiagramm zeigt Anteile am Ganzen. Jeder Anteil bekommt seinen Mittelpunktswinkel:

α=Anteil⋅360°\alpha = \text{Anteil} \cdot 360°

Beispiel: 25 %25\,\% der Stimmen → 0,25⋅360°=90°0{,}25 \cdot 360° = 90°. Kontrolle: Alle zusammen =360°= 360°.

45 %30 %15 %10 %
A (45 %)B (30 %)C (15 %)D (10 %)

Ein Kreisdiagramm zeigt Anteile am Ganzen. Jeder Anteil bekommt seinen Mittelpunktswinkel α=Anteil⋅360°\alpha = \text{Anteil}\cdot 360°, z. B. 45 %→162°45\,\% \to 162°. Alle zusammen ergeben 360°360°.

Das Streifendiagramm, derselbe Anteil, besser ablesbar

Anteile lassen sich auch anders zeigen: Statt einen aufzuteilen, teilst du einen Streifen auf. Der ganze Streifen ist das Ganze (100 %100\,\%), und jede Kategorie bekommt so viel davon, wie ihr Anteil ausmacht. Das nennt man Streifendiagramm (oder Bandiagramm).

Wie du die Länge eines Abschnitts bestimmst

Genau wie beim Kreis, nur ist das Ganze diesmal keine 360°360°-Drehung, sondern eine Strecke. Ist der Streifen 10 cm10\,\text{cm} lang, gilt:

La¨nge des Abschnitts=Anteil⋅10 cm\text{Länge des Abschnitts} = \text{Anteil} \cdot 10\,\text{cm}

Für 45 %45\,\% also 0,45⋅10 cm=4,5 cm0{,}45 \cdot 10\,\text{cm} = 4{,}5\,\text{cm}. Kontrolle: Alle Abschnitte zusammen müssen den ganzen Streifen füllen, genau wie sich beim Kreis alle zu 360°360° ergänzen.

Warum überhaupt zwei Darstellungen für dasselbe?

Weil sie unterschiedliche Stärken haben.

Das Kreisdiagramm zeigt auf einen Blick, dass es um Teile eines Ganzen geht, der geschlossene Kreis macht das unmissverständlich. Beim Ablesen ist es allerdings schwach: Ob ein Sektor nun 18 %18\,\% oder 22 %22\,\% hat, sieht kaum jemand, denn Winkel schätzt das Auge schlecht.

Das Streifendiagramm hat eine gerade Skala darunter. Damit misst du die Anteile, statt sie zu schätzen: Der erste Abschnitt im Bild unten reicht von 0 %0\,\% bis 45 %45\,\%, der zweite von 45 %45\,\% bis 75 %75\,\%. Und weil alle Streifen gleich lang sind, kannst du mehrere Streifen untereinander legen und Gruppen direkt vergleichen, beim Kreis müsstest du zwischen zwei Torten hin- und herschauen.

Merke: Kreis, wenn das Ganze betont werden soll. Streifen, wenn abgelesen oder verglichen werden soll.

45 %30 %15 %0 %50 %100 %
Bus/BahnFahrradzu FußAuto

So kommen die Schüler zur Schule, als Streifendiagramm. Der ganze Streifen ist das Ganze (100 %100\,\%), jeder Abschnitt ein Anteil. Weil die Skala darunter gleichmäßig ist, kannst du die ablesen statt zu schätzen: Der Bus-Abschnitt reicht von 0 %0\,\% bis 45 %45\,\%.

Welches Diagramm wofür?

DiagrammZeigt am besten …
Säulen-/BalkendiagrammVergleiche zwischen Kategorien
KreisdiagrammAnteile an einem Ganzen (100 %100\,\%)
StreifendiagrammAnteile, die abgelesen oder verglichen werden sollen
LiniendiagrammEntwicklungen über die Zeit
Verteilung und Streuung, Gruppen-Vergleiche

Das Liniendiagramm unten zeigt eine Entwicklung über mehrere Jahre.

046,2592,5138,75185Besucher (Tsd.)2019202020212022

Ein Liniendiagramm eignet sich für Entwicklungen über die Zeit: Der Linienzug macht Anstiege, Einbrüche und Trends sofort sichtbar.

