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Vektoren / Analytische Geometrie

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Kollinear, komplanar, unabhängig, wann Vektoren Vielfache voneinander sind.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Zeigen zwei in dieselbe Richtung? Liegen drei Vektoren in einer Ebene? Solche Fragen entscheiden, ob Punkte auf einer Geraden liegen oder eine Ebene aufspannen. Das Konzept dahinter heißt lineare Abhängigkeit, ein Grundbegriff der analytischen Geometrie, der überraschend anschaulich ist.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • lineare Abhängigkeit zweier (Kollinearität) prüfen.

  • das Ergebnis geometrisch interpretieren (parallel, auf einer Geraden).

  • drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit (Komplanarität) untersuchen.

  • Kollinearität nutzen, um zu prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen.

Zwei Vektoren: Kollinearität

Zwei sind gegeben. Zeigen sie in dieselbe Richtung oder nicht? Diese scheinbar harmlose Frage steckt hinter erstaunlich vielen Aufgaben: Sind zwei Geraden parallel? Liegen drei Punkte auf einer Linie? Ist ein ein ?

Der Zusammenhang, aus dem alles folgt

Im Kapitel über die Skalarmultiplikation stand ein Satz, der jetzt wichtig wird: Alle Vektoren der Form r⋅a⃗r \cdot \vec a liegen auf einer gemeinsamen Geraden durch den Ursprung. Ein positives rr lässt die Richtung unverändert, ein negatives dreht sie um, der Betrag von rr regelt die Länge.

Das liefert eine Richtung: Jedes von a⃗\vec a ist zu a⃗\vec a parallel. Gilt es auch umgekehrt, ist jeder zu a⃗\vec a parallele Vektor ein Vielfaches von a⃗\vec a? Ja, und das Argument ist kurz: Zeigt b⃗\vec b in dieselbe Richtung wie a⃗\vec a, dann unterscheiden sich beide nur in der Länge. Streckt man a⃗\vec a um das Längenverhältnis r=∣b⃗∣∣a⃗∣r = \frac{|\vec b|}{|\vec a|}, entsteht ein Pfeil mit derselben Richtung und derselben Länge wie b⃗\vec b, und gleich lang plus gleich gerichtet bedeutet: derselbe Vektor. Zeigt b⃗\vec b in die Gegenrichtung, leistet das negative Verhältnis r=−∣b⃗∣∣a⃗∣r = -\frac{|\vec b|}{|\vec a|} dasselbe.

Erst beide Richtungen zusammen ergeben das Prüfkriterium:

b⃗ ist ein Vielfaches von a⃗⟺a⃗ und b⃗ sind parallel\vec b \text{ ist ein Vielfaches von } \vec a \quad\Longleftrightarrow\quad \vec a \text{ und } \vec b \text{ sind parallel}

Man nennt solche Vektoren kollinear (lateinisch für „auf derselben Linie") oder linear abhängig:

b⃗=r⋅a⃗fu¨r ein r∈R\vec{b} = r \cdot \vec{a} \quad \text{für ein } r \in \mathbb{R}

Warum „abhängig"?

Der Name beschreibt, was inhaltlich geschieht: Ist b⃗\vec b ein Vielfaches von a⃗\vec a, dann hängt b⃗\vec b von a⃗\vec a ab. Man kann ihn allein aus a⃗\vec a herstellen. Er bringt keine neue Richtung ins Spiel.

Sind sie dagegen unabhängig, zeigt b⃗\vec b irgendwo anders hin, und man kann mit den beiden zusammen mehr erreichen als mit einem allein. Diese Sichtweise: „Bringt der Vektor eine neue Richtung?", trägt gleich auch bei drei Vektoren.

Wie man es prüft, und warum alle Koordinaten zählen

Die Bedingung b⃗=ra⃗\vec b = r\vec a ist eine Vektorgleichung, aber sie steht für drei Zahlengleichungen, eine je Koordinate:

b1=r a1b2=r a2b3=r a3b_1 = r\,a_1 \qquad b_2 = r\,a_2 \qquad b_3 = r\,a_3

Darin kommt nur eine Unbekannte vor: rr. Drei für eine Unbekannte. Das nennt man überbestimmt. Aus einer Gleichung lässt sich rr berechnen, die beiden anderen müssen dann von selbst aufgehen.

Genau hier liegt die häufigste Fehlerquelle: Wer rr aus der ersten Koordinate bestimmt und sofort „linear abhängig" notiert, hat nichts bewiesen. Erst wenn dasselbe rr auch die zweite und die dritte Gleichung erfüllt, sind die Vektoren kollinear. Eine einzige abweichende Koordinate genügt, um Unabhängigkeit zu zeigen.

a⃗=(123),c⃗=(245):r=2,r=2,aber r=53\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}: \qquad r = 2,\quad r = 2,\quad \text{aber } r = \tfrac{5}{3}

Die dritte Zeile bricht aus, die beiden Vektoren sind nicht kollinear.

Zwei Sonderfälle, die für Verwirrung sorgen

Eine Null in einer Koordinate. Steht bei a⃗\vec a an einer Stelle eine 00, muss dort auch bei b⃗\vec b eine 00 stehen, denn r⋅0=0r \cdot 0 = 0 für jedes rr. Ist das nicht der Fall, sind die Vektoren sofort unabhängig, ohne dass man rr überhaupt ausrechnen muss. Diese Zeile liefert dafür aber auch keinen Wert für rr; den muss man aus einer anderen Zeile holen.

Der Nullvektor. 0⃗\vec 0 ist zu jedem Vektor kollinear, denn 0⃗=0⋅a⃗\vec 0 = 0 \cdot \vec a geht immer. Deshalb werden in der Definition beide Vektoren als vom Nullvektor verschieden vorausgesetzt, sonst wäre die Aussage inhaltsleer.

Kollineare Vektoren (b=2a)

x₁x₂x₃ab=2a

a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} sind parallel verschoben dargestellt, damit man beide Pfeile einzeln sieht. Sie zeigen in dieselbe Richtung: b⃗=2a⃗\vec{b} = 2\vec{a} mit demselben r=2r=2 in allen drei Koordinaten. Das ist lineare Abhängigkeit (Kollinearität).

Drei Vektoren: Komplanarität

Bei zwei lautete die Frage: Bringt der zweite eine neue Richtung? Bei drei Vektoren wird sie eine Stufe größer.

Was zwei unabhängige Vektoren erreichen

Nimm zwei Vektoren a⃗\vec a und b⃗\vec b, die nicht kollinear sind. Aus ihnen lassen sich beliebige Linearkombinationen bilden:

r a⃗+s b⃗mit beliebigen r,s∈Rr\,\vec a + s\,\vec b \qquad \text{mit beliebigen } r, s \in \mathbb{R}

Wohin kommt man damit? Man kann entlang a⃗\vec a beliebig weit vor und zurück und ebenso entlang b⃗\vec b, und beides beliebig kombinieren. Damit erreicht man jeden Punkt einer Ebene, aber auch keinen einzigen darüber hinaus: Beide Bausteine liegen in dieser Ebene, also bleibt jede Kombination darin.

Zwei unabhängige Vektoren spannen genau eine Ebene auf.

Und nun der dritte

Für einen dritten Vektor c⃗\vec c gibt es folglich nur zwei Möglichkeiten:

  • c⃗\vec c liegt in dieser Ebene. Dann lässt er sich aus a⃗\vec a und b⃗\vec b zusammensetzen: c⃗=ra⃗+sb⃗\vec c = r\vec a + s\vec b. Er bringt nichts Neues, die drei Vektoren heißen komplanar (lateinisch: „in derselben Ebene") oder linear abhängig.
  • c⃗\vec c zeigt aus der Ebene heraus. Dann ist er auf keine Weise aus den beiden anderen herstellbar. Die drei sind linear unabhängig, und mit ihnen erreicht man den ganzen Raum. Ein solches Tripel heißt Basis des Raumes.

Damit ist auch die Begriffskette klar: Zwei Vektoren können höchstens eine Gerade oder eine Ebene erzeugen, drei unabhängige den Raum. Mehr geht im dreidimensionalen Raum nicht, vier Vektoren sind dort immer linear abhängig, weil der dritte bereits alles ausschöpft.

Wie man Komplanarität prüft

Der Ansatz übersetzt die Definition unmittelbar:

c⃗=ra⃗+sb⃗\vec{c} = r\vec{a} + s\vec{b}

Auch das ist wieder ein aus drei Zeilengleichungen, diesmal mit zwei Unbekannten rr und ss, erneut überbestimmt. Das Vorgehen ist dasselbe wie bei zwei Vektoren:

  1. Aus zwei Zeilen rr und ss berechnen (am besten aus denen mit den einfachsten Zahlen, etwa mit einer Null).
  2. Beide Werte in die dritte, noch nicht benutzte Zeile einsetzen.
  3. Geht sie auf, sind die Vektoren komplanar. Entsteht ein Widerspruch, sind sie linear unabhängig.

