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Arithmetik / Zahlen

Längen, Massen und Zeit

Größen schätzen, messen, umwandeln und mit ihnen rechnen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie lang ist ein Fußballfeld? Wie schwer ein Elefant? Wie viele Minuten dauern deine Sommerferien? Um solche Fragen zu beantworten, brauchst du Größen: Längen, Massen und Zeitspannen, mit ihren Einheiten und den Regeln zum Umwandeln. Wer Einheiten sicher beherrscht, dem gelingen auch alle Sachaufgaben.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Einheiten für Länge, Masse und Zeit kennen und passende Repräsentanten nennen (1 m ≈ ein großer Schritt).

  • Größen schätzen, messen, vergleichen und ordnen.

  • Größenangaben sicher umwandeln, auch mit Kommaschreibweise.

  • mit Größen rechnen und Einheiten sinnvoll wählen.

Größen und ihre Einheiten

Eine Größe besteht immer aus zwei Teilen: einer Maßzahl und einer Einheit. Bei 5 km5\,\text{km} ist 55 die Maßzahl und km die Einheit. Nur Größen mit gleicher Einheit kannst du direkt vergleichen oder addieren.

Längen

1 km=1 000 m1 m=10 dm=100 cm=1 000 mm1\,\text{km} = 1\,000\,\text{m} \qquad 1\,\text{m} = 10\,\text{dm} = 100\,\text{cm} = 1\,000\,\text{mm}

Von mm über cm und dm zu m ist der Umrechnungsfaktor jeweils 10, nur zwischen m und km ist er 1000.

Zum Schätzen helfen Merkbilder: 1 mm1\,\text{mm} ≈ Dicke einer Münze, 1 cm1\,\text{cm} ≈ Fingernagelbreite, 1 m1\,\text{m} ≈ ein großer Schritt, 1 km1\,\text{km} ≈ 12–15 Minuten zu Fuß.

Massen

1 t=1 000 kg1 kg=1 000 g1\,\text{t} = 1\,000\,\text{kg} \qquad 1\,\text{kg} = 1\,000\,\text{g}

Merkbilder: 1 g1\,\text{g} ≈ eine Büroklammer, 1 kg1\,\text{kg} ≈ ein Päckchen Mehl, 1 t1\,\text{t} ≈ ein Kleinwagen.

Zeit: Achtung, Faktor 60!

Bei der Zeit ist alles ein bisschen anders:

1 min=60 s1 h=60 min1 Tag=24 h1\,\text{min} = 60\,\text{s} \qquad 1\,\text{h} = 60\,\text{min} \qquad 1\,\text{Tag} = 24\,\text{h}

Der Umrechnungsfaktor ist hier 60 (bzw. 24), nicht 10 oder 100! Das ist die häufigste Fehlerquelle. Deshalb sind 1,5 h1{,}5\,\text{h} eben nicht 150 Minuten, sondern 9090 Minuten (denn 0,5 h=30 min0{,}5\,\text{h} = 30\,\text{min}).

Umwandeln: eine Stufe rauf oder runter

Zum Umwandeln stell dir eine Treppe vor, auf der die Einheiten von der größten bis zur kleinsten stehen (Bild unten).

  • Eine Stufe nach unten (in die kleinere Einheit): du multiplizierst mit dem Faktor.   3 m=3⋅100=300 cm\;3\,\text{m} = 3 \cdot 100 = 300\,\text{cm}.
  • Eine Stufe nach oben (in die größere Einheit): du dividierst.   4 500 g=4 500:1 000=4,5 kg\;4\,500\,\text{g} = 4\,500 : 1\,000 = 4{,}5\,\text{kg}.

Warum mal und wann geteilt?

Diese beiden Fälle werden am häufigsten verwechselt. Merke sie dir nicht auswendig, überlege stattdessen kurz mit.

Eine kleinere Einheit ist ein kleinerer Baustein. Von kleinen Bausteinen brauchst du für dieselbe Länge mehr Stück. Also muss die Maßzahl größer werden, und das erreichst du durch Multiplizieren.

3 m=300 cm3\,\text{m} = 300\,\text{cm}

Ein Zentimeter ist winzig gegen einen Meter, deshalb sind es entsprechend viele.

Umgekehrt bei einer größeren Einheit: Von großen Bausteinen brauchst du weniger. Die Maßzahl wird kleiner, du dividierst.

4 500 g=4,5 kg4\,500\,\text{g} = 4{,}5\,\text{kg}

Der Selbsttest in zwei Sekunden: Frage dich nach dem Umwandeln, ob die neue Zahl größer oder kleiner geworden ist, und ob das zur Einheit passt. Wer 3 m3\,\text{m} zu 0,03 cm0{,}03\,\text{cm} macht, merkt das sofort.