Datensätze vergleichen

Zwei Klassen, ein Test, wer war „besser"? Ein einzelner Wert genügt nicht:

  • Lage: und vergleichen (Ausreißer-Verdacht, wenn sie auseinanderliegen).
  • Streuung: Spannweite und Quartilsabstand, gleichmäßig oder breit gestreut?

Die Kenngrößen selbst sind nicht neu: Mittelwert, Median, Modalwert, Spannweite, Quartile und der stammen aus Klasse 6 (Statistische Kenngrößen), schlag dort nach, wenn du bei einer davon stockst. Neu ist hier die Fragestellung: Bisher hast du Kenngrößen für einen Datensatz berechnet, jetzt vergleichst du zwei miteinander. Und dafür brauchst du immer beides, Lage und Streuung, eine einzelne Zahl kann zwei völlig verschiedene Datensätze gleich aussehen lassen.

Manipulations-Werkzeugkasten (zum Durchschauen!)

  1. Abgeschnittene Achse: kleine Unterschiede wirken riesig (siehe Bild unten).
  2. Gestauchte/gedehnte Achsen: Trends wirken flacher oder steiler.
  3. 3D-Torten und Perspektive: vordere Stücke wirken größer.
  4. Bildsymbole, die in Höhe UND Breite wachsen: doppelte Größe wirkt vierfach.
  5. Rosinen-Zeitraum: Nur der günstige Ausschnitt wird gezeigt.
  6. Absolut statt relativ: „Mehr Unfälle in A als in B", bei zehnfacher Einwohnerzahl!

Prüfroutine: Achsenanfang? Einheiten? Zeitraum? Absolute oder relative Zahlen? Wer hat's veröffentlicht?

100102104106Wert102A104B106C

Manipulation durch abgeschnittene Achse: Hier beginnt die Werteachse nicht bei 00, sondern bei 100100 (rotes Bruch-Symbol). Winzige Unterschiede (102102 vs. 106106) wirken dadurch riesig. Erster Prüfblick bei jedem Diagramm: Wo beginnt die Achse?

Erkläre es selbst: Warum kann ein Diagramm täuschen, obwohl jede einzelne Zahl darin stimmt?

Formuliere es erst selbst, am besten an einem der sechs Tricks von oben.

Weil du in einem Diagramm keine Zahlen liest, sondern Größen vergleichst: Höhen, Längen, . Und diese Größen lassen sich verschieben, ohne eine einzige Zahl zu fälschen.

Vier der sechs Tricks nutzen genau das:

  • Abgeschnittene Achse: Die Zahlen stimmen, aber die sichtbaren Höhen passen nicht mehr zu ihrem Verhältnis. Aus 100100 und 110110 werden über einer 9595er-Linie die Höhen 55 und 1515, dreimal so hoch statt 10 %10\,\% mehr.
  • Gestauchte oder gedehnte Achse: dasselbe für die Steilheit eines Trends.
  • 3D und Perspektive: Die vorderen Stücke bekommen mehr sichtbare Fläche als ihnen zusteht.
  • Bildsymbole, die in Höhe und Breite wachsen: Hier wirkt es am stärksten, denn die Fläche wächst quadratisch. Doppelt so hoch und doppelt so breit heißt viermal so viel Fläche, genau das, was du beim gesehen hast: doppelter , vierfache Fläche.

Die anderen beiden Tricks verzerren keine Größen, sondern wählen die Daten aus: der Rosinen-Zeitraum zeigt nur den günstigen Ausschnitt, und „absolut statt relativ" vergleicht Zahlen mit verschiedenen Bezugsgrößen. Auch dort ist jede einzelne Zahl korrekt.

Der Kern in einem Satz: Eine Statistik lügt selten mit falschen Zahlen, sie lügt damit, wie sie die Zahlen sichtbar macht oder was sie weglässt.

Deine Erklärung darf anders klingen. Wichtig ist, dass darin vorkommt: Das Auge vergleicht Größen, nicht Zahlen. Deshalb prüfst du zuerst die Achse, dann den Zeitraum, dann die Bezugsgröße.