Eine Voraussetzung wird oft übersehen: Der Ansatz setzt voraus, dass a⃗\vec a und b⃗\vec b selbst nicht kollinear sind. Wären sie es, spannten sie nur eine Gerade auf, und die Prüfung würde die falsche Frage beantworten. Ein kurzer Blick darauf gehört deshalb an den Anfang jeder Komplanaritätsaufgabe.

Komplanarität dreier Vektoren

Ex₁x₂x₃w (in E)w' (nicht in E)

w⃗\vec{w} liegt in der von zwei aufgespannten Ebene EE (er lässt sich als ru⃗+sv⃗r\vec{u}+s\vec{v} schreiben), die drei Vektoren sind komplanar, linear abhängig. w⃗′\vec{w}' zeigt aus EE heraus, mit ihm zusammen wären die Vektoren linear unabhängig (nicht komplanar).

Anwendung: Punkte auf einer Geraden

Bisher ging es um . Aufgaben fragen aber meist nach Punkten: „Liegen AA, BB und CC auf einer Geraden?" Solche Punkte nennt man ebenfalls kollinear.

Die Übersetzung von Punkten zu Vektoren

Punkte selbst kann man nicht auf Vielfachheit prüfen, die Beziehung „" ist nur für Vektoren erklärt. Man braucht also zuerst Vektoren, und die liefern die Verbindungen zwischen den Punkten.

Der Gedanke: Liegen alle drei Punkte auf einer Geraden, dann verläuft jede Verbindung zwischen ihnen entlang dieser Geraden. Sie zeigen alle in dieselbe (oder die genau entgegengesetzte) Richtung. Und „gleiche Richtung" heißt nach dem ersten Abschnitt: kollineare Vektoren.

A, B, C liegen auf einer Geraden⟺AC⃗=r⋅AB⃗A,\,B,\,C \text{ liegen auf einer Geraden} \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{AC} = r \cdot \vec{AB}

Der entscheidende Punkt: derselbe Startpunkt

Beide Vektoren müssen von demselben Punkt ausgehen, oben beide von AA. Das ist keine Formalität.

Nimmt man stattdessen AB⃗\vec{AB} und CD⃗\vec{CD} zweier verschiedener Punktpaare und stellt Kollinearität fest, hat man nur gezeigt, dass die beiden Strecken parallel sind. Parallele Strecken können aber nebeneinander herlaufen, ohne auf einer gemeinsamen Geraden zu liegen, wie die beiden Längsseiten eines .

Der gemeinsame Startpunkt ist es, der Parallelität zu Kollinearität verschärft: Zwei parallele Strecken, die sich in einem Punkt berühren, müssen auf derselben Geraden liegen.

Was der Faktor rr verrät

Der Wert von rr ist mehr als ein Nebenprodukt der Rechnung. Er beschreibt die Lage von CC auf der Geraden:

Wert von rrLage von CC
r>1r > 1hinter BB, von AA aus gesehen
r=1r = 1CC fällt mit BB zusammen
0<r<10 < r < 1zwischen AA und BB
r<0r < 0auf der anderen Seite von AA
r=12r = \tfrac12genau im Mittelpunkt von AB‾\overline{AB}

Damit lässt sich eine Antwort anschaulich formulieren: „CC liegt dreimal so weit von AA entfernt wie BB, in derselben Richtung" sagt mehr aus als „r=3r = 3".

Punkte auf einer Geraden (kollinear)

x₁x₂x₃ABC

AA, BB und CC liegen alle auf derselben Geraden, AC⃗=3⋅AB⃗\vec{AC} = 3\cdot\vec{AB} (einheitliches r=3r=3). Kollinearität der Verbindungsvektoren bedeutet: die Punkte liegen auf einer Linie.

Denk weiter: Du stellst fest, dass der Vektor CD das Doppelte von AB ist. Ein Mitschüler folgert: Also liegen A, B, C und D auf einer Geraden. Stimmt das?