Kommaschreibweise

3,45 m3{,}45\,\text{m} bedeutet 3 m3\,\text{m} und 45 cm45\,\text{cm}, das Komma trennt die Einheit von der nächstkleineren Stufe.

Warum funktioniert das so schön? Weil die Umrechnungsfaktoren bei Längen und Massen 1010, 100100 oder 1 0001\,000 sind, genau die Sprünge des Stellenwertsystems. Beim Umwandeln wandert deshalb nur das Komma, die Ziffern bleiben stehen:

3,45 m  →  345 cm(Komma zwei Stellen nach rechts, denn 1 m=100 cm)3{,}45\,\text{m} \;\to\; 345\,\text{cm} \quad (\text{Komma zwei Stellen nach rechts, denn } 1\,\text{m} = 100\,\text{cm})

Bei der Zeit funktioniert das nicht. Dort ist der Faktor 6060, und 6060 ist keine Stufe unseres Zehnersystems. Deshalb ist 1,5 h1{,}5\,\text{h} eben nicht „1 h 5 min" und auch nicht „1 h 50 min", sondern 1 h  30 min1\,\text{h}\;30\,\text{min}.

· 10: 10· 10: 10· 10: 10mdmcmmm

Die Längen-Treppe: jede Stufe nach rechts bedeutet · 10 (kleinere Einheit), jede Stufe nach links : 10 (größere Einheit).

Denk weiter: 3,45 m sind 3 m und 45 cm. Gilt das genauso für 3,45 kg und für 3,45 Stunden?

Überlege bei jedem Fall erst selbst, schau dazu auf den Umrechnungsfaktor.

Länge: 1 m=100 cm1\,\text{m} = 100\,\text{cm}, zwei Nullen, also zwei Stellen hinter dem Komma.

3,45 m=3 m  45 cm  ✓3{,}45\,\text{m} = 3\,\text{m} \; 45\,\text{cm} \; ✓

Masse: 1 kg=1 000 g1\,\text{kg} = 1\,000\,\text{g}, drei Nullen. Hinter dem Komma stehen deshalb Gramm an der dritten Stelle:

3,45 kg=3 kg  450 g3{,}45\,\text{kg} = 3\,\text{kg} \; 450\,\text{g}

Nicht 45 g45\,\text{g}! Die 4545 steht hier für 450450, weil noch eine Stelle fehlt.

Zeit: 1 h=60 min1\,\text{h} = 60\,\text{min}, und 6060 ist keine Stufe unseres Zehnersystems.

3,45 h=3 h+0,45⋅60 min=3 h  27 min3{,}45\,\text{h} = 3\,\text{h} + 0{,}45 \cdot 60\,\text{min} = 3\,\text{h} \; 27\,\text{min}

Was du daraus mitnimmst

Die Kommaschreibweise funktioniert nur dann so bequem, wenn der Umrechnungsfaktor 1010, 100100 oder 1 0001\,000 ist, also eine Stufe des Zehnersystems.

Schau deshalb immer zuerst auf den Faktor, bevor du das Komma liest. Bei der Zeit hilft er dir gar nicht; dort rechnest du mit 6060.

Rechnen mit Größen

Willst du mit mehreren Größen rechnen, gilt eine einzige Grundregel: Bringe zuerst alle Angaben in dieselbe Einheit, am besten in die kleinste, die vorkommt. Erst dann addierst, subtrahierst oder vergleichst du.

Warum das sein muss

Schau dir an, was sonst passiert:

3 m+40 cm  ≠  433\,\text{m} + 40\,\text{cm} \;\neq\; 43

Die 33 zählt Meter, die 4040 zählt Zentimeter. Das sind völlig verschiedene Bausteine. Sie einfach zusammenzuzählen wäre, als würdest du 33 Äpfel und 4040 Birnen zu „4343 Äpfeln" machen.

Erst wenn beide Angaben dieselbe Einheit haben, zählen sie dasselbe und dürfen addiert werden:

3 m=300 cm⇒300 cm+40 cm=340 cm3\,\text{m} = 300\,\text{cm} \quad \Rightarrow \quad 300\,\text{cm} + 40\,\text{cm} = 340\,\text{cm}

Das ist übrigens genau derselbe Gedanke wie beim stellengerechten Untereinanderschreiben in der schriftlichen Addition: Nur Gleiches darf mit Gleichem verrechnet werden.

Welche Einheit nimmst du?