Vor dem Diagramm: Wie sind die Zahlen entstanden?

Der Werkzeugkasten oben zeigt, wie man mit fertigen Zahlen täuschen kann. Aber eine Statistik lässt sich schon viel früher verbiegen, nämlich dort, wo die Zahlen entstehen. Ein sauber gezeichnetes Diagramm aus schlechten Daten ist trotzdem wertlos.

Die Stichprobe

Niemand kann alle Menschen befragen. Deshalb befragt man eine Stichprobe: eine Auswahl aus der Gruppe, über die man etwas herausfinden will (der Grundgesamtheit).

Damit man von der Stichprobe auf die ganze Gruppe schließen darf, muss sie repräsentativ sein. Dafür braucht es zwei Dinge gleichzeitig:

  1. Sie ist groß genug. Fünf Befragte sagen über eine Schule mit 700 Schülern nichts.
  2. Sie ist zufällig ausgewählt. Jede Person der Grundgesamtheit muss dieselbe Chance haben, hineinzukommen.

Zwei Umfragen, ein Kiosk. Erik fragt in jeder Klasse fünf zufällig ausgeloste Personen, ob sie mit dem Schulkiosk zufrieden sind. Ava fragt fünf Personen aus der Kiosk-AG. Erik erhält 30 %30\,\% Zufriedene, Ava 60 %60\,\%.

Beide haben richtig gezählt, trotzdem taugt nur Eriks Ergebnis. Avas Auswahl ist nicht zufällig: Wer im Kiosk mitarbeitet, findet ihn erwartbar gut. Der Fehler steckt nicht in der Rechnung, sondern vor der Rechnung.

Die Fragestellung

Auch bei perfekter Stichprobe kann die Frage selbst das Ergebnis lenken. Zwei Muster tauchen immer wieder auf:

  • Meinung in der Frage. „Wie zufrieden bist du mit dem tollen Angebot des Kiosks?" enthält die Antwort schon. Neutral wäre: „Wie zufrieden bist du mit dem Angebot des Kiosks?"
  • Ungleiche Antwortmöglichkeiten. Stehen drei zustimmende und nur eine ablehnende Antwort zur Auswahl, verschiebt sich das Ergebnis, ohne dass jemand lügt. Neutral heißt: gleich viele Möglichkeiten auf beiden Seiten.

Die Prüfroutine wird länger

Zu den Fragen an das Diagramm kommen also drei Fragen an die Erhebung:

FrageWorauf du achtest
Wer wurde gefragt?Grundgesamtheit, passt sie zur Behauptung?
Wie viele, und wie ausgewählt?groß genug und zufällig
Wie wurde gefragt?neutraler Wortlaut, ausgewogene Antwortmöglichkeiten

Wenn eine dieser drei Antworten fehlt, ist die Statistik nicht widerlegt, aber sie ist auch nicht belegt. Und das ist ein Unterschied, den man aussprechen darf.

Kreisdiagramm berechnen

Von 30 Kindern kommen 12 mit dem Rad, 9 zu Fuß, 6 mit dem Bus und 3 mit dem Auto. Berechne die Mittelpunktswinkel für das Kreisdiagramm.

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: vier Häufigkeiten, zusammen 3030 Kinder. Gesucht: die vier Mittelpunktswinkel.

    Die Grundidee des Kreisdiagramms: Der ganze (360°360°) steht für die Gesamtheit. Jede Gruppe bekommt davon denselben Anteil, den sie an den Kindern hat.

  2. 2

    Schritt 1: Die Gesamtzahl prüfen.

    12+9+6+3=30  ✓12 + 9 + 6 + 3 = 30 \; ✓

    Stimmt die Summe nicht mit der angegebenen Gesamtzahl überein, stimmt etwas an den Daten nicht. Dann lohnt kein Weiterrechnen.

  3. 3

    Schritt 2: Die Anteile bilden.

    Jeder Anteil ist „Teil durch Ganzes":

    Rad 1230Fuß 930Bus 630Auto 330\text{Rad } \frac{12}{30} \qquad \text{Fuß } \frac{9}{30} \qquad \text{Bus } \frac{6}{30} \qquad \text{Auto } \frac{3}{30}
  4. 4

    Schritt 3: Anteile in umrechnen.