Nein, bewiesen ist damit nur Parallelität. CD⃗=2 AB⃗\vec{CD} = 2\,\vec{AB} sagt: Die Strecken AB‾\overline{AB} und CD‾\overline{CD} verlaufen parallel, die zweite ist doppelt so lang. Ob sie auf derselben Geraden liegen, steht damit nicht fest, es fehlt der gemeinsame Startpunkt.

Ein konkretes Gegenbeispiel: A(0∣0∣0)A(0|0|0), B(1∣0∣0)B(1|0|0), C(0∣1∣0)C(0|1|0), D(2∣1∣0)D(2|1|0). Hier ist AB⃗=(100)\vec{AB} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} und CD⃗=(200)=2 AB⃗\vec{CD} = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} = 2\,\vec{AB}, aber CC liegt nicht auf der Geraden durch AA und BB, denn dort haben alle Punkte die zweite Koordinate 00. Die vier Punkte bilden zwei parallele Strecken nebeneinander, wie die Längsseiten eines .

So wird die Folgerung tragfähig: Prüfe zusätzlich eine Verbindung zwischen den beiden Strecken, etwa AC⃗\vec{AC}. Nur wenn auch sie kollinear zu AB⃗\vec{AB} ist, liegt alles auf einer Geraden. Hier ist AC⃗=(010)\vec{AC} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} kein von (100)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, die Folgerung des Mitschülers fällt.

Kollinearität prüfen

Sind a⃗=(3−69)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} und b⃗=(−24−6)\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} linear abhängig?

  1. 1

    Was ist zu zeigen? Zu prüfen ist, ob einer der beiden ein des anderen ist. Der Ansatz lautet:

    a⃗=r⋅b⃗\vec{a} = r \cdot \vec{b}

    Welche Richtung man wählt, ist gleichgültig, man könnte ebenso b⃗=r′a⃗\vec b = r' \vec a ansetzen und erhielte den . Wir nehmen a⃗=rb⃗\vec a = r\vec b, weil dann die erste Rechnung glatter aufgeht.

    Eine Beobachtung vorweg: Die Vorzeichen wechseln bei beiden Vektoren im selben Muster (+,−,++,-,+ gegen −,+,−-,+,-). Falls sie kollinear sind, muss rr deshalb negativ sein.

  2. 2

    Schritt 1: Die Vektorgleichung in drei Zeilengleichungen zerlegen. Das ist der Schritt, der die Prüfung überhaupt erst rechenbar macht:

    Zeile 1:3=r⋅(−2)Zeile 2:−6=r⋅4Zeile 3:9=r⋅(−6)\begin{aligned} \text{Zeile 1:}&\quad 3 = r \cdot (-2)\\ \text{Zeile 2:}&\quad -6 = r \cdot 4\\ \text{Zeile 3:}&\quad 9 = r \cdot (-6) \end{aligned}

    Drei , aber nur eine Unbekannte. Aus einer davon berechnen wir rr, die beiden anderen dienen als Kontrolle.

  3. 3

    Schritt 2: rr aus der ersten Zeile bestimmen.

    3=−2r∣  :(−2)3 = -2r \quad\Big|\; : (-2) r=−32=−1,5r = -\frac{3}{2} = -1{,}5

    Das Vorzeichen ist negativ, wie in der Vorüberlegung erwartet ✓

  4. 4

    Schritt 3: Die zweite Zeile prüfen. Jetzt wird der gefundene Wert eingesetzt, nicht neu berechnet:

    r⋅4=−32⋅4=−6  ✓r \cdot 4 = -\frac{3}{2} \cdot 4 = -6 \;\checkmark

    Das stimmt mit der zweiten Koordinate von a⃗\vec a überein.

  5. 5

    Schritt 4: Die dritte Zeile prüfen.

    r⋅(−6)=−32⋅(−6)=+9  ✓r \cdot (-6) = -\frac{3}{2} \cdot (-6) = +9 \;\checkmark

    Doppeltes Minus beachten: −32⋅(−6)=+9-\frac32 \cdot (-6) = +9. Auch diese Zeile geht auf.

  6. 6

    Schritt 5: Schlussfolgerung ziehen. Alle drei Zeilen werden von demselben Wert r=−32r = -\frac32 erfüllt. Damit gilt:

    a⃗=−32 b⃗\vec{a} = -\frac{3}{2}\,\vec{b}

    Die Vektoren sind linear abhängig (kollinear).

    Erst jetzt ist die Aussage bewiesen. Nach Schritt 2 allein wäre sie nur eine Vermutung gewesen.

