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Arithmetik / Zahlen

Addieren und Subtrahieren natürlicher Zahlen

Sicher addieren und subtrahieren, im Kopf, schriftlich und mit Rechenvorteilen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Addieren und Subtrahieren kannst du schon lange, aber kannst du es auch mit richtig großen Zahlen, blitzschnell im Kopf und ganz ohne Flüchtigkeitsfehler? In diesem Kapitel frischst du die schriftlichen Verfahren auf, lernst clevere Rechenvorteile kennen und erfährst, wie du jedes Ergebnis selbst kontrollieren kannst.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Fachbegriffe Summand, Summe, Minuend, Subtrahend, Differenz sicher verwenden.

  • schriftlich addieren, auch mit drei Summanden und Überträgen.

  • schriftlich subtrahieren, auch mit Überträgen.

  • Rechenvorteile nutzen: geschicktes Umordnen mit Kommutativ- und Assoziativgesetz.

  • jedes Ergebnis mit Probe oder kontrollieren.

  • die schriftliche Subtraktion auf zwei Wegen ausführen, durch Entbündeln („Borgen") und durch Ergänzen und erkennen, dass beide dasselbe Ergebnis liefern.

Was Addieren und Subtrahieren bedeutet

Addieren und Subtrahieren kennst du längst, jetzt bekommen die Teile ihre Fachnamen:

4 587⏟Summand+2 934⏟Summand=7 521⏟Summe7 204⏟Minuend−3 587⏟Subtrahend=3 617⏟Differenz\underbrace{4\,587}_{\text{Summand}} + \underbrace{2\,934}_{\text{Summand}} = \underbrace{7\,521}_{\text{Summe}} \qquad \underbrace{7\,204}_{\text{Minuend}} - \underbrace{3\,587}_{\text{Subtrahend}} = \underbrace{3\,617}_{\text{Differenz}}

Ein Unterschied ist wichtig: Beim Addieren ist die Reihenfolge egal, beim Subtrahieren nicht. 10−410 - 4 ergibt 66, aber 4−104 - 10 ergibt etwas ganz anderes (eine negative Zahl). Beim Minus musst du also genau hinschauen, was von was abgezogen wird.

Minus bedeutet zweierlei

Ein Minuszeichen kann zwei ganz verschiedene Situationen beschreiben, und beide führen zur selben Rechnung.

1. Wegnehmen. Du hattest 1212 Bonbons und isst 55 davon. Wie viele bleiben? 12−5=712 - 5 = 7.

2. Vergleichen (der Unterschied). Lena hat 1212 Bonbons, Tim hat 55. Wie viele hat Lena mehr? Auch hier: 12−5=712 - 5 = 7.

Beim zweiten Fall wird nichts weggenommen, trotzdem rechnest du minus. Das lohnt sich zu merken, denn in Sachaufgaben taucht der Unterschied oft in Worten wie „wie viel mehr", „wie viel fehlt noch" oder „um wie viel länger" auf.

Schau dir das Bild unten an: Der Unterschied ist genau der Abstand zwischen den beiden Zahlen auf der Zahlengeraden.

0512Unterschied 712 − 5 = 7Tim: 5Lena: 12

Der Unterschied ist der Abstand zwischen beiden Zahlen, hier 77 Schritte von 55 bis 1212. Deshalb rechnest du beim Vergleichen 12−512 - 5, obwohl niemand etwas wegnimmt.

Erkläre es selbst: Woran erkennst du in einer Textaufgabe, dass du subtrahieren musst, obwohl gar nichts weggenommen wird?

Formuliere es erst selbst, laut oder aufgeschrieben. Danach vergleichst du.

Eine mögliche Antwort: Immer dann, wenn zwei Größen verglichen werden. Gefragt ist dann der Unterschied, also der Abstand zwischen beiden Zahlen.

