Winkel an Geradenkreuzungen und Parallelen

Zwei Geraden kreuzen sich, und schon entstehen vier Winkel, die geheime Beziehungen pflegen: Kennst du einen, kennst du alle! Und wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet, wiederholen sich die Winkel sogar wie kopiert. Diese Winkelgesetze machen dich zum Winkel-Detektiv: berechnen statt messen.

Zeichne zwei Geraden, die sich kreuzen. Am Schnittpunkt entstehen vier Winkel. Man bezeichnet sie reihum mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$.

Das Erstaunliche: Wenn du einen dieser Winkel kennst, kennst du alle vier. Warum, siehst du gleich.

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°

Zwei Winkel, die nebeneinander liegen und sich einen Schenkel teilen, heißen Nebenwinkel, zum Beispiel $\alpha$ und $\beta$.

Schau dir an, was diese beiden zusammen bilden: Sie überdecken gemeinsam die ganze obere Hälfte der einen Geraden. Und eine Gerade ist gestreckt, bildet also einen Winkel von $180°$.

Das ist die Begründung, nicht Auswendiglernen, sondern Hinsehen: Nebenwinkel liegen zusammen auf einer geraden Linie.

Scheitelwinkel sind gleich groß

Zwei Winkel, die sich gegenüber liegen und sich nur im Scheitelpunkt berühren, heißen Scheitelwinkel, etwa $\alpha$ und $\gamma$.

Warum sind sie gleich? Hier kannst du selbst schlussfolgern. Beide haben denselben Nachbarn:

• $\alpha$ und $\beta$ sind Nebenwinkel, also $\alpha = 180° - \beta$.
• $\gamma$ und $\beta$ sind auch Nebenwinkel, also $\gamma = 180° - \beta$.

Beide Winkel sind also gleich dem selben Wert $180° - \beta$, und damit gleich groß.

Das ist ein echter Beweis, kein „das sieht man". Du hast nur die Nebenwinkel-Regel zweimal angewendet.

Ein Beispiel

Ist $\alpha = 70°$, dann folgt sofort:

• $\beta = 180° - 70° = 110°$ (Nebenwinkel)
• $\gamma = 70°$ (Scheitelwinkel zu $\alpha$)
• $\delta = 110°$ (Scheitelwinkel zu $\beta$)

Kontrolle: Alle vier Winkel zusammen müssen $360°$ ergeben, denn sie umrunden den Schnittpunkt vollständig:

Jetzt kommen drei Geraden ins Spiel: Eine Gerade $s$ schneidet zwei parallele Geraden $g$ und $h$.

Dabei entstehen acht Winkel, vier an jeder Kreuzung. Das klingt nach viel Rechnerei. Tatsächlich gibt es aber nur zwei verschiedene Größen.

Warum an beiden Kreuzungen dasselbe passiert

Der Grund liegt in der Bedeutung von „parallel": Parallele Geraden haben überall dieselbe Richtung, sie laufen exakt gleich.

Stell dir vor, du schiebst die untere Kreuzung entlang der Geraden $s$ nach oben zur anderen Parallelen. Was ändert sich dabei?

Nichts. Die Richtung von $s$ bleibt gleich, und die Richtung der Parallelen bleibt auch gleich. Also müssen an der oberen Kreuzung dieselben Winkel entstehen wie an der unteren.

Ist das ein Beweis? Nicht ganz, und das sagen wir lieber offen. Beim Scheitelwinkelsatz oben hast du die Gleichheit wirklich hergeleitet, aus der Nebenwinkel-Regel. Hier dagegen stützt sich die Überlegung darauf, was „parallel" überhaupt heißt: dass zwei Parallelen überall gleich verlaufen. Das ist eine Grundannahme über Parallelen. Man kann sie nicht aus etwas Einfacherem herleiten, sondern legt sie fest, weil sie der Anschauung entspricht. (In der Mathematik ist das eine berühmte Stelle: Über genau diese Annahme haben Mathematiker jahrhundertelang gestritten.)

Ab hier folgt dann alles Weitere streng, aus dieser einen Annahme und den Regeln des vorigen Abschnitts.

Stufenwinkel (F-Winkel)

Zwei Winkel, die an den beiden Parallelen in der gleichen Lage liegen, also beide zum Beispiel „rechts oberhalb", heißen Stufenwinkel.

Nach der Überlegung von eben sind sie gleich groß.

In der Zeichnung bilden die beteiligten Linien oft ein liegendes F, daher der Name F-Winkel.

Wechselwinkel (Z-Winkel)

Zwei Winkel, die innen zwischen den Parallelen liegen, aber auf verschiedenen Seiten der Geraden $s$, heißen Wechselwinkel. Auch sie sind gleich groß.

Und das musst du nicht extra lernen. Es folgt aus dem, was du schon weißt:

1. Der Stufenwinkel an der zweiten Parallelen ist gleich groß (Stufenwinkelsatz).
2. Dessen Scheitelwinkel ist ebenfalls gleich groß (Scheitelwinkelsatz aus dem vorigen Abschnitt).
3. Und dieser Scheitelwinkel ist genau der Wechselwinkel.

Die Linien bilden dabei ein Z, daher Z-Winkel.

Nur zwei Zahlen für acht Winkel

Weil sich an jeder Kreuzung Neben- und Scheitelwinkel abwechseln und beide Kreuzungen gleich aussehen, gibt es insgesamt nur zwei Werte. Und die ergänzen sich zu $180°$.

Beispiel: Ist ein Winkel $52°$, dann sind vier der acht Winkel $52°$ groß und die anderen vier $180° - 52° = 128°$.

Die Voraussetzung, die man nicht vergessen darf

Stufen- und Wechselwinkelsatz gelten nur bei parallelen Geraden.

Sind die Geraden nicht parallel, laufen sie ja aufeinander zu. Dann sind die Winkel an den beiden Kreuzungen verschieden. Suche in der Aufgabe deshalb immer den Hinweis $g \parallel h$, bevor du die Sätze anwendest.

Scheitel- und Nebenwinkel brauchen diese Voraussetzung nicht, sie funktionieren an jeder Kreuzung.

Und die Umkehrung?

Es gilt auch: Sind zwei Stufenwinkel gleich groß, dann sind die Geraden parallel. Damit kannst du Parallelität prüfen, ohne die Geraden zu verlängern.

Achtung. Das ist eine eigene Aussage. Aus „parallel $\Rightarrow$ gleiche Stufenwinkel" folgt sie nicht von selbst. Genauso wenig folgt aus „jedes Quadrat ist ein Rechteck", dass jedes Rechteck ein Quadrat ist. Eine Umkehrung muss man immer eigens prüfen.

Hier lässt sie sich einsehen. Zeichne durch den Schnittpunkt auf $h$ die Parallele zu $g$:

1. Nach dem Stufenwinkelsatz bildet diese Parallele mit $s$ denselben Stufenwinkel wie $g$.
2. Wenn nun auch $h$ an dieser Stelle denselben Winkel mit $s$ bildet, dann fallen $h$ und die Parallele zusammen, denn durch einen Punkt gibt es zu einem gegebenen Winkel nur eine solche Gerade. Genau das hast du beim Winkelzeichnen benutzt: Scheitel, ein Schenkel und die Gradzahl legen den zweiten Schenkel eindeutig fest.
3. Also ist $h$ selbst die Parallele zu $g$.