  7. 7

    Schritt 6: Das Ergebnis geometrisch deuten. Eine Zahl allein ist noch keine vollständige Antwort, was bedeutet r=−1,5r = -1{,}5 anschaulich?

    • Das negative Vorzeichen bedeutet: Die Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Man nennt sie antiparallel.
    • Der Betrag 1,51{,}5 bedeutet: a⃗\vec a ist anderthalbmal so lang wie b⃗\vec b.

    Gegenprobe über die Beträge: ∣a⃗∣=9+36+81=126|\vec a| = \sqrt{9+36+81} = \sqrt{126} und ∣b⃗∣=4+16+36=56|\vec b| = \sqrt{4+16+36} = \sqrt{56}. Das Verhältnis ist 126/56=2,25=1,5\sqrt{126/56} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5 ✓, genau der Betrag von rr.

Ja, die Vektoren sind linear abhängig: a⃗=−32 b⃗\vec{a} = -\frac{3}{2}\,\vec{b}. Sie sind antiparallel, a⃗\vec a ist 1,51{,}5-mal so lang wie b⃗\vec b und zeigt in die Gegenrichtung.

Der Ablauf jeder Kollinearitätsprüfung: Vektorgleichung in drei Zeilen zerlegen → rr aus einer Zeile bestimmen → in beide übrigen Zeilen einsetzen → erst dann entscheiden → Ergebnis geometrisch deuten.

Punkte auf einer Geraden?

Liegen die Punkte A(1∣2∣1)A(1|2|1), B(3∣5∣4)B(3|5|4) und C(7∣11∣10)C(7|11|10) auf einer Geraden?

  1. 1

    Die Frage übersetzen. Gefragt ist nach Punkten, geprüft wird aber mit . Die Brücke: Liegen die drei Punkte auf einer Geraden, so zeigen die Verbindungen zwischen ihnen alle in dieselbe Richtung.

    Wichtig ist die Wahl der Vektoren: Beide müssen vom selben Punkt ausgehen. Wir wählen AA als gemeinsamen Startpunkt und untersuchen AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC}.

    Zu pru¨fen: AC⃗=r⋅AB⃗\text{Zu prüfen: } \vec{AC} = r \cdot \vec{AB}
  2. 2

    Schritt 1: Die beiden Verbindungsvektoren bilden, jeweils „Spitze minus Fuß":

    AB⃗=(3−15−24−1)=(233)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-2 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} AC⃗=(7−111−210−1)=(699)\vec{AC} = \begin{pmatrix} 7-1 \\ 11-2 \\ 10-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 9 \end{pmatrix}

    Beide starten bei AA. Das ist die Voraussetzung dafür, dass das Ergebnis etwas über die Lage der Punkte aussagt und nicht nur über Parallelität.

  3. 3

    Schritt 2: Die Vektorgleichung in Zeilen zerlegen.

    Zeile 1:6=r⋅2Zeile 2:9=r⋅3Zeile 3:9=r⋅3\begin{aligned} \text{Zeile 1:}&\quad 6 = r \cdot 2\\ \text{Zeile 2:}&\quad 9 = r \cdot 3\\ \text{Zeile 3:}&\quad 9 = r \cdot 3 \end{aligned}
  4. 4

    Schritt 3: rr aus der ersten Zeile.

    6=2r∣  :2⟹r=36 = 2r \quad\Big|\; : 2 \qquad\Longrightarrow\qquad r = 3
  5. 5

    Schritt 4: Die übrigen Zeilen kontrollieren.

    Zeile 2:3⋅3=9  ✓Zeile 3:3⋅3=9  ✓\text{Zeile 2:}\quad 3 \cdot 3 = 9 \;\checkmark \qquad\qquad \text{Zeile 3:}\quad 3 \cdot 3 = 9 \;\checkmark

    Dasselbe r=3r = 3 erfüllt alle drei Zeilen. Damit gilt AC⃗=3 AB⃗\vec{AC} = 3\,\vec{AB}, die beiden Verbindungsvektoren sind kollinear.

  6. 6

    Schritt 5: Zurückübersetzen auf die Punkte. AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC} zeigen von AA aus in dieselbe Richtung. Zwei Strecken mit gemeinsamem Anfangspunkt und gleicher Richtung liegen auf derselben Geraden.

    Die drei Punkte AA, BB und CC liegen also auf einer Geraden.