Solche Aufgaben erkennst du an Formulierungen wie:

  • „Wie viel mehr hat …?"
  • „Wie viel fehlt noch bis …?"
  • „Um wie viel ist … länger/schwerer/teurer?"
Lena 12 Bonbons,  Tim 5⇒12−5=7\text{Lena } 12 \text{ Bonbons}, \; \text{Tim } 5 \quad \Rightarrow \quad 12 - 5 = 7

Niemand isst hier etwas auf, trotzdem rechnest du minus, weil du den Abstand zwischen 55 und 1212 suchst.

(Deine Erklärung darf anders klingen, entscheidend ist, dass du Vergleichen als zweite Bedeutung des Minus erkannt hast.)

Schriftlich addieren und subtrahieren

Bei großen Zahlen rechnest du schriftlich, untereinander.

Schriftlich addieren

  1. Schreibe die Zahlen stellengerecht untereinander: Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, …
  2. Addiere spaltenweise von rechts nach links.
  3. Wird eine Spaltensumme zweistellig, schreibst du nur die Einerziffer hin und überträgst die 11 in die nächste Spalte links.

Warum überhaupt stellengerecht?

Weil du nur Gleiches mit Gleichem zusammenzählen darfst. Einer sind Einer, Zehner sind Zehner, das eine kannst du nicht zum anderen addieren, genauso wenig wie du 33 Äpfel und 44 Birnen zu „77 Äpfeln" machen kannst.

Stehen die Zahlen stellengerecht untereinander, steht in jeder Spalte automatisch nur eine Bündelsorte. Deshalb ist das saubere Untereinanderschreiben kein Ordnungszwang, sondern der eigentliche Trick des Verfahrens.

Warum der Übertrag entsteht

Rechne die Einerspalte 7+4+8=197 + 4 + 8 = 19. Aber an die Einerstelle passt nur eine Ziffer.

Erinnere dich ans Bündeln: 1919 Einer sind 11 Zehner und 99 Einer. Also schreibst du die 99 hin, und der eine Zehner wandert dorthin, wo die Zehner gezählt werden, eine Spalte nach links. Das ist der Übertrag.

Warum du rechts anfängst

Jetzt siehst du auch, warum die Richtung festliegt: Der Übertrag entsteht rechts und wirkt sich links aus.

Fängst du links an, weißt du noch gar nicht, ob von rechts noch ein Übertrag kommt, du müsstest dein Ergebnis später wieder ändern. Von rechts nach links kommt jeder Übertrag genau dann an, wenn du die Spalte brauchst.

Warum das Borgen beim Minus funktioniert

Beim Subtrahieren ist die obere Ziffer manchmal kleiner als die untere, etwa 4−74 - 7 in der Einerspalte.

Dann machst du das Bündeln rückgängig: Du nimmst dir einen Zehner von der Nachbarstelle und löst ihn in 1010 Einer auf. Aus 44 Einern werden so 1414 Einer, und 14−7=714 - 7 = 7 geht auf.

Der Wert der Zahl ändert sich dabei nicht, du hast nur anders gebündelt, so wie ein 1010-Euro-Schein und zehn 11-Euro-Münzen gleich viel wert sind. Genau deshalb ist „borgen" erlaubt.

Prüfe dich: Warum darfst du dir beim Subtrahieren einen Zehner von der Nachbarstelle borgen, ohne dass sich der Wert der Zahl ändert?

Weil du nichts wegnimmst, sondern nur anders bündelst.

Ein Zehner wird in 1010 Einer aufgelöst. Vorher waren es 11 Zehner und 44 Einer, danach 00 Zehner und 1414 Einer. Beides ist derselbe Wert.

1⋅10+4=140⋅10+14=141 \cdot 10 + 4 = 14 \qquad 0 \cdot 10 + 14 = 14

Genau wie ein 1010-Euro-Schein und zehn 11-Euro-Münzen gleich viel wert sind: Die Verpackung ändert sich, der Betrag nicht.

Denselben Gedanken nutzt der Übertrag beim Addieren, nur andersherum: Dort werden 1010 Einer zu einem Zehner zusammengefasst.

