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Analysis

Extremwertprobleme (Optimierung)

Maximaler Gewinn, minimaler Materialverbrauch: Optimierung mit der Ableitung.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Welche Dose braucht bei 1 Liter Inhalt am wenigsten Blech? Welches hat bei festem die größte ? Extremwertprobleme sind Analysis für die echte Welt: Optimierung von Kosten, Material, Gewinn oder Platz. Der Trick: die gesuchte Größe als Funktion einer ausdrücken und ihr Maximum/Minimum bestimmen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Zielgröße und die Nebenbedingung in einer Sachaufgabe identifizieren.

  • die Zielfunktion auf eine reduzieren.

  • das Extremum mit der bestimmen und die Art nachweisen.

  • das Ergebnis im Sachkontext interpretieren (Definitionsbereich!).

Der Fahrplan der Optimierung

Bisher war die Funktion immer schon gegeben, und du hast ihre bestimmt. Bei Extremwertproblemen ist das anders: Du bekommst eine Sachsituation und musst die Funktion selbst aufstellen. Genau darin liegt die eigentliche Schwierigkeit, das am Ende ist Routine.

Die typische Ausgangslage

„Aus einem Draht von 20 cm20\,\text{cm} Länge soll ein mit größtmöglicher gebogen werden."

Das Problem: Die Fläche hängt von zwei Größen ab, Länge und Breite. Ableiten kannst du aber nur eine Funktion mit einer . Der ganze Fahrplan dient dazu, diese zweite Variable loszuwerden.

Die zwei Bedingungen, der Kern der Sache

Jede Extremwertaufgabe enthält genau zwei Informationen, und du musst sie sauber trennen:

Die Hauptbedingung beschreibt, was optimiert werden soll, die Größe, die maximal oder minimal werden soll. Sie liefert die Zielfunktion. Erkennungsmerkmal im Text: „größtmöglich", „minimale Kosten", „maximales ".

Die Nebenbedingung beschreibt die Einschränkung, das, was fest vorgegeben ist. Erkennungsmerkmal: „aus einem Draht von 20 cm20\,\text{cm}", „100 m100\,\text{m} Zaun stehen zur Verfügung", „das Blech ist 30×4030 \times 40 groß".

Die Prüffrage: Was ist fest, was darf sich ändern? Das Feste ist die Nebenbedingung, das Gesuchte die Hauptbedingung.

Der Fahrplan in sechs Schritten

  1. Zielgröße benennen und als Formel aufschreiben → Zielfunktion (noch mit zwei Variablen).
  2. Nebenbedingung als aufstellen.
  3. Einsetzen: Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und in die Zielfunktion einsetzen. Jetzt hängt sie von einer Variablen ab.
  4. Definitionsbereich aus dem Sachzusammenhang festlegen (keine negativen Längen!).
  5. Extremum bestimmen: f′(x)=0f'(x) = 0, Art über f′′f'' nachweisen.
  6. Antwortsatz im Sachzusammenhang, mit Einheit und mit allen gefragten Größen.

Schritt 3 ist der entscheidende. Er verwandelt ein Problem mit zwei Unbekannten in eine gewöhnliche Extremwertaufgabe. Und Schritt 6 wird am häufigsten vergessen: Meist ist nicht nur xx gefragt, sondern auch die zweite Größe und der erreichte Bestwert.

Der Fahrplan an einem Beispiel

„Aus einem Draht von 20 cm20\,\text{cm} Länge soll ein mit größtmöglichem gebogen werden. Bestimme seine Maße."

Gehen wir den Fahrplan Schritt für Schritt durch.

Schritt 1: Zielgröße und Zielfunktion. Optimiert werden soll die Fläche. Für ein Rechteck mit den Seiten xx und yy gilt:

A=x⋅yA = x \cdot y

Diese Funktion hat noch zwei , so lässt sie sich nicht .

Schritt 2: Nebenbedingung. Fest vorgegeben ist die Drahtlänge, also der :

2x+2y=202x + 2y = 20

Schritt 3: eine Variable eliminieren. Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf. Hier bietet sich yy an:

2x+2y=20∣  :2x+y=10∣  −xy=10−x\begin{aligned} 2x + 2y &= 20 &&|\; : 2 \\ x + y &= 10 &&|\; -x \\ y &= 10 - x \end{aligned}

Und jetzt einsetzen, damit verschwindet yy aus der Zielfunktion:

A(x)=x⋅(10−x)=10x−x2A(x) = x \cdot (10 - x) = 10x - x^2

Das war der entscheidende Schritt. Ab hier ist es eine gewöhnliche Extremwertaufgabe.