Wandle am besten in die kleinste vorkommende Einheit um. Dann entstehen keine Kommazahlen, und du rechnest mit ganzen Zahlen. Das ist weniger fehleranfällig.

Am Ende darfst du das Ergebnis wieder in eine handliche Einheit umwandeln: 340 cm340\,\text{cm} schreibt man besser als 3,40 m3{,}40\,\text{m}.

Ein kurzer Schätz-Check verrät dir zum Schluss, ob dein Ergebnis realistisch ist: Ein Bleistift, der plötzlich 17 m17\,\text{m} lang wäre, kann nicht stimmen.

Längen umwandeln

Wandle um: a) 3,45 m3{,}45\,\text{m} in cm b) 7 200 m7\,200\,\text{m} in km c) 8 cm  3 mm8\,\text{cm}\;3\,\text{mm} in mm

  1. 1

    Was ist gesucht? Dieselben Längen, nur in einer anderen Einheit ausgedrückt. Die Länge selbst ändert sich dabei nicht, nur die Maßzahl und die Einheit.

    Gehe bei jeder Teilaufgabe gleich vor: erst den Faktor bestimmen, dann entscheiden ob mal oder geteilt, dann rechnen, dann prüfen.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Faktor und Richtung bestimmen.

    Von m nach cm: Es gilt 1 m=100 cm1\,\text{m} = 100\,\text{cm}, der Faktor ist also 100100.

    cm ist die kleinere Einheit → du brauchst mehr Stück → die Zahl wird größer → multiplizieren.

  3. 3

    Teil a): Schritt 2: Rechnen.

    3,45⋅100=3453{,}45 \cdot 100 = 345

    Also 3,45 m=345 cm3{,}45\,\text{m} = 345\,\text{cm}.

    Beim Multiplizieren mit 100100 wandert das Komma zwei Stellen nach rechts, und wandert hier gleich ganz aus der Zahl heraus.

  4. 4

    Teil b): Schritt 3: Wieder Faktor und Richtung.

    Von m nach km: 1 km=1 000 m1\,\text{km} = 1\,000\,\text{m}, Faktor 1 0001\,000.

    km ist die größere Einheit → du brauchst weniger Stück → dividieren:

    7 200:1 000=7,27\,200 : 1\,000 = 7{,}2

    Also 7 200 m=7,2 km7\,200\,\text{m} = 7{,}2\,\text{km}.

  5. 5

    Teil c): Schritt 4: Zuerst auf eine Einheit bringen.

    Hier stehen zwei Einheiten in einer Angabe. Gesucht sind mm, also wandelst du zuerst den cm-Teil um:

    8 cm=8⋅10=80 mm8\,\text{cm} = 8 \cdot 10 = 80\,\text{mm}
  6. 6

    Teil c): Schritt 5: Jetzt erst addieren.

    Beide Teile sind nun in mm, erst jetzt darfst du sie zusammenzählen:

    80 mm+3 mm=83 mm80\,\text{mm} + 3\,\text{mm} = 83\,\text{mm}
  7. 7

    Schritt 6: Alle Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.

    • 3,45 m→345 cm3{,}45\,\text{m} \to 345\,\text{cm}: Zahl größer, Einheit kleiner ✓
    • 7 200 m→7,2 km7\,200\,\text{m} \to 7{,}2\,\text{km}: Zahl kleiner, Einheit größer ✓
    • 8 cm 3 mm→83 mm8\,\text{cm}\,3\,\text{mm} \to 83\,\text{mm}: etwa eine Handbreite, realistisch ✓

    Dieser Blick dauert Sekunden und findet jede vertauschte Richtung.

a) 345 cm345\,\text{cm} · b) 7,2 km7{,}2\,\text{km} · c) 83 mm83\,\text{mm}

Mit Zeitspannen rechnen

Ein Film beginnt um 19:35 Uhr und dauert 2 h 40 min. Wann endet er?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: Startzeit 19 ⁣: ⁣3519\!:\!35 Uhr und die Dauer 2 h  40 min2\,\text{h}\;40\,\text{min}. Gesucht: die Endzeit.

    Achtung, hier lauert die Zeit-Falle: Bei Uhrzeiten gilt der Faktor 6060, nicht 100100. Du darfst also nicht einfach 19,35+2,4019{,}35 + 2{,}40 rechnen.

  2. 2

    Schritt 1: Die Rechnung aufteilen.

    Nimm dir Stunden und Minuten getrennt vor. Beginne mit den Stunden, da kann nichts überlaufen:

    19 ⁣: ⁣35+2 h=21 ⁣: ⁣35 Uhr19\!:\!35 + 2\,\text{h} = 21\!:\!35 \text{ Uhr}
  3. 3

    Schritt 2: Die Minuten in zwei Portionen aufteilen.