Rechenvorteile, aber Vorsicht beim Minus

Beim Addieren darfst du zwei Dinge tun, die dir viel Kopfrechnen sparen. Beide klingen selbstverständlich, schau trotzdem hin, warum sie gelten.

Die Reihenfolge darf getauscht werden

Lege 33 blaue und 55 rote Murmeln auf den Tisch und zähle sie zusammen. Jetzt vertausche die Häufchen und zähle noch einmal.

Es sind natürlich gleich viele. Es liegen ja dieselben Murmeln da, nur anders angeordnet. Genau das ist die Begründung:

3+5=5+33 + 5 = 5 + 3

Allgemein: a+b=b+aa + b = b + a. Diese Regel heißt Kommutativgesetz (von „kommutieren" = vertauschen).

Man darf frei gruppieren

Bei drei Häufchen darfst du außerdem selbst entscheiden, welche zwei du zuerst zusammenschiebst. Am Ende liegt sowieso alles auf einem Haufen:

(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)

Diese Regel heißt Assoziativgesetz.

Was dir das bringt

Zusammen erlauben dir beide Regeln, eine lange Summe frei umzustellen, und das nutzt du, um glatte Zahlen zu erzeugen:

197+256+3=(197+3)+256=200+256=456197 + 256 + 3 = (197 + 3) + 256 = 200 + 256 = 456

Mit 200200 rechnet es sich im Kopf viel leichter als mit 197197. Suche deshalb vor jeder längeren Summe kurz nach Paaren, die zusammen 1010, 100100 oder 1 0001\,000 ergeben.

Warum das beim Minus schiefgeht

Für die Subtraktion gelten diese Gesetze nicht.

Der Grund liegt in der Bedeutung: Beim Plus legst du zwei Häufchen zusammen, dabei ist egal, welches zuerst kommt. Beim Minus gibt es dagegen einen klaren Startwert, von dem etwas weggenommen wird.

10−410 - 4 heißt „nimm von zehn vier weg" und ergibt 66. 4−104 - 10 hieße „nimm von vier zehn weg". Das ist etwas ganz anderes.

Merke: Der Minuend bleibt vorn.

Prüfe dich: Warum darfst du beim Plus die Zahlen vertauschen, beim Minus aber nicht?

Weil beide Rechenarten etwas Verschiedenes beschreiben.

Beim Addieren legst du zwei Häufchen zusammen. Welches zuerst kommt, ändert nichts an der Gesamtzahl. Es liegen ja dieselben Dinge da:

3+5=5+33 + 5 = 5 + 3

Beim Subtrahieren gibt es dagegen einen klaren Startwert, von dem etwas weggenommen wird. Vertauschst du, veränderst du die Aufgabe:

10−4=6aber4−10   ist etwas ganz anderes10 - 4 = 6 \qquad\text{aber}\qquad 4 - 10 \;\text{ ist etwas ganz anderes}

Merke: Der Minuend bleibt vorn. Nur die Summanden einer Addition darfst du frei umstellen, und genau das nutzt du, um glatte Paare wie 48+52=10048 + 52 = 100 zu bilden.

Kontrolle: Probe und Überschlag

Gib nie ein Ergebnis ohne Kontrolle ab, dafür hast du drei Möglichkeiten.

  • Probe der Subtraktion: Rechne Differenz+Subtrahend\text{Differenz} + \text{Subtrahend}. Kommt der Minuend heraus, stimmt es: 3 617+3 587=7 2043\,617 + 3\,587 = 7\,204 ✓.
  • Probe der Addition: Addiere die Summanden noch einmal in anderer Reihenfolge.
  • : Runde die Zahlen und prüfe, ob die Größenordnung passt, so entlarvst du grobe Fehler sofort.

Warum ausgerechnet plus rechnen die Subtraktion prüft

Die erste Probe sieht seltsam aus: Du hast minus gerechnet, und kontrollierst mit plus. Wieso geht das?

Weil Plus und Minus Gegenspieler sind. Nimmst du von 7 2047\,204 genau 3 5873\,587 weg, bleiben 3 6173\,617 übrig. Legst du die weggenommenen 3 5873\,587 wieder dazu, muss zwangsläufig der Startwert herauskommen:

3 617+3 587=7 204  ✓3\,617 + 3\,587 = 7\,204 \; ✓

Stimmt das nicht, hast du dich sicher irgendwo verrechnet.

Das ist die zuverlässigste Kontrolle, die du hast, und sie dauert weniger als eine Minute. Nutze sie in jeder Klassenarbeit.

Welche Kontrolle wann?

  • Der Überschlag findet große Fehler (verrutschte Stelle, vergessener Übertrag) und geht blitzschnell.
  • Die Probe findet auch kleine Fehler, dauert aber so lange wie die Aufgabe selbst.

Am besten machst du beides: den Überschlag vorher als grobe Erwartung, die Probe hinterher als Beweis.

Zwei Wege beim schriftlichen Minus

Beim schriftlichen Subtrahieren gibt es zwei Verfahren. Beide sind richtig, beide liefern dasselbe Ergebnis, welches du benutzt, hängt davon ab, wie es dir deine Lehrerin oder dein Lehrer gezeigt hat.

Schau in dein Heft: Steht dort „1 gemerkt" unter dem Ergebnis, rechnest du mit dem Ergänzungsverfahren. Steht dort ein durchgestrichener Zehner oder eine kleine 11 über der oberen Zahl, rechnest du mit dem Entbündeln.

Weg 1: Entbündeln („Borgen")

Das ist der Weg, den du oben kennengelernt hast: Reicht die obere Ziffer nicht, holst du dir einen Zehner von der Nachbarstelle und löst ihn in zehn Einer auf.

Weg 2: Ergänzen („Auffüllen")

Hier fragst du in jeder Spalte nicht „wie viel bleibt übrig?", sondern „wie viel fehlt?", du zählst von der unteren Zahl zur oberen hoch.

Rechne   523−178  \;523 - 178\; Spalte für Spalte, immer von unten nach oben:

SpalteFrageAntwortÜbertrag
Einer88 und wie viel ist 1313?5511 gemerkt
Zehner77 plus die gemerkte 11 ist 88, und wie viel ist 1212?4411 gemerkt
Hunderter11 plus die gemerkte 11 ist 22, und wie viel ist 55?33–
523−178=345523 - 178 = 345

Warum das erlaubt ist

Beim Ergänzen tust du in Wirklichkeit etwas anderes als beim Borgen: Du machst die obere Zahl nicht kleiner, sondern rechnest mit einer geliehenen Zehn weiter und gleichst das aus, indem du den gemerkten Übertrag zur unteren Zahl addierst.

Warum das nichts kaputt macht, siehst du an der zweiten Bedeutung des Minus, dem Abstand:

523−178=5523 - 178 = 5

ist der Abstand zwischen 178178 und 523523. Addierst du zu beiden Zahlen dasselbe, bleibt der Abstand gleich, genau wie zwei Läufer den gleichen Vorsprung behalten, wenn beide zehn Meter vorrücken. Und nichts anderes passiert hier: Die geliehene 1010 in der einen Spalte wird durch den gemerkten 11 Zehner in der nächsten Spalte wieder ausgeglichen.

Beide Wege an derselben Aufgabe

EntbündelnErgänzen
Einer13−8=513 - 8 = 5 (Zehner geholt)88 und 55 ist 1313 (11 gemerkt)
Zehner11−7=411 - 7 = 4 (Hunderter geholt)7+1=87 + 1 = 8, und 44 ist 1212 (11 gemerkt)
Hunderter4−1=34 - 1 = 31+1=21 + 1 = 2, und 33 ist 55
Ergebnis345345345345

Dieselbe Aufgabe, dieselbe Antwort, zwei Denkwege. Wähle einen und bleibe dabei, wer mitten in der Rechnung wechselt, verrechnet sich fast sicher.

Schriftliche Addition mit drei Summanden

Berechne schriftlich: 4 587+2 934+6084\,587 + 2\,934 + 608

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht? Drei Summanden sollen zu einer Summe zusammengefasst werden. Drei Zahlen auf einmal sind kein Problem, du addierst trotzdem spaltenweise.

    Vorher der (damit du eine Erwartung hast): 4 600+2 900+600=8 1004\,600 + 2\,900 + 600 = 8\,100. Das Ergebnis muss also ungefähr 8 1008\,100 sein.

  2. 2

    Schritt 1: Stellengerecht untereinander schreiben.

    4 5872 934+     608\begin{array}{r} 4\,587 \\ 2\,934 \\ +\;\;\,608 \\ \hline \end{array}

    Achte auf die 608608: Sie ist nur dreistellig, deshalb rückt sie nach rechts ein, ihre 88 muss unter den Einern stehen, nicht unter den Zehnern.

  3. 3

    Schritt 2: Einerspalte.

    7+4+8=197 + 4 + 8 = 19

    1919 Einer sind 11 Zehner und 99 Einer. Du schreibst die 99 hin und überträgst den einen Zehner in die Zehnerspalte.

  4. 4

    Schritt 3: Zehnerspalte (Übertrag nicht vergessen!).

    8+3+0+1⏟U¨bertrag=128 + 3 + 0 + \underbrace{1}_{\text{Übertrag}} = 12

    Also 22 hinschreiben, 11 weiter übertragen.

  5. 5

    Schritt 4: Hunderterspalte.

    5+9+6+1⏟U¨bertrag=215 + 9 + 6 + \underbrace{1}_{\text{Übertrag}} = 21

    11 hinschreiben, 22 übertragen. Ein Übertrag muss also nicht immer 11 sein, bei drei Summanden kann er auch größer werden.

  6. 6

    Schritt 5: Tausenderspalte.

    4+2+2⏟U¨bertrag=84 + 2 + \underbrace{2}_{\text{Übertrag}} = 8

    Hier steht kein Übertrag mehr an, die Rechnung ist zu Ende:

    4 587+2 934+608=8 1294\,587 + 2\,934 + 608 = 8\,129
  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle mit dem Überschlag von oben.

    Erwartet hattest du rund 8 1008\,100, herausgekommen ist 8 1298\,129. Das passt. ✓

    Wäre etwa 7 1297\,129 herausgekommen, hättest du sofort gewusst: Da fehlt ein Übertrag.

4 587+2 934+608=8 1294\,587 + 2\,934 + 608 = 8\,129

Schriftliche Subtraktion mit Übertrag

Berechne schriftlich: 7 204−3 5877\,204 - 3\,587

  1. 1

    Was ist gesucht? Die Differenz. Der Minuend 7 2047\,204 steht oben, der Subtrahend 3 5873\,587 darunter, diese Reihenfolge darfst du nicht tauschen.

    vorab: 7 200−3 600=3 6007\,200 - 3\,600 = 3\,600. Ungefähr so groß muss das Ergebnis sein.

  2. 2

    Schritt 1: Einerspalte, hier klemmt es.

    4−74 - 7 geht nicht, die obere Ziffer ist zu klein.

    Also borgst du dir einen Zehner von nebenan und löst ihn in 1010 Einer auf: Aus 44 werden 1414.

    14−7=714 - 7 = 7

    Den geborgten Zehner merkst du dir als Übertrag 11 für die nächste Spalte.

  3. 3

    Schritt 2: Zehnerspalte.

    Der Übertrag kommt zum unteren Wert dazu: 8+1=98 + 1 = 9.

    0−90 - 9 geht wieder nicht → borgen: 10−9=110 - 9 = 1, Übertrag 11.

  4. 4

    Schritt 3: Hunderterspalte.

    Unten: 5+1=65 + 1 = 6. Oben steht 22.

    2−62 - 6 geht nicht → borgen: 12−6=612 - 6 = 6, Übertrag 11.