  7. 7

    Schritt 6: Den Faktor deuten. r=3r = 3 ist positiv und größer als 11. Das bedeutet:

    CC liegt von AA aus in derselben Richtung wie BB, aber dreimal so weit entfernt. Die Reihenfolge auf der Geraden ist damit AA, BB, CC, mit BB zwischen den beiden anderen.

    Kontrolle über die Längen: ∣AB⃗∣=4+9+9=22|\vec{AB}| = \sqrt{4+9+9} = \sqrt{22} und ∣AC⃗∣=36+81+81=198|\vec{AC}| = \sqrt{36+81+81} = \sqrt{198}. Es gilt 198=9⋅22=322\sqrt{198} = \sqrt{9 \cdot 22} = 3\sqrt{22} ✓, die Strecke AC‾\overline{AC} ist tatsächlich exakt dreimal so lang.

  8. 8

    Schritt 7: Eine Kontrolle mit einem anderen Startpunkt. Wenn die Punkte wirklich kollinear sind, muss die Prüfung von jedem der drei Punkte aus gelingen. Nehmen wir BB:

    BA⃗=(−2−3−3),BC⃗=(466)\vec{BA} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}, \qquad \vec{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}

    Hier ist BC⃗=−2 BA⃗\vec{BC} = -2\,\vec{BA}, wieder ein einheitlicher Faktor ✓ Das negative Vorzeichen ist stimmig: Von BB aus liegen AA und CC auf verschiedenen Seiten.

Ja, die drei Punkte liegen auf einer Geraden, denn AC⃗=3 AB⃗\vec{AC} = 3\,\vec{AB}.

CC ist von AA aus dreimal so weit entfernt wie BB und liegt in derselben Richtung, die Reihenfolge auf der Geraden lautet AA, BB, CC.

Zum Mitnehmen: Bei Punktaufgaben immer zwei Vektoren mit gemeinsamem Startpunkt bilden. Vektoren aus verschiedenen Punktpaaren würden nur Parallelität zeigen, nicht Kollinearität.

Komplanarität prüfen

Sind die a⃗=(120)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, b⃗=(011)\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} und c⃗=(251)\vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} komplanar?

  1. 1

    Was bedeutet die Frage? Komplanar heißt: Alle drei Vektoren liegen in einer Ebene. Das ist gleichbedeutend damit, dass sich einer aus den beiden anderen zusammensetzen lässt:

    c⃗=r a⃗+s b⃗\vec{c} = r\,\vec{a} + s\,\vec{b}

    Warum gerade c⃗\vec c links steht: Die Wahl ist frei, aber praktisch, c⃗\vec c hat die größten Zahlen und ist damit der wahrscheinlichste Kandidat für „aus den anderen zusammengesetzt".

  2. 2

    Schritt 1: Die Voraussetzung prüfen. Der Ansatz ist nur sinnvoll, wenn a⃗\vec a und b⃗\vec b selbst nicht kollinear sind, sonst spannten sie nur eine Gerade auf und keine Ebene.

    Wäre b⃗=t a⃗\vec b = t\,\vec a, so müsste in der ersten Zeile gelten: 0=t⋅10 = t \cdot 1, also t=0t = 0. Dann wäre aber b⃗=0⃗\vec b = \vec 0, das widerspricht den gegebenen Koordinaten (011)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

    a⃗\vec a und b⃗\vec b sind also linear unabhängig und spannen tatsächlich eine Ebene auf. Erst jetzt ist die eigentliche Frage sinnvoll gestellt.

  3. 3

    Schritt 2: Das aufstellen. Die Vektorgleichung zerfällt wieder in drei Zeilengleichungen, diesmal mit zwei Unbekannten:

    Zeile 1:2=r⋅1+s⋅0=rZeile 2:5=r⋅2+s⋅1=2r+sZeile 3:1=r⋅0+s⋅1=s\begin{aligned} \text{Zeile 1:}&\quad 2 = r \cdot 1 + s \cdot 0 = r\\ \text{Zeile 2:}&\quad 5 = r \cdot 2 + s \cdot 1 = 2r + s\\ \text{Zeile 3:}&\quad 1 = r \cdot 0 + s \cdot 1 = s \end{aligned}
  4. 4

    Schritt 3: Die günstigsten Zeilen zuerst, und warum. Die Zeilen 1 und 3 enthalten dank der Nullen jeweils nur eine Unbekannte. Sie liefern die Werte ohne jedes :

    aus Zeile 1: r=2aus Zeile 3: s=1\text{aus Zeile 1: } r = 2 \qquad\qquad \text{aus Zeile 3: } s = 1

    Diese Reihenfolge ist eine bewusste Entscheidung: Hätte man mit Zeile 2 begonnen, stünde dort eine mit zwei Unbekannten, und man müsste ein Einsetzungsverfahren durchführen. Ein Blick auf die Nullen erspart das.