    Jetzt fehlen noch 4040 Minuten. Statt 35+4035 + 40 zu rechnen (und dann mit 7575 Minuten dazustehen), gehst du über die volle Stunde.

    Frage: Wie viele Minuten sind es von 21 ⁣: ⁣3521\!:\!35 bis 22 ⁣: ⁣0022\!:\!00?

    60−35=25 Minuten60 - 35 = 25 \text{ Minuten}
  4. 4

    Schritt 3: Die erste Portion verbrauchen.

    21 ⁣: ⁣35+25 min=22 ⁣: ⁣00 Uhr21\!:\!35 + 25\,\text{min} = 22\!:\!00 \text{ Uhr}

    Von den 4040 Minuten sind damit 2525 aufgebraucht.

  5. 5

    Schritt 4: Den Rest addieren.

    40−25=15 Minuten40 - 25 = 15 \text{ Minuten} 22 ⁣: ⁣00+15 min=22 ⁣: ⁣15 Uhr22\!:\!00 + 15\,\text{min} = 22\!:\!15 \text{ Uhr}
  6. 6

    Schritt 5: Probe durch Rückrechnen.

    Rechne von der Endzeit die Dauer zurück: 22 ⁣: ⁣1522\!:\!15 minus 2 h2\,\text{h} ergibt 20 ⁣: ⁣1520\!:\!15, minus 40 min40\,\text{min} ergibt 19 ⁣: ⁣3519\!:\!35 ✓. Das ist die Startzeit.

    Merke dir den Trick mit der vollen Stunde. Er funktioniert bei jeder Zeitaufgabe und verhindert unmögliche Uhrzeiten wie „21 ⁣: ⁣7521\!:\!75".

Der Film endet um 22:15 Uhr.

Typischer Fehler

1,5 h=1 h  50 min1{,}5\,\text{h} = 1\,\text{h}\;50\,\text{min}, „hinter dem Komma stehen doch die Minuten".

Bei der Zeit gilt der Faktor 60: 0,5 h0{,}5\,\text{h} ist die Hälfte einer Stunde, also 3030 Minuten. Richtig: 1,5 h=1 h  30 min=90 min1{,}5\,\text{h} = 1\,\text{h}\;30\,\text{min} = 90\,\text{min}. Die Kommaschreibweise „wie bei Metern" funktioniert nur bei Einheiten mit Zehner-Faktoren, niemals bei Stunden und Minuten.

Übung 1

leicht

Wandle um: a) 6 km6\,\text{km} in m b) 3 500 g3\,500\,\text{g} in kg c) 4 min4\,\text{min} in s

Tipp anzeigen

Kleinere Einheit → mal, größere Einheit → geteilt.

Lösung anzeigen

a) 6⋅1 000=6 000 m6 \cdot 1\,000 = 6\,000\,\text{m}

b) 3 500:1 000=3,5 kg3\,500 : 1\,000 = 3{,}5\,\text{kg}

c) 4⋅60=240 s4 \cdot 60 = 240\,\text{s}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Umrechnungszahl bestimmen

    Jede Umwandlung braucht zuerst die Umrechnungszahl: 1 km=1 000 m1\,\text{km} = 1\,000\,\text{m}, 1 kg=1 000 g1\,\text{kg} = 1\,000\,\text{g}, 1 min=60 s1\,\text{min} = 60\,\text{s}.

  2. 2

    Richtung festlegen: mal oder geteilt?

    In die KLEINERE Einheit (km→m, min→s): multiplizieren, denn es werden mehr Einheiten. In die GRÖSSERE Einheit (g→kg): dividieren.

  3. 3

    Alle drei Umwandlungen ausführen

    a) 6⋅1 000=6 000 m6 \cdot 1\,000 = 6\,000\,\text{m}. b) 3 500:1 000=3,5 kg3\,500 : 1\,000 = 3{,}5\,\text{kg}. c) 4⋅60=240 s4 \cdot 60 = 240\,\text{s}.

    6⋅1 000=6 000,3 500:1 000=3,5,4⋅60=2406 \cdot 1\,000 = 6\,000, \quad 3\,500 : 1\,000 = 3{,}5, \quad 4 \cdot 60 = 240

Übung 2

mittel

Ordne der Größe nach (kleinste zuerst):   2,3 kg\;2{,}3\,\text{kg};   2 kg  80 g\;2\,\text{kg}\;80\,\text{g};   2 150 g\;2\,150\,\text{g};   2 kg  300 g\;2\,\text{kg}\;300\,\text{g}

Tipp anzeigen

Wandle alles in Gramm um.