Schritt 4: Definitionsbereich. Beide Seiten müssen positiv sein: x>0x > 0, und wegen y=10−x>0y = 10 - x > 0 auch x<10x < 10. Also 0<x<100 < x < 10.

Schritt 5: Maximum bestimmen.

A′(x)=10−2x⇒10−2x=0⇒x=5A'(x) = 10 - 2x \qquad\Rightarrow\qquad 10 - 2x = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x = 5

Art nachweisen: A′′(x)=−2<0A''(x) = -2 < 0 → es ist tatsächlich ein Maximum ✓ Und x=5x = 5 liegt im erlaubten Bereich ✓

Schritt 6: vollständig antworten. Gefragt waren die Maße, also brauchst du noch yy:

y=10−5=5A=5⋅5=25 cm2y = 10 - 5 = 5 \qquad\qquad A = 5 \cdot 5 = 25\,\text{cm}^2

Antwort: Die größte Fläche entsteht bei einem mit der Seitenlänge 5 cm5\,\text{cm}; sie beträgt 25 cm225\,\text{cm}^2.

Das Ergebnis ist typisch: Bei festem Umfang ist das Quadrat immer das flächengrößte Rechteck. Der Graph der Zielfunktion unten zeigt es, eine nach unten geöffnete mit dem Scheitel genau in der Mitte.

Zielfunktion A(x) = 10x − x²

xy2468510152025A(x)Max (5|25)

mit 2020: Zielgröße A(x)=x(10−x)=10x−x2A(x)=x(10-x)=10x-x^2. Das Maximum liegt bei A′(x)=10−2x=0⇒x=5A'(x)=10-2x=0 \Rightarrow x=5 (und A′′=−2<0A''=-2<0). Ergebnis: x=y=5x=y=5, das hat die größte Fläche.

Warum das Verfahren funktioniert, und wo es Fallen hat

Was die Nebenbedingung leistet

Ohne Einschränkung wäre die Aufgabe sinnlos: Ein kann beliebig groß werden, wenn man beliebig viel Draht hat. Erst die Nebenbedingung macht das Problem lösbar, sie koppelt die beiden aneinander.

Ist der fest, kannst du die Breite nicht mehr frei wählen, sobald die Länge feststeht. Genau deshalb darfst du eine Variable durch die andere ersetzen, und genau deshalb bleibt am Ende eine Funktion mit einer Variablen übrig. Ab da ist es dieselbe Aufgabe wie in den vorigen Kapiteln.

Warum der Definitionsbereich mitgedacht werden muss

Die Mathematik rechnet auch mit Werten, die es in der Situation nicht geben kann. Eine Seitenlänge von −3 cm-3\,\text{cm} oder von 12 cm12\,\text{cm} bei nur 20 cm20\,\text{cm} Draht ist unmöglich.

Beim Rechteck-Beispiel folgt aus y=10−xy = 10 - x und der Forderung, dass beide Seiten positiv sein müssen:

0<x<100 < x < 10

Wozu das gut ist: Liegt eine rechnerische Lösung außerhalb dieses Bereichs, scheidet sie aus. Und wenn das Maximum am Rand des Bereichs läge, würde f′(x)=0f'(x) = 0 es gar nicht finden: Randwerte muss man dann gesondert prüfen.

Drei Fehler, die in Klassenarbeiten Punkte kosten

1. Haupt- und Nebenbedingung vertauschen. Wer den Umfang maximiert statt der , löst die falsche Aufgabe. Prüfe immer: Was soll optimal werden?

2. Den Nachweis der Art vergessen. f′(x)=0f'(x) = 0 liefert nur einen Kandidaten. Ohne f′′f'' (oder Vorzeichenwechsel) ist nicht gezeigt, dass es wirklich ein Maximum ist, und nicht etwa ein Minimum.

3. Die zweite Größe nicht berechnen. Gefragt sind meist die Maße des optimalen Rechtecks. Mit x=5x = 5 allein ist die Aufgabe nicht beantwortet; du brauchst noch y=10−5=5y = 10 - 5 = 5 und den Bestwert A=25 cm2A = 25\,\text{cm}^2.