  5. 5

    Schritt 4: Die dritte, noch unbenutzte Zeile als Probe. Jetzt kommt die eigentliche Entscheidung. Beide Werte werden in Zeile 2 eingesetzt:

    2r+s=2⋅2+1=4+1=52r + s = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5

    Gefordert war ebenfalls 55 ✓

    Die Gleichung geht auf, und damit ist die Frage beantwortet.

  6. 6

    Schritt 5: Schlussfolgerung. Es gibt Zahlen r=2r = 2 und s=1s = 1, für die gilt:

    c⃗=2 a⃗+1 b⃗\vec{c} = 2\,\vec{a} + 1\,\vec{b}

    Die drei Vektoren sind komplanar (linear abhängig). c⃗\vec c liegt in der von a⃗\vec a und b⃗\vec b aufgespannten Ebene und bringt keine neue Richtung.

    Probe durch Nachrechnen:

    2(120)+(011)=(240)+(011)=(251)=c⃗  ✓2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec c \;\checkmark
  7. 7

    Schritt 6: Was bei einem anderen Ergebnis passiert wäre. Der Vergleich macht deutlich, worauf die Prüfung hinausläuft.

    Hätte c⃗\vec c die dritte Koordinate 22 statt 11, so ergäbe Zeile 3 den Wert s=2s = 2, und die Probe in Zeile 2 lieferte:

    2⋅2+2=6≠52 \cdot 2 + 2 = 6 \neq 5

    Ein Widerspruch, es gäbe dann keine Zahlen rr und ss, die alle drei Zeilen erfüllen. Die Vektoren wären linear unabhängig und würden den ganzen Raum aufspannen (eine Basis bilden).

    Die entscheidende Zeile ist immer die letzte: Aus zwei Zeilen lassen sich rr und ss praktisch immer bestimmen, ob die Vektoren komplanar sind, entscheidet allein die dritte.

Ja, die Vektoren sind komplanar: c⃗=2 a⃗+b⃗\vec{c} = 2\,\vec{a} + \vec{b}.

Sie liegen alle in einer Ebene und bilden deshalb keine Basis des Raumes.

Der Ablauf jeder Komplanaritätsprüfung: zuerst sicherstellen, dass die beiden „Bausteine" nicht kollinear sind → Ansatz c⃗=ra⃗+sb⃗\vec c = r\vec a + s\vec b in drei Zeilen zerlegen → rr und ss aus den zwei einfachsten Zeilen bestimmen → in die verbleibende Zeile einsetzen: Sie entscheidet.

Typischer Fehler

a⃗=(234)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, b⃗=(466)\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}: „Erste Koordinate r=2r = 2, das reicht, linear abhängig!"

Ein rr aus einer Koordinate genügt nicht. Es muss für alle gelten! Hier: 4=2r⇒r=24 = 2r \Rightarrow r = 2 und 6=3r⇒r=26 = 3r \Rightarrow r = 2, aber 6=4r⇒r=326 = 4r \Rightarrow r = \frac{3}{2}. Die rr-Werte sind verschieden → linear unabhängig. Immer alle drei Koordinaten prüfen; ein einziger abweichender Wert bedeutet Unabhängigkeit.

Übung 1

leicht

Sind a⃗=(123)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} und b⃗=(4812)\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix} linear abhängig?

Tipp anzeigen

Ein einheitliches rr?

Lösung anzeigen

b⃗=4a⃗\vec{b} = 4\vec{a} (alle Koordinaten mit r=4r = 4) → ja, linear abhängig.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Vielfachen-Frage stellen

    Zwei sind linear abhängig, wenn einer ein des anderen ist: Gibt es ein rr mit b⃗=r⋅a⃗\vec{b} = r \cdot \vec{a}?

  2. 2

    r koordinatenweise prüfen

    41=4\frac{4}{1} = 4, 82=4\frac{8}{2} = 4, 123=4\frac{12}{3} = 4: ALLE drei Koordinaten liefern dasselbe r=4r = 4.