Lösung anzeigen

2,3 kg=2 300 g2{,}3\,\text{kg} = 2\,300\,\text{g} · 2 kg 80 g=2 080 g2\,\text{kg}\,80\,\text{g} = 2\,080\,\text{g} · 2 150 g2\,150\,\text{g} · 2 kg 300 g=2 300 g2\,\text{kg}\,300\,\text{g} = 2\,300\,\text{g}

Reihenfolge: 2 080 g<2 150 g<2 300 g=2 300 g2\,080\,\text{g} < 2\,150\,\text{g} < 2\,300\,\text{g} = 2\,300\,\text{g}

Also: 2 kg  80 g<2 150 g<2,3 kg=2 kg  300 g2\,\text{kg}\;80\,\text{g} < 2\,150\,\text{g} < 2{,}3\,\text{kg} = 2\,\text{kg}\;300\,\text{g}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gemeinsame Einheit wählen

    Vergleichen kann man nur in DERSELBEN Einheit. Am bequemsten ist die kleinste vorkommende: Gramm, dann verschwinden alle Kommas.

  2. 2

    Alle vier Angaben umwandeln

    2,3 kg=2 300 g2{,}3\,\text{kg} = 2\,300\,\text{g};   2 kg 80 g=2 080 g\;2\,\text{kg}\,80\,\text{g} = 2\,080\,\text{g};   2 150 g\;2\,150\,\text{g} bleibt;   2 kg 300 g=2 300 g\;2\,\text{kg}\,300\,\text{g} = 2\,300\,\text{g}.

    Zwischenergebnis

    2 300,  2 080,  2 150,  2 3002\,300, \;2\,080, \;2\,150, \;2\,300 g

  3. 3

    Sortieren und Gleichstand erkennen

    Der Größe nach: 2 080<2 150<2 300=2 3002\,080 < 2\,150 < 2\,300 = 2\,300. Also: 2 kg 80 g<2 150 g<2,3 kg=2 kg 300 g2\,\text{kg}\,80\,\text{g} < 2\,150\,\text{g} < 2{,}3\,\text{kg} = 2\,\text{kg}\,300\,\text{g}.

Übung 3

schwer

Beim Staffellauf laufen vier Kinder nacheinander: 2 min  48 s2\,\text{min}\;48\,\text{s},   3 min  5 s\;3\,\text{min}\;5\,\text{s},   2 min  57 s\;2\,\text{min}\;57\,\text{s} und   3 min  12 s\;3\,\text{min}\;12\,\text{s}. Wie lange braucht die Staffel insgesamt?

Tipp anzeigen

Minuten und Sekunden getrennt addieren, dann Sekunden in Minuten umwandeln.

Lösung anzeigen

Minuten: 2+3+2+3=10 min2 + 3 + 2 + 3 = 10\,\text{min} · Sekunden: 48+5+57+12=122 s48 + 5 + 57 + 12 = 122\,\text{s}

122 s=2 min  2 s122\,\text{s} = 2\,\text{min}\;2\,\text{s}

Gesamt: 10 min+2 min  2 s=12 min  2 s10\,\text{min} + 2\,\text{min}\;2\,\text{s} = 12\,\text{min}\;2\,\text{s}

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Minuten und Sekunden getrennt sammeln

    Gemischte Zeitangaben addiert man sortenrein: Minuten zu Minuten (2+3+2+3=102+3+2+3 = 10), Sekunden zu Sekunden (48+5+57+12=12248+5+57+12 = 122).

  2. 2

    Die Sekunden umbündeln

    122122 s sind mehr als eine Minute: 122=60+60+2122 = 60 + 60 + 2, also 22 min 22 s.

    122 s=120 s+2 s=2 min  2 s122\,\text{s} = 120\,\text{s} + 2\,\text{s} = 2\,\text{min}\;2\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    22 min 22 s

  3. 3

    Zusammensetzen und prüfen

    Gesamt: 1010 min +2+ 2 min 22 s =12= 12 min 22 s. Plausibel: Vier Läufer zu je rund 33 min ergeben rund 1212 min ✓.

Zusammenfassung

Größen bestehen aus Maßzahl und Einheit. Beim Umwandeln gilt: kleinere Einheit → multiplizieren, größere → dividieren, mit Faktor 10/100/1000 bei Längen und Massen, aber 60 bei der Zeit. Vor jedem Rechnen bringst du alles auf eine gemeinsame Einheit, und ein kurzer Schätz-Check verrät dir, ob dein Ergebnis realistisch ist.