Ein schönes Ergebnis nebenbei: Es kommt x=y=5x = y = 5 heraus, das flächengrößte Rechteck bei festem Umfang ist immer ein . Dieses Muster taucht in vielen Optimierungsaufgaben auf: Die beste Lösung ist oft die symmetrische.

Denk weiter: Eine Werkstatt schafft höchstens 6 Stück am Tag. Ihr Tagesgewinn ist minus x Quadrat plus 16 x minus 10 Euro. Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn maximal?

Rechne erst selbst, und trau dem Ergebnis von G′(x)=0G'(x) = 0 nicht blind.

G(x)=−x2+16x−10G(x) = -x^2 + 16x - 10 mit G′(x)=−2x+16=0G'(x) = -2x + 16 = 0 liefert x=8x = 8. Aber 8 Stück sind gar nicht möglich, der erlaubte Bereich ist 0≤x≤60 \le x \le 6. Der Kandidat scheidet aus.

Heißt das „kein Maximum"? Nein, jetzt greift die Rand-Warnung aus dem Text: Auf dem ganzen erlaubten Bereich ist G′(x)=−2x+16>0G'(x) = -2x + 16 > 0 (selbst bei x=6x = 6 noch +4+4), der Gewinn steigt durchgehend. Das Maximum liegt deshalb am Rand:

G(6)=−36+96−10=50 EuroG(6) = -36 + 96 - 10 = 50 \text{ Euro}

Die Werkstatt fährt am besten mit voller Auslastung: 6 Stück, 50 Euro Tagesgewinn. Wer nur G′=0G' = 0 rechnet und „8 Stück" antwortet, empfiehlt eine unmögliche Stückzahl: Randmaxima findet die nicht, weil dort keine waagerechte ist. Genau dafür steht Schritt 4 des Fahrplans.

Maximale Fläche am Fluss

Ein rechteckiges Weidestück soll an einem geraden Fluss eingezäunt werden, der Fluss bildet eine Seite, für die anderen drei Seiten stehen 100 m100\,\text{m} Zaun zur Verfügung. Welche Maße ergeben die größte ?

  1. 1

    Zuerst eine Skizze im Kopf, und der Blick auf die Besonderheit. Am Fluss wird nicht gezäunt. Von den vier Rechteckseiten müssen also nur drei aus dem Zaun gebaut werden.

    Genau darin liegt der Unterschied zur Standardaufgabe. Nennen wir xx die beiden Seiten senkrecht zum Fluss und yy die Seite parallel dazu. Dann gehören zum Zaun zweimal xx und einmal yy.

  2. 2

    Schritt 1: Zielgröße und Zielfunktion. Maximiert werden soll die Fläche:

    A=x⋅yA = x \cdot y

    Noch zwei , so nicht ableitbar.

  3. 3

    Schritt 2: Nebenbedingung. Fest vorgegeben ist die Zaunlänge, und zwar für drei Seiten:

    2x+y=1002x + y = 100

    Hier entscheidet sich die Aufgabe. Wer 2x+2y=1002x + 2y = 100 ansetzt (wie beim üblichen Umfang), rechnet die falsche Aufgabe. Lies solche Texte deshalb genau: Welche Seiten werden wirklich gezäunt?

  4. 4

    Schritt 3: Eine Variable eliminieren. Löse die Nebenbedingung nach yy auf. Das ist hier besonders einfach, weil yy allein steht:

    y=100−2xy = 100 - 2x

    Einsetzen in die Zielfunktion:

    A(x)=x⋅(100−2x)=100x−2x2A(x) = x \cdot (100 - 2x) = 100x - 2x^2

    Jetzt hängt alles nur noch von xx ab.

  5. 5

    Schritt 4: Definitionsbereich. Beide Seiten müssen positiv sein: x>0x > 0, und aus y=100−2x>0y = 100 - 2x > 0 folgt x<50x < 50.

    0<x<500 < x < 50
  6. 6

    Schritt 5: Maximum bestimmen.