    41=82=123=4\frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = 4

  3. 3

    Schlussfolgern

    b⃗=4a⃗\vec{b} = 4\vec{a} → die Vektoren sind linear abhängig (kollinear): b⃗\vec{b} ist der viermal so lange Pfeil in derselben Richtung.

Übung 2

mittel

Prüfe, ob die Punkte A(0∣1∣2)A(0|1|2), B(2∣3∣4)B(2|3|4), C(5∣6∣8)C(5|6|8) auf einer Geraden liegen.

Tipp anzeigen

AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC} auf Kollinearität prüfen.

Lösung anzeigen

AB⃗=(2∣2∣2)\vec{AB} = (2|2|2), AC⃗=(5∣5∣6)\vec{AC} = (5|5|6).

AC⃗=rAB⃗\vec{AC} = r\vec{AB}: 5=2r⇒r=2,55 = 2r \Rightarrow r = 2{,}5; Kontrolle 3. Koordinate: 6≠2,5⋅2=56 \neq 2{,}5 \cdot 2 = 5.

Verschiedene rr → nicht kollinear, die Punkte liegen nicht auf einer Geraden.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Punkte-Frage in Vektoren-Frage übersetzen

    AA, BB, CC liegen genau dann auf einer Geraden, wenn AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC} kollinear sind. Berechnen: AB⃗=(2∣2∣2)\vec{AB} = (2 \mid 2 \mid 2), AC⃗=(5∣5∣6)\vec{AC} = (5 \mid 5 \mid 6).

  2. 2

    Den Vielfachen-Test durchführen

    AC⃗=r⋅AB⃗\vec{AC} = r \cdot \vec{AB}? Erste Koordinate: 5=2r⇒r=2,55 = 2r \Rightarrow r = 2{,}5. Dritte Koordinate: 6=?2,5⋅2=56 \stackrel{?}{=} 2{,}5 \cdot 2 = 5: NEIN.

    5=2r⇒r=2,5;2,5⋅2=5≠65 = 2r \Rightarrow r = 2{,}5; \quad 2{,}5 \cdot 2 = 5 \ne 6

  3. 3

    Geometrisch antworten

    Kein gemeinsames rr → AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC} sind nicht kollinear → die drei Punkte liegen NICHT auf einer Geraden.

Übung 3

schwer

Für welchen Wert von tt sind a⃗=(2t6)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ t \\ 6 \end{pmatrix} und b⃗=(143)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} linear abhängig?

Tipp anzeigen

Aus den „sicheren" Koordinaten rr bestimmen.

Lösung anzeigen

Aus der ersten Koordinate: 2=r⋅1⇒r=22 = r \cdot 1 \Rightarrow r = 2 (Kontrolle dritte: 6=2⋅36 = 2 \cdot 3 ✓).

Zweite Koordinate: t=r⋅4=2⋅4=8t = r \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8.

Für t=8t = 8 sind die linear abhängig (a⃗=2b⃗\vec{a} = 2\vec{b}).

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Den Faktor aus den bekannten Koordinaten holen

    a⃗=r⋅b⃗\vec{a} = r \cdot \vec{b}: Erste Koordinate: 2=r⋅1⇒r=22 = r \cdot 1 \Rightarrow r = 2. Kontrolle dritte: 6=2⋅36 = 2 \cdot 3 ✓, der Faktor r=2r = 2 steht fest.

  2. 2

    t aus der Parameter-Zeile bestimmen

    Zweite Koordinate: t=r⋅4=2⋅4=8t = r \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8.

    t=2⋅4=8t = 2 \cdot 4 = 8

    Zwischenergebnis

    t=8t = 8

  3. 3

    Ergebnis formulieren und prüfen

    Für t=8t = 8: a⃗=(2∣8∣6)=2⋅(1∣4∣3)=2b⃗\vec{a} = (2 \mid 8 \mid 6) = 2 \cdot (1 \mid 4 \mid 3) = 2\vec{b} ✓, genau dann sind die Vektoren linear abhängig.

Zusammenfassung

Zwei sind linear abhängig (kollinear), wenn einer ein einheitliches des anderen ist, geometrisch parallel. Der Test: dasselbe rr für alle Koordinaten. Drei Vektoren sind linear abhängig (komplanar), wenn sie in einer Ebene liegen. Über die Kollinearität von AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC} prüfst du, ob Punkte auf einer Geraden liegen.