    Multipliziere jeden Anteil mit 360°360°, dem vollen Kreis:

    Rad: 1230⋅360°=0,4⋅360°=144°\text{Rad: } \frac{12}{30} \cdot 360° = 0{,}4 \cdot 360° = 144°

    Warum mal 360°360°? Weil der Anteil angibt, welchen Bruchteil des Kreises die Gruppe belegt. 1230\frac{12}{30} sind 40 %40\,\%, also 40 %40\,\% von 360°360°.

  5. 5

    Schritt 4: Die übrigen drei Winkel.

    Fuß: 930⋅360°=108°\text{Fuß: } \frac{9}{30} \cdot 360° = 108° Bus: 630⋅360°=72°\text{Bus: } \frac{6}{30} \cdot 360° = 72° Auto: 330⋅360°=36°\text{Auto: } \frac{3}{30} \cdot 360° = 36°

    Rechenhilfe: Ein Kind entspricht 360°:30=12°360° : 30 = 12°. Damit gehen alle Winkel im Kopf: 12⋅12°=144°12 \cdot 12° = 144°, 9⋅12°=108°9 \cdot 12° = 108° und so weiter.

  6. 6

    Schritt 5: Die Pflichtkontrolle.

    144°+108°+72°+36°=360°  ✓144° + 108° + 72° + 36° = 360° \; ✓

    Diese Probe ist bei jedem Kreisdiagramm Pflicht. Fehlt ein Grad, hast du dich verrechnet oder eine Gruppe vergessen, beim Zeichnen fiele das erst am Schluss auf, wenn der Kreis nicht aufgeht.

  7. 7

    Schritt 6: Zeichnen und beschriften.

    Trage die Winkel mit dem Geodreieck nacheinander vom Mittelpunkt aus ab und beschrifte jeden Sektor mit Gruppe und Anteil.

    Wann ein Kreisdiagramm passt: immer dann, wenn sich die Teile zu einem sinnvollen Ganzen ergänzen. Für Entwicklungen über die Zeit ist es dagegen ungeeignet, dafür nimmst du ein Liniendiagramm.

Rad 144°144° · Fuß 108°108° · Bus 72°72° · Auto 36°36° (Summe 360°360° ✓)

Zwei Klassen im Kenngrößen-Vergleich

Mathetest: Klasse 8a hat 2,9 und 3, Spannweite 3 (Noten 1–4). Klasse 8b hat Mittelwert 2,9 und Median 2, Spannweite 5 (Noten 1–6). Vergleiche die Klassen.

  1. 1

    Was ist gesucht? Kein Rechenergebnis, sondern eine Bewertung, und zwar eine, die über den Durchschnitt hinausgeht.

    Der Ausgangspunkt ist bemerkenswert: Beide Klassen haben denselben Mittelwert 2,92{,}9. Nach dieser einen Zahl wären sie gleich gut. Genau das prüfen wir.

  2. 2

    Schritt 1: Die Lage vergleichen: Mittelwert und Median.

    • 8a: Mittelwert 2,92{,}9, Median 33
    • 8b: Mittelwert 2,92{,}9, Median 22

    Der Median ist die Note der Schülerin genau in der Mitte der geordneten Liste. In der 8b liegt sie bei 22, in der 8a bei 33.

    Die typische Schülerin der 8b ist also besser, obwohl der Durchschnitt gleich ist.

  3. 3

    Schritt 2: Verstehen, warum die beiden Werte auseinanderfallen.

    Der Mittelwert reagiert empfindlich auf Ausreißer, der Median nicht.

    In der 8b gibt es Noten bis 66. Diese wenigen sehr schlechten Arbeiten ziehen den Mittelwert nach oben, während der Median unbeeindruckt bei 22 bleibt.

  4. 4

    Schritt 3: Die Streuung vergleichen.

    • 8a: Spannweite 33 (Noten 11 bis 44)
    • 8b: Spannweite 55 (Noten 11 bis 66)

    Die 8a ist kompakt: Alle liegen nah beieinander, niemand fällt völlig ab. Die 8b ist gespreizt: sehr gute und sehr schwache Ergebnisse nebeneinander.

  5. 5

    Schritt 4: Beides zusammenführen.

    8a8b
    Durchschnitt2,92{,}92,92{,}9
    typische Note (Median)3322
    Streuunggeringgroß

    Zwei völlig verschiedene Klassen mit identischem Durchschnitt.

  6. 6

    Schritt 5: Was daraus für den Unterricht folgt.

    In der 8a bräuchte die ganze Klasse gleichmäßige Unterstützung, das Niveau ist homogen.

    In der 8b wäre eine differenzierte Förderung sinnvoll: Ein Teil kommt gut mit, ein anderer braucht Grundlagenarbeit. Ein Durchschnittswert allein hätte das verschleiert.

    Die Lehre des Kapitels: Lage und Streuung gehören immer zusammen. Wer nur den Mittelwert nennt, erzählt bestenfalls die halbe Geschichte.

Gleicher Mittelwert (2,92{,}9), aber verschiedene Verteilungen: Die 8b hat die bessere typische Note (Median 22 statt 33), streut aber viel stärker (Spannweite 55 statt 33).

Typischer Fehler

„In Stadt A gab es 500 Fahrraddiebstähle, in Dorf B nur 50, in A ist Radfahren zehnmal gefährlicher!"

Absolute Zahlen vergleichen nur bei gleicher Grundmenge! Hat Stadt A 200 000 Einwohner und Dorf B 5 000, dann ist die Rate in A 500200 000=0,25 %\frac{500}{200\,000} = 0{,}25\,\% und in B 505 000=1 %\frac{50}{5\,000} = 1\,\%, in B wird relativ viermal so viel gestohlen. Für faire Vergleiche braucht es (pro Einwohner, pro 1000, in ).

Übung 1

leicht

In einer Umfrage (60 Personen) wählen 15 Pizza, 20 Pasta, 18 Burger, 7 Salat. Berechne die vier Mittelpunktswinkel.

Tipp anzeigen

= Anzahl60⋅360°\frac{\text{Anzahl}}{60} \cdot 360°, oder einfacher: Anzahl · 6°.

Lösung anzeigen

Pro Person: 360°:60=6°360° : 60 = 6°.

Pizza 90°90°, Pasta 120°120°, Burger 108°108°, Salat 42°42°: Summe 360°360° ✓

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Winkel pro Person bestimmen

    Der Vollkreis (360°360°) verteilt sich auf 6060 Befragte: 360°:60=6°360° : 60 = 6° pro Person.

  2. 2

    Die vier Winkel berechnen

    Pizza 15⋅6°=90°15 \cdot 6° = 90° · Pasta 20⋅6°=120°20 \cdot 6° = 120° · Burger 18⋅6°=108°18 \cdot 6° = 108° · Salat 7⋅6°=42°7 \cdot 6° = 42°.

    15⋅6°=90°,20⋅6°=120°,18⋅6°=108°,7⋅6°=42°15 \cdot 6° = 90°, \quad 20 \cdot 6° = 120°, \quad 18 \cdot 6° = 108°, \quad 7 \cdot 6° = 42°

  3. 3

    Summenkontrolle

    90°+120°+108°+42°=360°90° + 120° + 108° + 42° = 360° ✓, der Kreis ist exakt gefüllt.

Übung 2

mittel

Welcher Diagrammtyp passt? Begründe kurz. a) Wahlergebnis (Stimmenanteile) b) Temperaturverlauf einer Woche c) Vergleich der 100-m-Zeiten zweier Klassen d) Beliebteste Haustiere der Klasse

Tipp anzeigen

Anteile, Zeit, Verteilungen, Kategorien.

Lösung anzeigen

a) Kreisdiagramm (Anteile am Ganzen)

b) Liniendiagramm (Entwicklung über Zeit)

c) übereinander (Verteilungen vergleichen)

d) Säulendiagramm (Kategorien vergleichen)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Leitfrage je Diagrammtyp

    Jeder Typ beantwortet eine andere Frage: = „Wie teilt sich ein GANZES auf?", Linie = „Wie ENTWICKELT sich etwas über die Zeit?", Säulen = „Wie vergleichen sich KATEGORIEN?", Boxplot = „Wie sind Werte VERTEILT?"