  5. 5

    Schritt 4: Tausenderspalte.

    Unten: 3+1=43 + 1 = 4. Oben steht 77.

    7−4=37 - 4 = 3

    Ergebnis: 3 6173\,617.

  6. 6

    Schritt 5: Probe, die sicherste Kontrolle.

    Rechne Differenz+Subtrahend\text{Differenz} + \text{Subtrahend}; es muss der Minuend herauskommen:

    3 617+3 587=7 204  ✓3\,617 + 3\,587 = 7\,204 \; ✓
  7. 7

    Schritt 6: Und der Überschlag?

    Erwartet: rund 3 6003\,600. Ergebnis: 3 6173\,617. ✓ Beide Kontrollen bestätigen sich gegenseitig.

7 204−3 587=3 6177\,204 - 3\,587 = 3\,617

Rechenvorteil nutzen

Berechne geschickt im Kopf: 48+179+52+2148 + 179 + 52 + 21

  1. 1

    Was ist gesucht? Die Summe, aber „geschickt" heißt: ohne schriftliches Rechnen.

    Bevor du losrechnest, lohnt sich ein kurzer Blick auf die Zahlen. Genau dafür sind Kommutativ- und Assoziativgesetz da.

  2. 2

    Schritt 1: Nach Paaren suchen, die glatt werden.

    Schau auf die Einerziffern: 88 und 22 ergänzen sich zu 1010, ebenso 99 und 11.

    • 48+5248 + 52 → die Einer ergeben 1010
    • 179+21179 + 21 → die Einer ergeben ebenfalls 1010
  3. 3

    Schritt 2: Umordnen, und begründen, warum das erlaubt ist.

    48+179+52+21=(48+52)+(179+21)48 + 179 + 52 + 21 = (48 + 52) + (179 + 21)

    Erlaubt ist das durch das Kommutativgesetz (Reihenfolge tauschen) und das Assoziativgesetz (frei gruppieren). Beide gelten für die Addition.

  4. 4

    Schritt 3: Die Paare ausrechnen.

    48+52=100179+21=20048 + 52 = 100 \qquad 179 + 21 = 200

    Beide Male entsteht eine glatte Zahl, genau darauf hattest du es angelegt.

  5. 5

    Schritt 4: Die Zwischenergebnisse addieren.

    100+200=300100 + 200 = 300

    Das geht im Kopf, ganz ohne Untereinanderschreiben.

  6. 6

    Schritt 5: Gegenprobe.

    Rechne stur der Reihe nach: 48+179=22748 + 179 = 227, 227+52=279227 + 52 = 279, 279+21=300279 + 21 = 300. ✓

    Gleiches Ergebnis, aber deutlich mehr Aufwand. Der Blick auf die Einerziffern hat sich gelohnt.

48+179+52+21=30048 + 179 + 52 + 21 = 300

Ergänzen statt abziehen

Berechne im Kopf: 703−698703 - 698

  1. 1

    Was ist gesucht? Die Differenz von zwei Zahlen, die sehr nah beieinander liegen.

    Schriftlich gerechnet bräuchtest du hier gleich zwei Überträge, viel Arbeit für ein kleines Ergebnis. Es geht einfacher.

  2. 2

    Schritt 1: Die zweite Bedeutung des Minus nutzen.

    703−698703 - 698 heißt auch: Wie weit ist es von 698698 bis 703703? Also der Abstand zwischen beiden Zahlen auf der Zahlengeraden.

  3. 3

    Schritt 2: Von der kleineren Zahl hochzählen.

    Von 698698 bis zur nächsten glatten Zahl 700700 sind es 22 Schritte.

    Von 700700 weiter bis 703703 sind es 33 Schritte.

  4. 4

    Schritt 3: Die Schritte zusammenzählen.

    2+3=52 + 3 = 5

    Der Abstand beträgt also 55, und damit ist 703−698=5703 - 698 = 5.

  5. 5

    Schritt 4: Probe.

