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Worum geht es?

Wird ein Schwinger von außen periodisch angestoßen (erzwungene Schwingung), hängt seine Antwort dramatisch von der Erregerfrequenz ab. Nahe der Eigenfrequenz schaukelt sich die Amplitude auf: Resonanz . Der Versuch fährt die Erregerfrequenz systematisch durch, misst die Antwort-Amplitude (Resonanzkurve) und untersucht, wie die Dämpfung die Überhöhung begrenzt.

Warum macht man dieses Experiment?

Resonanz ist Fluch und Werkzeug zugleich. Sie zerstört (mitschwingende Brücken, klirrende Gläser, Waschmaschinen im Schleudergang-Durchlauf), und sie ermöglicht (Radio-Abstimmung, Musikinstrumente, Kernspintomografie: alles Resonanz-Auslese). Wer die Kurve einmal selbst aufgenommen hat, versteht beides: die gefährliche Überhöhung am Gipfel und die Auswahl-Schärfe, die schwache Dämpfung bedeutet.

Die physikalische Idee

Ein Federpendel (Eigenfrequenz aus dem Federpendel-Experiment bekannt: 1,6 Hz) hängt an einem Erreger (Exzentermotor oder geführte Hand am Bandmaß-Metronom), dessen Frequenz einstellbar ist. Je Frequenz wird die eingeschwungene Amplitude gemessen: unterhalb klein, am Eigenwert maximal, oberhalb wieder klein, die Resonanzkurve. Mit Wasserdämpfung wird der Gipfel niedriger und breiter.

Benötigtes Vorwissen

Für dieses Experiment hilft dir dieses Vorwissen. Du kannst es jederzeit nachschlagen — das Experiment bleibt auch so verständlich.

Eigenfrequenz des Federpendels
Gedämpfte Schwingung

Wissenschaftliche Einordnung

Resonanzschäden begleiten die Technikgeschichte (Broughton-Hängebrücke 1831 nach Marschtritt eingestürzt: seither „aus dem Schritt fallen!“; Tacoma-Narrows-Brücke 1940 durch windangeregte Schwingungen). Dieselbe Physik stimmt Radios ab und lässt MRT-Geräte Wasserstoffkerne „anfunken“: Resonanz ist die Kunst, den richtigen Takt zu treffen.

Versuchsziel

Aktuelles Versuchsziel

Resonanzkurve aufnehmen

Nimm die Resonanzkurve des Federpendels auf (Antwort-Amplitude über Erregerfrequenz), lokalisiere den Gipfel im Vergleich zur bekannten Eigenfrequenz und untersuche den Einfluss der Dämpfung auf Höhe und Breite.

Gemessen

$\overset{y}{^}$ — Antwort-Amplitude (eingeschwungen) (in $m$ ) $Erst nach dem Einschwingen ablesen: Die stationäre Antwort ist die Kurvengröße.$

Bekannt

$f_{E}$ — Erregerfrequenz (in $Hz$ ) $Am Motor in Stufen von 0,8 bis 2,4 Hz eingestellt: die durchgefahrene Variable.$
$f_{0}$ — Eigenfrequenz (in $Hz$ ) $f_0 = 1/T = 1/0{,}63\ \mathrm{s} \approx 1{,}6\ \mathrm{Hz}$

Der Weg von der Messung zum Ergebnis: $f_{E} ⟶ \overset{y}{^} (f_{E}) ⟶ Gipfel bei f_{0} ?; D \overset{a}{¨} mpfungsvergleich$

Für diese Zielsetzung brauchst du:

$f_{0} = \frac{1}{2 π} \frac{D}{m}$ $Liefert die erwartete Gipfellage aus den Bauteilgrößen: die Brücke zum Federpendel-Experiment.$ Zur Formelsammlung

1Aufgabenstellung

Fahre die Erregerfrequenz in Stufen (0,8 / 1,2 / 1,4 / 1,5 / 1,6 / 1,7 / 1,8 / 2,0 / 2,4 Hz) durch, warte je das Einschwingen ab und miss die Amplitude . Wiederhole die Reihe mit Wasserdämpfung und zeichne beide Kurven.

2Vorbetrachtung

Warum schaukelt der richtige Takt auf? Jeder Erregerstoß fügt der Schwingung ein wenig Energie zu, wenn er im richtigen Moment kommt (wie beim Schaukel-Anschieben: immer beim Vorbeischwingen schieben). Trifft die Erregerfrequenz die Eigenfrequenz, stimmt der Moment bei jeder Periode: Die Beiträge addieren sich Schwingung für Schwingung, bis die wachsenden Dämpfungsverluste den Zugewinn ausgleichen: Die stationäre Amplitude ist dann ein Vielfaches des Erregerhubs. Daneben verpufft ein Teil der Stöße im falschen Moment: kleinere Antwort. Warum das Einschwingen abwarten? Direkt nach jeder Frequenzänderung überlagert sich die alte Bewegung mit der neuen: Die Amplitude pumpt. Erst der eingeschwungene Zustand (nach zehn und mehr Perioden) ist die reproduzierbare Antwort, die in die Kurve gehört. Dämpfungs-Erwartung: Am Gipfel begrenzt allein die Dämpfung (dort gleichen sich Zufuhr und Verlust aus); Wasser muss den Gipfel also drastisch stutzen. Abseits des Gipfels regiert die Verstimmung, dort ändert Dämpfung wenig. Die Kurve wird niedriger und zugleich relativ breiter.