    A′(x)=100−4x⇒100−4x=0⇒x=25A'(x) = 100 - 4x \qquad\Rightarrow\qquad 100 - 4x = 0 \qquad\Rightarrow\qquad x = 25

    Art nachweisen:

    A′′(x)=−4<0⇒Maximum  ✓A''(x) = -4 < 0 \qquad\Rightarrow\qquad \textbf{Maximum} \;\checkmark

    Und x=25x = 25 liegt im erlaubten Bereich ✓

  7. 7

    Schritt 6: Vollständig antworten. Gefragt waren die Maße, also brauchst du auch yy und sinnvollerweise den Bestwert:

    y=100−2⋅25=50A=25⋅50=1250 m2y = 100 - 2 \cdot 25 = 50 \qquad\qquad A = 25 \cdot 50 = 1250\,\text{m}^2

    Beachte das Ergebnis: Diesmal ist es kein Quadrat, sondern yy ist doppelt so lang wie xx. Das liegt an der fehlenden vierten Seite, der Fluss „spart" Zaun, deshalb lohnt es sich, die Weide in seine Richtung länger zu machen.

    Kontrolle: Zaunlänge nachrechnen: 2⋅25+50=1002 \cdot 25 + 50 = 100 ✓

Breite (senkrecht zum Fluss) 25 m25\,\text{m}, Länge (am Fluss) 50 m50\,\text{m}, maximale Fläche A=1250 m2A = 1250\,\text{m}^2.

Die Lehre: Die Nebenbedingung muss die Situation genau abbilden. Drei Seiten statt vier ändern das Ergebnis vollständig, beim üblichen käme ein heraus.

Schachtel mit maximalem Volumen

Aus einem quadratischen Karton mit der Seitenlänge 12 cm12\,\text{cm} wird eine offene Schachtel gefaltet: An jeder Ecke wird ein der Seitenlänge xx ausgeschnitten, dann werden die Seiten hochgeklappt. Für welches xx wird das maximal?

  1. 1

    Zuerst verstehen, was beim Falten passiert. Das ist der schwierigste Teil der Aufgabe, ohne Skizze geht es kaum.

    Aus jeder Ecke wird ein Quadrat der Seite xx entfernt. Klappt man die Ränder hoch, entsteht:

    • die Höhe der Schachtel: genau xx (die hochgeklappten Streifen sind xx breit)
    • die Grundfläche: ein Quadrat, dessen Seite an beiden Enden um xx kürzer geworden ist, also 12−2x12 - 2x

    Der häufigste Fehler: 12−x12 - x statt 12−2x12 - 2x. Es wird an jedem Ende etwas abgeschnitten.

  2. 2

    Schritt 1: Zielfunktion aufstellen. Volumen ist Grundfläche mal Höhe:

    V(x)=(12−2x)2⏟Grundfla¨che⋅x⏟Ho¨heV(x) = \underbrace{(12 - 2x)^2}_{\text{Grundfläche}} \cdot \underbrace{x}_{\text{Höhe}}

    Hier ist keine Nebenbedingung nötig, die Geometrie des Faltens liefert die Zielfunktion direkt in einer . Das ist bei Faltaufgaben typisch.

  3. 3

    Schritt 2: Definitionsbereich aus dem Sachkontext. Der Ausschnitt muss positiv sein (x>0x > 0), und es muss Boden übrig bleiben:

    12−2x>0⇒x<612 - 2x > 0 \qquad\Rightarrow\qquad x < 6 0<x<60 < x < 6

    Diese Grenze wird später wichtig, sie sortiert eine rechnerische Lösung aus.

  4. 4

    Schritt 3: Für das ausmultiplizieren. Ein Produkt mit Klammer-Quadrat leitet man am einfachsten ab, wenn man es vorher auflöst:

    (12−2x)2=144−48x+4x2(12-2x)^2 = 144 - 48x + 4x^2 V(x)=x⋅(144−48x+4x2)=144x−48x2+4x3V(x) = x \cdot (144 - 48x + 4x^2) = 144x - 48x^2 + 4x^3
  5. 5

    Schritt 4: Ableiten und Kandidaten bestimmen.