    5+698=703  ✓5 + 698 = 703 \; ✓
  6. 6

    Schritt 5: Wann lohnt sich dieser Weg?

    Immer dann, wenn die Zahlen nah beieinander liegen. Dann ist der Abstand klein und schnell erzählt.

    Liegen sie weit auseinander (etwa 7 204−3 5877\,204 - 3\,587), ist das schriftliche Verfahren schneller. Beide Wege sind richtig; du wählst den bequemeren.

703−698=5703 - 698 = 5

Typischer Fehler

52−3852 - 38: „Einer: 8−2=68 - 2 = 6, Zehner: 5−3=25 - 3 = 2, also 2626."

Hier wurde in der Einerspalte heimlich umgedreht: Statt 2−82 - 8 wurde 8−28 - 2 gerechnet. Aber beim Subtrahieren zählt die Reihenfolge! Richtig: 2−82 - 8 geht nicht, also Zehner leihen: 12−8=412 - 8 = 4, dann 4−3−1=14 - 3 - 1 = 1. Ergebnis: 52−38=1452 - 38 = 14. Probe: 14+38=5214 + 38 = 52 ✓

Typischer Fehler

„Beim Umordnen ist alles erlaubt: 100−20−30=100−30−20100 - 20 - 30 = 100 - 30 - 20... also darf ich auch 20−100−3020 - 100 - 30 rechnen."

Vorsicht: Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition. 100−20−30=50100 - 20 - 30 = 50 und 100−30−20=50100 - 30 - 20 = 50 stimmen zwar überein (die Subtrahenden darfst du untereinander tauschen), aber der Minuend muss vorn bleiben! 20−10020 - 100 wäre etwas völlig anderes.

Übertrag beim Ergänzen

523−178523 - 178: „Einer: 88 und 55 ist 1313, also 55, 11 gemerkt. Zehner: 77 und 55 ist 1212, also 55 …"

Der gemerkte Übertrag wurde vergessen. Beim Ergänzungsverfahren gehört er zur unteren Zahl, also zum Subtrahenden: In der Zehnerspalte rechnest du nicht „77 und wie viel ist 1212?", sondern erst 7+1=87 + 1 = 8 und dann „88 und wie viel ist 1212?", die Antwort ist 44, nicht 55.

Merksatz: Beim Ergänzen wandert das Gemerkte nach unten (zum Subtrahenden). Beim Entbündeln holst du dir etwas von oben (vom Minuenden). Wer beides mischt, rechnet den Übertrag doppelt oder gar nicht.

Richtig ist 523−178=345523 - 178 = 345; die Probe 345+178=523345 + 178 = 523 bestätigt es.

Übung 1

leicht

Berechne schriftlich: a) 3 456+1 2383\,456 + 1\,238 b) 5 872−2 3415\,872 - 2\,341

Tipp anzeigen

Stellengerecht untereinander schreiben, von rechts beginnen.

Lösung anzeigen

a) 3 456+1 238=4 6943\,456 + 1\,238 = 4\,694 (Einer: 6+8=146+8=14 → Übertrag)

b) 5 872−2 341=3 5315\,872 - 2\,341 = 3\,531 (keine Überträge nötig)

Probe b): 3 531+2 341=5 8723\,531 + 2\,341 = 5\,872 ✓

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Stellengerecht untereinander schreiben

    Beim schriftlichen Rechnen müssen Einer unter Einern, Zehner unter Zehnern stehen, nur gleiche Stellenwerte dürfen verrechnet werden.

  2. 2

    a) Addieren mit Übertrag

    Von rechts: Einer 6+8=146 + 8 = 14, die 44 wird notiert, der Zehner daraus wandert als Übertrag 11 in die nächste Spalte. Weiter: 5+3+1=95+3+1 = 9, 4+2=64+2 = 6, 3+1=43+1 = 4. Ergebnis: 4 6944\,694.