  2. 2

    a) bis d) zuordnen

    a) Stimmenanteile = Teile eines Ganzen → Kreisdiagramm. b) Temperatur über Tage = zeitlicher Verlauf → Liniendiagramm. c) Zwei Klassen-Verteilungen vergleichen → Boxplots übereinander. d) Haustier-Kategorien zählen → Säulendiagramm.

  3. 3

    Gegenprobe: Warum die anderen nicht passen

    Test der Wahl durch Ausschluss: Ein Kreis für den Temperaturverlauf wäre sinnlos (kein Ganzes), eine Linie zwischen Haustierarten würde nicht existierende Zwischenwerte behaupten.

Übung 3

schwer

Eine Werbegrafik zeigt den Umsatz: 2022 = 100 Mio, 2023 = 110 Mio. Das Balkendiagramm beginnt bei 95 Mio, und der 2023-Balken ist zusätzlich doppelt so breit. a) Nenne die beiden Manipulationstechniken. b) Wie viel Wachstum sind es wirklich? c) Wie stark wirkt der Unterschied optisch (Flächenverhältnis der Balken)?

Tipp anzeigen

c) Höhe im Bild: 5 vs. 15 Einheiten über 95, und die Breite!

Lösung anzeigen

a) Abgeschnittene Achse (Start bei 95) und Breiten-Trick ( wächst mit).

b) 110−100100=10 %\frac{110 - 100}{100} = 10\,\% Wachstum.

c) Sichtbare Höhen: 55 vs. 1515 Einheiten (dreifach!), Breite doppelt → Flächenverhältnis 1:61 : 6. Aus 10 % echtem Wachstum wird optisch das Sechsfache.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Beide Manipulationstechniken benennen

    Erstens: Die Achse beginnt bei 9595 statt 00 (abgeschnittene Achse). Zweitens: Der 2023-Balken ist doppelt so BREIT, die Fläche wächst mit, obwohl nur die Höhe zählt.

  2. 2

    b) Das echte Wachstum berechnen

    Zuwachs: 110−100=10110 - 100 = 10 Mio. Bezogen auf 2022: 10100⋅100=10 %\frac{10}{100} \cdot 100 = 10\,\% Wachstum.

    10100⋅100=10\frac{10}{100} \cdot 100 = 10

    Zwischenergebnis

    10 %10\,\% echtes Wachstum

  3. 3

    c) Die optische Verzerrung beziffern

    Sichtbare Höhen ab Achsenstart 9595: Balken 2022 ragt 55, Balken 2023 ragt 1515 Einheiten. Verhältnis 1:31:3. Mit doppelter Breite: Flächen 1:61:6.

Übung: Streifendiagramm

mittel

Eine Umfrage unter 200200 Schülern ergab: 9090 nutzen den Bus, 6060 das Fahrrad, 3030 gehen zu Fuß, 2020 werden gefahren. a) Berechne alle vier . b) Wie lang wird jeder Abschnitt in einem 10 cm10\,\text{cm} langen Streifen? c) Welche Kontrolle hast du am Ende? d) Wann würdest du hier ein Kreisdiagramm bevorzugen?

Tipp anzeigen

Rechne zuerst die Anteile in um, die Streifenlänge ist dann einfach „Anteil mal Gesamtlänge".

Lösung anzeigen

a) Bus 90200=45 %\frac{90}{200} = 45\,\% · Fahrrad 30 %30\,\% · zu Fuß 15 %15\,\% · gefahren 10 %10\,\%

b) 4,5 cm4{,}5\,\text{cm} · 3 cm3\,\text{cm} · 1,5 cm1{,}5\,\text{cm} · 1 cm1\,\text{cm}

c) Die Prozentsätze müssen zusammen 100 %100\,\% ergeben (45+30+15+10=10045+30+15+10 = 100 ✓) und die Abschnitte zusammen 10 cm10\,\text{cm} (4,5+3+1,5+1=104{,}5+3+1{,}5+1 = 10 ✓).

d) Wenn betont werden soll, dass es Teile eines Ganzen sind. Zum genauen Ablesen oder zum Vergleich mit einer zweiten Klasse ist der Streifen besser.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Prozentsätze der vier Gruppen

    200200: Bus 90200=45 %\frac{90}{200} = 45\,\%, Fahrrad 60200=30 %\frac{60}{200} = 30\,\%, zu Fuß 30200=15 %\frac{30}{200} = 15\,\%, gefahren 20200=10 %\frac{20}{200} = 10\,\%.