    V′(x)=144−96x+12x2V'(x) = 144 - 96x + 12x^2

    Setze null und teile zur Vereinfachung durch 1212:

    12x2−96x+144=0∣  :1212x^2 - 96x + 144 = 0 \qquad\Big|\; : 12 x2−8x+12=0x^2 - 8x + 12 = 0

    p-q-Formel mit p=−8p = -8, q=12q = 12:

    x1,2=4±16−12=4±2⇒x1=2,  x2=6x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm 2 \qquad\Rightarrow\qquad x_1 = 2, \; x_2 = 6
  6. 6

    Schritt 5: Kandidaten am Definitionsbereich prüfen. Hier zeigt sich, warum Schritt 2 wichtig war:

    • x=2x = 2 liegt in (0; 6)(0;\,6) ✓
    • x=6x = 6 liegt nicht im Bereich, bei x=6x = 6 wäre die Grundfläche 12−12=012 - 12 = 0, es gäbe gar keine Schachtel mehr ✗

    Also bleibt nur x=2x = 2.

    Art nachweisen: V′′(x)=−96+24xV''(x) = -96 + 24x, also V′′(2)=−96+48=−48<0V''(2) = -96 + 48 = -48 < 0 → Maximum ✓

  7. 7

    Schritt 6: Antworten, mit dem erreichten Volumen.

    V(2)=(12−4)2⋅2=82⋅2=64⋅2=128 cm3V(2) = (12 - 4)^2 \cdot 2 = 8^2 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128\,\text{cm}^3

    Plausibilität: Die Schachtel ist 8×8 cm8 \times 8\,\text{cm} groß und 2 cm2\,\text{cm} hoch. Bei einem sehr kleinen xx wäre sie flach (wenig Volumen), bei einem großen xx schmal und hoch (auch wenig), das Maximum liegt sinnvollerweise dazwischen ✓

Für x=2 cmx = 2\,\text{cm} wird das Volumen maximal: V=128 cm3V = 128\,\text{cm}^3 (Schachtel 8×8×2 cm8 \times 8 \times 2\,\text{cm}).

Zwei Dinge, die diese Aufgabe lehrt: Beim Falten wird die Seite an beiden Enden kürzer (12−2x12 - 2x). Und der Definitionsbereich ist kein Formalismus, er sortiert hier die unbrauchbare Lösung x=6x = 6 aus.

Typischer Fehler

„Ich leite einfach A=x⋅yA = x \cdot y nach xx ab: A′=yA' = y, setze null … das geht nicht auf."

Die Zielfunktion hat zwei . So ist sie nicht optimierbar! Erst die Nebenbedingung einsetzen, um eine Variable zu eliminieren: aus A=xyA = xy mit y=100−2xy = 100 - 2x wird A(x)=100x−2x2A(x) = 100x - 2x^2, eine Funktion von einer Variablen. Der vergessene Einsetz-Schritt ist der häufigste Fehler bei Extremwertproblemen. Zwei Variablen → immer koppeln!

Übung 1

leicht

Zwei Zahlen haben die Summe 20. Für welche wird ihr Produkt maximal?

Tipp anzeigen

Zielfunktion P=x⋅yP = x \cdot y, Nebenbedingung x+y=20x + y = 20.

Lösung anzeigen

y=20−xy = 20 - x; P(x)=x(20−x)=20x−x2P(x) = x(20 - x) = 20x - x^2

P′(x)=20−2x=0⇒x=10P'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10, y=10y = 10. Maximales Produkt 100100 (beide Zahlen gleich).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Nebenbedingung: eine Variable eliminieren

    Zwei Zahlen xx und yy mit x+y=20x + y = 20 → y=20−xy = 20 - x. Das Produkt wird damit zur Funktion EINER : P(x)=x(20−x)=20x−x2P(x) = x(20 - x) = 20x - x^2.

  2. 2

    Maximum über die Ableitung

    P′(x)=20−2x=0⇒x=10P'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10; wegen P′′(x)=−2<0P''(x) = -2 < 0 ein Maximum. Dann y=10y = 10 und P=100P = 100.

    20−2x=0⇒x=1020 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10

    Zwischenergebnis

    x=y=10x = y = 10, Pmax⁡=100P_{\max} = 100

  3. 3

    Das Ergebnis deuten: Gleichheit gewinnt

    Beide Zahlen sind GLEICH (1010 und 1010), jedes ungleiche Paar liefert weniger: 9⋅11=999 \cdot 11 = 99, 5⋅15=755 \cdot 15 = 75, 1⋅19=191 \cdot 19 = 19.

Übung 2

mittel

Ein hat den 36 cm236\,\text{cm}^2. Für welche Maße ist sein minimal?