    3 456+1 238=4 6943\,456 + 1\,238 = 4\,694

  3. 3

    b) Subtrahieren und mit der Probe absichern

    5 872−2 3415\,872 - 2\,341: An jeder Stelle ist die obere Ziffer groß genug (2−12-1, 7−47-4, 8−38-3, 5−25-2), kein Entbündeln nötig. Ergebnis: 3 5313\,531. Probe: 3 531+2 341=5 8723\,531 + 2\,341 = 5\,872 ✓.

Übung 2

mittel

Berechne geschickt: a) 299+573+1299 + 573 + 1 b) 67+488+33+1267 + 488 + 33 + 12

Tipp anzeigen

Suche Paare, die glatte Zahlen ergeben.

Lösung anzeigen

a) (299+1)+573=300+573=873(299 + 1) + 573 = 300 + 573 = 873

b) (67+33)+(488+12)=100+500=600(67 + 33) + (488 + 12) = 100 + 500 = 600

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Nach Rechenvorteilen suchen

    „Geschickt rechnen" heißt: erst schauen, dann rechnen. Gesucht sind Paare, die runde Zahlen ergeben: Summanden darf man beliebig vertauschen und gruppieren.

  2. 2

    a) Die 1 zur 299 legen

    299299 ist fast 300300, genau die 11 fehlt. Also: (299+1)+573=300+573=873(299 + 1) + 573 = 300 + 573 = 873.

    Zwischenergebnis

    873873

  3. 3

    b) Zwei runde Paare bilden

    67+33=10067 + 33 = 100 und 488+12=500488 + 12 = 500. Dann ist 100+500=600100 + 500 = 600.

Übung 3

schwer

Bei einem Spendenlauf kamen am Freitag 12 48512\,485 € und am Samstag 9 8769\,876 € zusammen. Das Spendenziel sind 30 00030\,000 €. Wie viel fehlt noch? Kontrolliere mit einem .

Tipp anzeigen

Erst beide Tage addieren, dann vom Ziel abziehen.

Lösung anzeigen

Eingenommen: 12 485+9 876=22 36112\,485 + 9\,876 = 22\,361 €

Es fehlen: 30 000−22 361=7 63930\,000 - 22\,361 = 7\,639 €

Überschlag: 12 000+10 000=22 00012\,000 + 10\,000 = 22\,000; 30 000−22 000=8 00030\,000 - 22\,000 = 8\,000, passt zu 7 6397\,639 ✓

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Angaben aus der Aufgabe herauslesen

    Gegeben: Freitag 12 48512\,485 €, Samstag 9 8769\,876 €, Ziel 30 00030\,000 €. Gesucht: der noch fehlende Betrag. Plan: erst beide Einnahmen zusammenzählen, dann vom Ziel abziehen.

  2. 2

    Beide Tage zusammenzählen

    12 485+9 876=22 36112\,485 + 9\,876 = 22\,361 €. So viel ist bisher zusammengekommen.

    12 485+9 876=22 36112\,485 + 9\,876 = 22\,361

    Zwischenergebnis

    22 36122\,361 €

  3. 3

    Vom Ziel abziehen

    30 000−22 361=7 63930\,000 - 22\,361 = 7\,639 €. So viel fehlt noch bis zum Spendenziel.

    Zwischenergebnis

    7 6397\,639 €

  4. 4

    Mit dem Überschlag kontrollieren

    Überschlag: 12 000+10 000=22 00012\,000 + 10\,000 = 22\,000; 30 000−22 000=8 00030\,000 - 22\,000 = 8\,000. Das genaue Ergebnis 7 6397\,639 liegt nah bei 8 0008\,000, plausibel.

Alternative Lösungswege

Zusammenfassung

Schriftliches Addieren und Subtrahieren funktioniert stellenweise von rechts nach links, mit sauber notierten Überträgen. Beim Addieren helfen dir Kommutativ- und Assoziativgesetz, glatte Paare zu bilden; beim Subtrahieren bleibt die Reihenfolge fest. Und das Wichtigste: Mit Additionsprobe und kannst du jedes Ergebnis selbst kontrollieren.