3Geräte / Stoffe

Erregerfrequenz per Stoppuhr kontrollieren (20 Motorumdrehungen stoppen), denn Drehzahlskalen sind oft ungenau. Amplituden erst nach mindestens 15 Erregerperioden ablesen.

Federpendel mit bekannter Eigenfrequenz
$Der Antwortende: sein Eigentakt (1,6 Hz) ist die erwartete Gipfellage.$
Exzenter-Erreger mit Drehzahlregelung
$Der Taktgeber: kleiner, fester Hub bei einstellbarer Frequenz, der unabhängigen Variable.$
Amplitudenskala
$Misst die eingeschwungene Antwort-Amplitude je Frequenz .$
Dämpferscheibe mit Wassergefäß
$Zuschaltbare Dämpfung für den Kurvenvergleich.$

4Skizze des Versuchsaufbaus

Exzenter oben, Feder, Masse vor der Skala, Wassergefäß darunter; daneben das leere Kurvendiagramm mit markierter Eigenfrequenz-Linie bei 1,6 Hz.

Die Resonanzkurve: Antwort-Amplitude über der Erregerfrequenz, mit Gipfel nahe der Eigenfrequenz. Schwache Dämpfung: hoher, schmaler Gipfel; starke: flacher, breiter.

Aufbau: Federpendel (0,25 kg, 25 N/m, Eigenfrequenz \approx 1,6 Hz), oben statt fester Aufhängung ein motorgetriebener Exzenter mit regelbarer Drehzahl (Hub ca. 5 mm); Amplitudenskala hinter der Masse; wahlweise Dämpferscheibe im Wasser.

5Durchführung

Reihe 1 (Luft): Je Frequenzstufe: einstellen, Frequenz nachmessen, Einschwingen abwarten, Amplitude ablesen. Nahe 1,6 Hz in feineren Schritten. Reihe 2 (Wasser): Dämpferscheibe eintauchen, gleiche Stufen.

6Beobachtung

Resonanzkurven (Erregerhub 5 mm; Amplituden in cm)

$f_\mathrm{E}$	$Luft$	$Wasser$
$0,8$	$0,7$	$0,6$
$1,2$	$1,3$	$1,0$
$1,4$	$2,5$	$1,5$
$1,5$	$4,5$	$1,9$
$1,6$	$8,0$	$2,2$
$1,7$	$4,8$	$1,9$
$1,8$	$2,7$	$1,5$
$2,0$	$1,4$	$0,9$
$2,4$	$0,6$	$0,4$

Beispieldaten zur Veranschaulichung — keine echten Messwerte.

Nahe der Resonanz (Luft) ist deutlich zu sehen, wie die Masse dem Erreger mit wachsender Verspätung folgt; bei hohen Frequenzen bewegt sie sich gegenläufig zum Erreger.

7Auswertung

1{,}6\ \mathrm{Hz}

8Fazit

Die Resonanzkurve gipfelt an der Eigenfrequenz (1,6 Hz) mit sechzehnfacher Überhöhung des Erregerhubs; Dämpfung senkt und verbreitert den Gipfel (8,0 auf 2,2 cm), lässt die Flanken aber fast unberührt: Resonanz ist frequenzselektives Aufschaukeln, begrenzt allein durch Dämpfung.

9Fehlerbetrachtung

Die Kurvenaufnahme hat zwei zeitliche Fallen:

Einschwingzeit unterschätzteher systematisch

Ursache: $Nahe der Resonanz (schwach gedämpft) braucht das Aufschaukeln Dutzende Perioden.$
Auswirkung: $Zu früh abgelesene Gipfelwerte sind zu klein; der Gipfel wirkt gestutzt wie bei Dämpfung.$
Verbesserung: $Ablesen erst, wenn die Amplitude über 5 Perioden stabil ist; am Gipfel besonders lange warten.$

Erregerfrequenz drifteteher zufällig

Ursache: $Motordrehzahl schwankt mit Last und Spannung, gerade wenn das Pendel stark zurückwirkt.$
Auswirkung: $Der Arbeitspunkt wandert auf der steilen Flanke: Amplituden springen.$
Verbesserung: $Frequenz während der Messung nachstoppen; stabilisiertes Netzteil.$

Gipfel zwischen den Frequenzstufeneher systematisch

Ursache: $Diskrete Stufen können das wahre Maximum verfehlen.$
Auswirkung: $Gipfelhöhe unterschätzt, Gipfellage auf Stufenraster gerundet.$
Verbesserung: $Um das vorläufige Maximum in 0,05-Hz-Schritten nachmessen.$

Das Wichtigste

Das Phänomen: $Periodische Anregung nahe der Eigenfrequenz schaukelt die Amplitude weit über den Erregerhub auf: Der Schwinger sammelt die kleinen Stöße phasenrichtig ein.$
Die Kurve: $Antwort-Amplitude über Erregerfrequenz: Gipfel (nahezu) an der Eigenfrequenz, beidseits abfallend. Jeder Schwinger ist ein Frequenz-Sieb.$
Dämpfung regiert den Gipfel: $Schwache Dämpfung: hohe, schmale Resonanz (selektiv, aber riskant). Starke: niedrige, breite (gutmütig, unselektiv).$
Zwei Gesichter: $Gefahr (Bauwerke, Maschinen: Eigenfrequenzen meiden oder dämpfen) und Nutzen (Empfänger, Instrumente, Siebe: Eigenfrequenz gezielt treffen).$

Resonanz