Tipp anzeigen

Zielfunktion Umfang U=2x+2yU = 2x + 2y, Nebenbedingung xy=36xy = 36.

Lösung anzeigen

y=36xy = \frac{36}{x}; U(x)=2x+72xU(x) = 2x + \frac{72}{x}

U′(x)=2−72x2=0⇒x2=36⇒x=6U'(x) = 2 - \frac{72}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6 (positiv), y=6y = 6.

U′′(x)=144x3>0U''(x) = \frac{144}{x^3} > 0 → Minimum. Das (6×66 \times 6) hat den kleinsten Umfang.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Zielfunktion mit Nebenbedingung aufstellen

    Nebenbedingung x⋅y=36x \cdot y = 36 → y=36xy = \frac{36}{x}. Ziel ist der Umfang: U(x)=2x+2y=2x+72xU(x) = 2x + 2y = 2x + \frac{72}{x}.

  2. 2

    Ableiten und Kandidaten finden

    U(x)=2x+72x−1U(x) = 2x + 72x^{-1}: U′(x)=2−72x2=0⇒x2=36⇒x=6U'(x) = 2 - \frac{72}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6 (nur die positive Lösung ist eine Seitenlänge). Dann y=366=6y = \frac{36}{6} = 6.

    x2=36⇒x=6x^2 = 36 \Rightarrow x = 6

    Zwischenergebnis

    x=y=6x = y = 6 cm

  3. 3

    Minimum nachweisen und antworten

    U′′(x)=144x3U''(x) = \frac{144}{x^3}; U′′(6)>0U''(6) > 0 → Minimum. Das Quadrat 6×66 \times 6 cm hat den kleinsten Umfang: U=24U = 24 cm.

Übung 3

schwer

Eine oben offene zylindrische Dose soll 500 cm3500\,\text{cm}^3 fassen. Für welchen rr ist der Materialverbrauch (Boden + Mantel) minimal? (Runde auf eine Nachkommastelle.)

Tipp anzeigen

Zielfunktion O=πr2+2πrhO = \pi r^2 + 2\pi r h, Nebenbedingung πr2h=500\pi r^2 h = 500.

Lösung anzeigen

Aus πr2h=500\pi r^2 h = 500: h=500πr2h = \frac{500}{\pi r^2}.

O(r)=πr2+2πr⋅500πr2=πr2+1000rO(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{1000}{r}

O′(r)=2πr−1000r2=0⇒2πr3=1000⇒r3=500π≈159,15O'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \Rightarrow 2\pi r^3 = 1000 \Rightarrow r^3 = \frac{500}{\pi} \approx 159{,}15

r≈5,4 cmr \approx 5{,}4\,\text{cm} (O′′>0O'' > 0 → Minimum).

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Nebenbedingung: h durch r ausdrücken

    fest: πr2h=500⇒h=500πr2\pi r^2 h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{\pi r^2}.

  2. 2

    Materialfunktion aufstellen

    Material = Boden + Mantel (oben offen!): O(r)=πr2+2πrh=πr2+2πr⋅500πr2=πr2+1000rO(r) = \pi r^2 + 2\pi r h = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{1000}{r}.

    2πr⋅500πr2=1000r2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \frac{1000}{r}

  3. 3

    Ableiten, nullsetzen, auflösen

    O′(r)=2πr−1000r2=0⇒2πr3=1000⇒r3=500π≈159,15⇒r≈5,4O'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \Rightarrow 2\pi r^3 = 1000 \Rightarrow r^3 = \frac{500}{\pi} \approx 159{,}15 \Rightarrow r \approx 5{,}4 cm.

    2πr3=1000⇒r=500/π3≈5,42\pi r^3 = 1000 \Rightarrow r = \sqrt[3]{500/\pi} \approx 5{,}4

    Zwischenergebnis

    r≈5,4r \approx 5{,}4 cm

Zusammenfassung

Optimierung folgt einem festen Fahrplan: Zielfunktion (was optimiert wird) und Nebenbedingung (die Einschränkung) aufstellen, per Einsetzen auf eine reduzieren, Definitionsbereich klären, Extremum mit f′=0f'=0 und f′′f''-Test bestimmen, Antwortsatz formulieren. Der Schlüsselschritt ist das Koppeln der Variablen, zwei Variablen lassen sich nicht optimieren.