  2. 2

    b) Prozente in Zentimeter übersetzen

    Der ganze Streifen (1010 cm) ist 100 %100\,\%, also 11 cm pro 10 %10\,\%: Bus 4,54{,}5 cm, Fahrrad 33 cm, zu Fuß 1,51{,}5 cm, gefahren 11 cm.

    45 %→4,5 cm45\,\% \to 4{,}5\,\text{cm} usw.

  3. 3

    c) Doppelte Kontrolle

    Prozente: 45+30+15+10=10045+30+15+10 = 100 ✓. Längen: 4,5+3+1,5+1=104{,}5+3+1{,}5+1 = 10 cm ✓, beide Ebenen müssen exakt aufgehen.

  4. 4

    d) Streifen oder Kreis?

    Der Kreis betont „Teile EINES Ganzen"; der Streifen ist besser zum genauen Ablesen (Lineal!) und zum Vergleich mehrerer Gruppen (Streifen untereinander).

Übung: Ist die Umfrage brauchbar?

mittel

Eine Schülerzeitung schreibt: „80 %80\,\% der Schülerinnen und Schüler wünschen sich längere Pausen." Befragt wurden 1212 Personen, die während der Pause auf dem Schulhof Fußball spielten. Die Frage lautete: „Findest du auch, dass die viel zu kurzen Pausen verlängert werden sollten?"

a) Nenne drei Gründe, warum das Ergebnis nicht belastbar ist. b) Formuliere die Frage neutral. c) Beschreibe, wie eine repräsentative Stichprobe an dieser Schule aussehen könnte.

Tipp anzeigen

Prüfe getrennt: wer wurde gefragt, wie viele, und wie wurde gefragt.

Lösung anzeigen

a) Drei Gründe.

  1. Stichprobe zu klein. 1212 Personen sind für eine ganze Schule zu wenig; 80 %80\,\% bedeutet hier nur rund 1010 Personen.
  2. Auswahl nicht zufällig. Befragt wurden ausschließlich Fußballspielende auf dem Schulhof. Wer die Pause zum Lernen, Essen oder Ausruhen nutzt, kam gar nicht vor, und gerade Fußballspielende haben ein besonderes Interesse an langen Pausen.
  3. Frage nicht neutral. „Findest du auch" unterstellt Zustimmung, „viel zu kurze Pausen" enthält die Wertung bereits.

b) Neutrale Frage.

„Wie lang sollten die Pausen deiner Meinung nach sein?", mit ausgewogenen Antwortmöglichkeiten, zum Beispiel kürzer als jetzt · so wie jetzt · länger als jetzt.

c) Repräsentative Stichprobe.

Aus jeder Klassenstufe eine feste Anzahl zufällig ausgeloster Personen befragen, zum Beispiel je zehn und zwar unabhängig davon, wo sie sich gerade aufhalten. Dann sind alle Gruppen der Schule vertreten und niemand ist wegen seines Pausenverhaltens bevorzugt.

Wichtig: Damit ist nicht bewiesen, dass sich die Schule keine längeren Pausen wünscht. Bewiesen ist nur, dass diese Umfrage die Behauptung nicht trägt.

Zusammenfassung

Kreisdiagramme rechnen Anteile in um (mal 360°), jeder Diagrammtyp hat seine Spezialität, und faire Vergleiche brauchen Lage plus Streuung, auf Basis relativer Häufigkeiten. Mit dem Manipulations-Radar (Achsen, , 3D, Zeiträume, absolut/relativ) liest du Statistiken künftig wie ein Profi: kritisch statt gläubig.