Wärmeausdehnung eines Festkörpers

Feste Körper dehnen sich beim Erwärmen aus: wenig, aber unaufhaltsam. Der Längenausdehnungsapparat übersetzt die Winzigkeit in Messbares: Ein Rohr wird von Dampf durchströmt (definierte Erwärmung), eine Messuhr registriert Hundertstelmillimeter. Ergebnis ist der Längenausdehnungskoeffizient $\alpha$: die Stoffkennzahl, die Brückenbauer, Gleisleger und Glasbläser gleichermaßen regiert.

Die Zahlen sind klein, die Kräfte gewaltig. Verhinderte Ausdehnung sprengt Beton und verwirft Gleise; deshalb gibt es Dehnungsfugen, Rollenlager an Brücken und Kompensatoren in Rohrleitungen. Und die Stoffabhängigkeit von $\alpha$ ist die Grundlage des Bimetalls (eigenes Experiment) wie das Ausdehnungsproblem von Glas („feuerfest“ heißt kleines α!).

Längenausdehnung wurde im 18. Jahrhundert für Pendeluhren kritisch (Temperatur verstimmte den Gang: Harrison erfand Kompensationspendel); der Eisenbahnbau machte α zur Ingenieurszahl. Moderne Antwort auf das Problem: Invar (α fast null, Nobelpreis 1920) und lückenlos verschweißte, vorgespannte Gleise.

Bestimme für Stahl, Kupfer und Aluminium (je 1,00 m) die Ausdehnung beim Übergang von Raumtemperatur (20 °C) auf Dampftemperatur, berechne die drei α-Werte und vergleiche mit den Tabellenwerten.

Warum die Messuhr nötig ist: Erwartet werden Zuwächse um einen Millimeter auf einen Meter. Kein Lineal misst das am eingebauten Rohr; die Messuhr mit 0,01-mm-Teilung schafft 1 Prozent Auflösung auf den Effekt.

Warum Dampf statt Heißluft oder Flamme: Das ganze Rohr muss auf einer definierten Temperatur sein. Eine Flamme heizte lokal, Heißluft undefiniert. Durchströmender Dampf kondensiert überall dort, wo das Rohr kälter als 100 °C ist, und gibt dabei seine Kondensationswärme ab. Er zwingt das Rohr flächendeckend auf Siedetemperatur; der Fixpunkt aus dem Temperatur-Experiment arbeitet hier als Heizungsthermostat.

Vorhersage für Stahl: $\Delta l = 12 \cdot 10^{-6} \cdot 1{,}00 \cdot 80\ \mathrm{m} = 0{,}96\ \mathrm{mm}$, knapp ein Millimeter und gut messuhr-tauglich; Aluminium sollte das Doppelte zeigen.

Messuhr vor jedem Durchgang am kalten Rohr nullen; Dampf so lange durchleiten, bis die Anzeige stillsteht (Rohr durchgewärmt); zwischen den Materialien abkühlen lassen und Rückkehr auf null prüfen.

Apparat im Längsschnitt: Festpunkt links, Rohr, Messuhr rechts am freien Ende; Dampfweg vom Kolben durchs Rohr zum Kondensatglas.

Aufbau: Längenausdehnungsapparat mit auswechselbaren Rohren (Stahl, Kupfer, Aluminium, je 1,00 m zwischen Festpunkt und Messuhr), Dampfentwickler (Erlenmeyerkolben auf Heizplatte) mit Schlauch, Auffanggefäß fürs Kondensat, Raumthermometer.

Je Material: Rohr einspannen, Raumtemperatur notieren, Messuhr nullen; Dampf durchleiten bis zum Anzeigen-Stillstand; $\Delta l$ ablesen; abkühlen lassen (Rückkehr zur Null als Kontrolle).

Beim Abkühlen kriechen alle Anzeigen vollständig auf null zurück: Die Ausdehnung ist reversibel.

Die Auswertung am Stahlbeispiel:

Alle drei Werte treffen die Tabellenwerte. Die Material-Rangliste Aluminium > Kupfer > Stahl (Faktor zwei zwischen den Enden) ist quantitativ bestätigt, und die Null-Rückkehr zeigt: Es ist elastische Gitterausdehnung, keine bleibende Verformung.

Hochrechnung in den Ingenieursmaßstab: Eine 100-m-Stahlbrücke zwischen Winter (−20 °C) und Sommersonne (+40 °C) liefert $\Delta l = 12 \cdot 10^{-6} \cdot 100 \cdot 60\ \mathrm{m} = 7{,}2\ \mathrm{cm}$. Deshalb ruht ein Brückenende auf Rollen, deshalb die kammartigen Fahrbahn-Fugen. Verhindert man diese Zentimeter, antwortet der Stahl mit Kräften, die Widerlager sprengen. Klein mal starr gleich gewaltig.

Ein Meter Metall wächst bei 80 K um 1 bis 2 mm, materialspezifisch ($\alpha_\mathrm{Stahl} = 1{,}2 \cdot 10^{-5}/\mathrm{K}$, Aluminium doppelt so viel), vollständig reversibel: Die Grundlage von Dehnungsfugen, Bimetall und „feuerfestem“ Glas ist vermessen.

Bei Zehntelmillimeter-Messungen zählt jede Nebendehnung: